二元函數(shù)微積分-偏導(dǎo)數(shù)和全微分

一元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同二元函數(shù)微積分2021/6/271一、區(qū)域二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的基本概念2021/6/272區(qū)域平面上滿足某個條件的一切點構(gòu)成的集合。平面點集：平面區(qū)域：由平面上一條或幾條曲線所圍成的部分平面點集稱為平面區(qū)域，通常記作D。01·邊界閉區(qū)域開區(qū)域2021/6/27300型區(qū)域型區(qū)域常見區(qū)域由四條曲線圍成由四條曲線圍成2021/6/274鄰域:01·2021/6/275二元函數(shù)的概念2021/6/276一元函數(shù)二元函數(shù)定義域自變量個數(shù)一個：兩個：在數(shù)軸上討論（區(qū)間）在平面上討論（區(qū)域）2021/6/277一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)2021/6/278定義：在點存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:2021/6/279同樣可定義對y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,2021/6/2710例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)2021/6/2711例1.

求解：在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需將另一個自變量看做常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可。2021/6/2712例2.

設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證2021/6/2713偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,2021/6/2714練習(xí)2021/6/2715二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):2021/6/2716類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為2021/6/2717解：

2021/6/2718例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程2021/6/2719內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法

求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法