河北省保定市安國市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為（）A.2 B. C.2或 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，，即由一個(gè)根，代入，可得，解之得；由得；故選A2.如圖，四邊形是平行四邊形，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．∴，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為．故選：A．3.小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是和；小冬在化簡過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是-2和．則原來的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個(gè)根是和；∴，又∵小冬寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是-2和．∴A.中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；B中，，，故該選項(xiàng)符合題意；C.中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；D.中，，，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4.如圖是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，則根據(jù)平行線分線段成比例可得，解分式方程再進(jìn)行檢驗(yàn)，符合題意即可解答．【詳解】解：設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，則根據(jù)平行線分線段成比例可得：解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解且符合實(shí)際意義，即P點(diǎn)表示的數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例和分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線分線段成比例列出分式方程．5.下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不一定是菱形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)等角對(duì)等邊可得平行四邊形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；C、根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，不能得到平行四邊形是菱形，符合題意；D、根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及等角對(duì)等邊可得平行四邊形的兩條鄰邊相等，即可得到平行四邊形為菱形，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定．熟練掌握菱形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．6.已知關(guān)于的一元二次方程，其中，滿足，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）A.無實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根，根據(jù)題意求出，再求出的符號(hào)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴原方程無實(shí)數(shù)根，故選：A．7.如圖，中，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可．此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定三角形相似的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；B、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩三角形的兩對(duì)應(yīng)邊成比例，但夾角不相等，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)符合題意；D、陰影三角形中，兩邊分別為，則兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．8.如圖，含角的直角三角尺的斜邊與矩形直尺的邊在同一直線上，此時(shí)直尺的另一邊與直角三角尺的直角邊的交點(diǎn)D恰好是的中點(diǎn)，若，則的長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可得，利用銳角三角函數(shù)求出，進(jìn)而得到，再根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，即可求出的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，，是的中點(diǎn)，在中，，，故選：D9.如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O0,0，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意橫縱的坐標(biāo)乘以，即可求解．【詳解】解：依題意，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：D．10.如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個(gè)外角為，∴的值為；故選A11.如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長為，解得即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，故，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的長為，故選C．12.如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解，可得，再進(jìn)一步探究即可；【詳解】解：∵12個(gè)相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故選C二、填空題．（本大題4個(gè)小題，每小題3分，共12分．第15題、16題含兩個(gè)空，第一空1分，第二空2分．）13.如圖，李師傅在做門窗時(shí)，不僅要測量門窗兩組對(duì)邊的長度是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對(duì)角線是否相等，以確保圖形是矩形．其中的道理是____________________．【答案】對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形【解析】【分析】本題考查了矩形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定．根據(jù)已知條件和矩形的判定進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，∴測量兩組對(duì)邊的長度是否分別相等，判定四邊形是否為平行四邊形，∵對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，∴要測量它們的兩條對(duì)角線是否相等，故答案為：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．14.用配方法解一元二次方程，將它轉(zhuǎn)化為的形式，則的值為____________．