四川省德陽(yáng)市綿竹中學(xué)高三上學(xué)期11月半月考數(shù)學(xué)試題

綿竹中學(xué)2024年高三下期11月半月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可由并集的定義求解.【詳解】由，則，所以，所以，故選：C2.設(shè)，，若，則（）A.5 B. C.20 D.25【答案】A【解析】【分析】由，則，解出，得到的坐標(biāo)，利用模長(zhǎng)公式求.【詳解】，，若，則有，解得，則有，得.故選：A3.設(shè)甲：為等比數(shù)列；乙：為等比數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念和充分必要條件的概念即可得到答案.【詳解】充分性：若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以為等比數(shù)列，公比為，滿足充分性.必要性：若為等比數(shù)列，公比為，則，即，假設(shè)等比數(shù)列，此時(shí)無(wú)解，故不滿足必要性.所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化用表示，然后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.5.已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式的存在問(wèn)題進(jìn)行求解，構(gòu)造均值不等式求得最值，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：B.6.已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn)，若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可確定圓的半徑，利用拋物線的定義求出，即可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，由，則，圓的半徑，所以，由拋物線的定義可得：，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，．故選：D.7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=fx及其導(dǎo)函數(shù)y=f′x的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1【答案】C【解析】【分析】AB選項(xiàng)，先判斷出虛線部分為，實(shí)線部分為，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增，AB錯(cuò)誤；再求導(dǎo)得到時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C8.已知函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定的奇偶性及單調(diào)性，即可求解.【詳解】函數(shù)，由，即，，解得顯然f?x=fx，∴∴當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增.∴在上為減函數(shù)，在0,2上為增函數(shù)，，，所以，，∴.故選：C.二、多選題9.小明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，坐公交車平均用時(shí)10min，樣本方差為9；騎自行車平均用時(shí)15min，樣本方差為1.已知坐公交車所花時(shí)間與騎自行車所花時(shí)間都服從正態(tài)分布，用樣本均值和樣本方差估計(jì)，Y分布中的參數(shù)，并利用信息技術(shù)工具畫出和的分布密度曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點(diǎn)之前到校，否則就遲到，則下列判斷正確的是（）A.B.若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，則有60%以上的可能性會(huì)遲到C.若小明早上7：42出發(fā)，則應(yīng)選擇騎自行車D.若小明早上7：47出發(fā)，則應(yīng)選擇坐公交車【答案】ACD【解析】【分析】確定，，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意知，坐公交車所花時(shí)間，騎自行車所花時(shí)間，A正確.對(duì)于B，若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，有50%以上的可能性會(huì)超過(guò)10min，即8點(diǎn)之后到校會(huì)遲到，錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，由，且，應(yīng)選擇在給定的時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，小明早上7：42出發(fā)，有18min可用，則應(yīng)選擇騎自行車，故C正確；小明早上7：47出發(fā)，有13min可用，則應(yīng)選擇坐公交車，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立．當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論中正確的有（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸D.關(guān)于的方程共有4個(gè)不等實(shí)根【答案】AC【解析】【分析】由，令可得，進(jìn)而結(jié)合奇偶性即可判斷A選項(xiàng)；由可得，可得函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，結(jié)合題設(shè)畫出大致圖象，結(jié)合圖象可判斷BC選項(xiàng)；進(jìn)而畫出函數(shù)的大致圖象，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，令，則，即，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，故A正確；由A知，，則，所以函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，結(jié)合時(shí)，，畫出大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，畫出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程共有2個(gè)不等實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得出函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，然后畫出大致圖象，結(jié)合圖象即可求解.11.我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為，，則下列結(jié)論中正確的有（）附：橢圓（）上一點(diǎn)處的切線方程為.A.圓法中圓的半徑為 B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】運(yùn)用圓和橢圓的切線方程分別求得、，結(jié)合可判斷兩者大小及求出半徑.【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R，如圖所示，則，解得，A正確；所以，若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為（），如圖所示，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓上一點(diǎn)切線方程為，所以橢圓的切線方程的斜率為，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，D正確.故選：AD.三、填空題12.“五一”期間人民群眾出游熱情高漲，某地為保障景區(qū)的安全有序，將增派6名警力去兩個(gè)景區(qū)執(zhí)勤.要求景區(qū)至少增派3名警力，景區(qū)至少增派2名警力，則不同的分配方法的種數(shù)為______.【答案】35【解析】【分析】根據(jù)分類加法原理結(jié)合組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意可知分兩種情況：①景區(qū)增派3名警力，景區(qū)增派3名警力，則有種方法，②景區(qū)增派4名警力，景區(qū)增派2名警力，則有種方法，所以由分類加法原理可知共有種方法.