【答案】【解析】【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法將一元二次方程化為，從而得到的值，最后代入計(jì)算即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，∴即故答案為：．15.已知，（1）____________；（2）____________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)；（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，代入代數(shù)式化簡，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，故答案為：．（2）設(shè)，∴．故答案為：．16.如圖，正方形的邊長為，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，，連接．（1）線段的長為______；（2）若為的中點(diǎn)，則線段的長為______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運(yùn)用中位線定理是解題的關(guān)鍵；（1）運(yùn)用正方形性質(zhì)對(duì)角線互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可．【詳解】（1）四邊形是正方形，，在中，，，，；（2）延長到點(diǎn)，使，連接由點(diǎn)向作垂線，垂足為∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴為的中位線，在中，，，在中，，為的中位線，；故答案為：2；.三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.按要求解下列一元二次方程（1）（公式法）（2）（配方法）（3）（因式分解法）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程；（1）先化為一般形式，然后根據(jù)求根公式，解一元二次方程，即可求解．（2）先化二次項(xiàng)系數(shù)為，再配方法得出，進(jìn)而直接開平方即可求解．（3）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法得，即可求解．【小問1詳解】解：，即，∴，，∴，即；【小問2詳解】解：，∴，∴，∴，∴，即或，解得：；【小問3詳解】解：，∴，∴，即，∴或，解得：．18.如圖，測量小玻璃管口徑的量具，的長為10厘米，被分為60等份．如果小玻璃管口正好對(duì)著量具上等份處（平行），那么小玻璃管口徑是多大？【答案】小玻璃管口徑是厘米【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，，∴，∴即解得：答：小玻璃管口徑是厘米．19.已知關(guān)于x的方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的一個(gè)根為，求k的值及方程的另一個(gè)根．【答案】（1）見詳解（2），另一根為【解析】【分析】（1）根據(jù)進(jìn)行判斷；（2）把代入方程即可求得，然后解這個(gè)方程即可；本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根；還有方程根的意義等；【小問1詳解】證明：∵是一元二次方程，∴，無論取何實(shí)數(shù)，總有，，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【小問2詳解】解：把代入方程，有，整理，得．解得，此時(shí)方程可化為．解此方程，得，．∴方程的另一根為．20.九年級(jí)物理學(xué)習(xí)了電學(xué)知識(shí)后，小明選取了四個(gè)開關(guān)按鍵、一個(gè)電源、一個(gè)小燈泡和若干電線設(shè)計(jì)了如圖的電路圖（四個(gè)開關(guān)按鍵都處于打開狀態(tài)）．（1）若閉合，則任意閉合其余三個(gè)開關(guān)按鍵中的一個(gè)，小燈泡能發(fā)光的概率為______；（2）求同時(shí)閉合其中的兩個(gè)開關(guān)按鍵，燈泡能發(fā)光的概率．（用列表或樹狀圖法）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算得出答案；（2）利用樹狀圖列舉出所有可能，進(jìn)而求出答案．【小問1詳解】若閉合，還剩下3個(gè)開關(guān)按鍵，只有閉合開關(guān)按鍵，燈泡才會(huì)發(fā)光，所以P（燈泡發(fā)光）；【小問2詳解】用樹狀圖分析如下：一共有12種不同的情況，其中有6種情況下燈泡能發(fā)光，所以P（燈泡發(fā)光）．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，，．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出的一個(gè)位似，使它與的位似比為；（2）畫出將向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的；（3）判斷和是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）圖形見解析（2）圖形見解析（3）和是位似圖形，圖中點(diǎn)M為所求位似中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【解析】【分析】本題考查的是畫位似圖形，平移圖形，判斷兩個(gè)圖形位似，熟記位似的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）分別確定O，A，B關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O，，，再順次連接即可；（2）分別確定，，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接即可；（3）連接，，，由交點(diǎn)可得位似中心，從而可得答案.【小問1詳解】解：如圖，即為所作圖形；【小問2詳解】如圖，即為所作圖形；【小問3詳解】由作圖可知，，是相似三角形，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)點(diǎn)所連直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，所以和是位似圖形，點(diǎn)M為所求位似中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．22.如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形的面積為，求此時(shí)直線所夾銳角的度數(shù)．【答案】（1）四邊形菱形，理由見詳解（2）【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，作，可證，可得，由此可證平行四邊形是菱形；（2）作，根據(jù)面積的計(jì)算方法可得，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：四邊形是菱形，理由如下，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意，四邊形EFGH，四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵寬度相等，即，且，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意，，∵，∴，由（1）可得四邊形是菱形，∴，在中，，即，∴．23.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲10元，就少賣100個(gè)．（1）若商場計(jì)劃一周的利潤達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？（2）商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價(jià)格基礎(chǔ)上，銷售量穩(wěn)步提升