故答案為：3513.已知圓臺(tái)的下底面半徑為，上底面半徑為，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則圓臺(tái)的高為______．【答案】【解析】【分析】求出圓臺(tái)的上底面，下底面面積，寫出側(cè)面積表達(dá)式，利用側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，最后根據(jù)解直角三角形求出它的高即可.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)上底面面積，圓臺(tái)下底面面積，所以兩底面面積之和為，又圓臺(tái)側(cè)面積，則，所以，所以圓臺(tái)的高為.故答案為：14.已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為______．【答案】18【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達(dá)式，由此化簡(jiǎn)推出，結(jié)合說(shuō)明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故則的最小值為18，故答案為：18【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出，并說(shuō)明，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答題15.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．（1）求B的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解；（2）由三角形的面積公式，求得，根據(jù)題意和余弦定理，化簡(jiǎn)求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋傻?，由余弦定理得，又由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】解：由三角形的面積公式，可得，可得，又由余弦定理得，因?yàn)?，所以，解得，所以的周長(zhǎng)為．16.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），.（2）或【解析】【分析】（1）構(gòu)造數(shù)列，判斷為等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)與的關(guān)系求的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求出，再結(jié)合大于的最大值可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】對(duì)：由，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.對(duì)：前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，上式亦成立.所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?所以.由已知或.17.已知向量，，函數(shù).（1）若，求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（3）若將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，求的解集.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示可求得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題意先求出解析式，再根據(jù)定義域求出值域即可；（3）先進(jìn)行圖形變換，再根據(jù)不等式求解集.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，則，顯然，所以，則；【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?；【小?wèn)3詳解】由（2）知，結(jié)合題意，得，，即，即，所以，，即的解集為，.18.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線；（2）若對(duì)任意的，，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得切點(diǎn)處的斜率，即可由點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，分離參數(shù)即可求解，或者利用分類討論，求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)，時(shí)，，，故切線方程為：,即；【小問(wèn)2詳解】法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以在0,+∞單調(diào)遞增，所以.①若，恒成立，符合題意.②若，則恒成立.令，則，令，則，所以Fx在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以.③若，同理，恒成立，由②可知，當(dāng)時(shí)，，所以不存在滿足條件的.綜上所述，.法二：，令，則只需在0,+∞單調(diào)遞增，即恒成立；，令，則恒成立；又，①當(dāng)時(shí)，，hx在0,+∞單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時(shí)，h′x>0，hx又當(dāng)時(shí)，，故不恒成立，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，由h′x>0得則hx在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，故；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.2023年10月11日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)成功構(gòu)建255個(gè)光子的量子計(jì)算機(jī)原型機(jī)“九章三號(hào)”，求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問(wèn)題比目前全球最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)快一億億倍.相較傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計(jì)算機(jī)的量子比特（qubit）可同時(shí)處于0與1的疊加態(tài)，故每個(gè)量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進(jìn)行計(jì)算的.現(xiàn)假設(shè)某臺(tái)量子計(jì)算機(jī)以每個(gè)粒子的自旋狀態(tài)作為量子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)將兩個(gè)初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過(guò)第二道邏輯門后的兩個(gè)粒子中上旋粒子的個(gè)數(shù)為X.（1）已知，求兩個(gè)粒子通過(guò)第二道邏輯門后上旋粒子個(gè)數(shù)為2的概率；（2）若一條信息有n（，）種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個(gè)粒子通過(guò)第二道邏輯門后上旋粒子個(gè)數(shù)為X的信息熵H；（3）將一個(gè)下旋粒子輸入第二道邏輯門，當(dāng)粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r(shí)則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設(shè)停止輸入時(shí)該粒子通過(guò)第二道邏輯門的次數(shù)為Y（，2，3，…，n，…），證明：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個(gè)常數(shù).參考公式：時(shí)，，.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式、條件概率