江蘇省南通市海門區(qū)海門區(qū)中南中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁南通市海門區(qū)中南中學(xué)2023-2024學(xué)年九月份獨立作業(yè)九年級數(shù)學(xué)一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列四個名牌大學(xué)校徽圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．2.反比例函數(shù)y＝的圖象在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)作答．【詳解】解：∵，

∴反比例函數(shù)y＝的圖像分布在第一、三象限．

故選A．【點睛】本題考查的知識點是反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記反比例函數(shù)圖像得性質(zhì)．3.如圖，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∴．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)角的意義，對應(yīng)邊旋轉(zhuǎn)后的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．4.在平面直角坐標系中，把點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)作出圖形，可得結(jié)論．【詳解】解：將點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標是，故選：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握基本知識．5.若點，，在反比例函數(shù)圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的圖象在一、三象限，由三點的橫坐標可知點，在第三象限，在第一象限，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性及各象限內(nèi)點的坐標特點即可解答．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，∴此函數(shù)的圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；∵，，∴點，在第三象限，在第一象限，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時，圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．6.如圖，半徑OC⊥AB，弧BC的度數(shù)為70°，則∠AOC=()A.20° B.35° C.55° D.70°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。┑贸鯝C這條弧等于BC這條弧，從而得到∠AOC=∠BOC，最后得出答案【詳解】因為OC⊥AB，所以AC這條弧等于BC這條弧，所以∠AOC=∠BOC=70°故答案為D選項【點睛】本題主要考查了垂徑定理以及圓中各弧與其對應(yīng)的圓心角的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)概念是關(guān)鍵7.已知點A（a，b）是一次函數(shù)y=-x+4和反比例函數(shù)y=的一個交點，則代數(shù)式a2+b2的值為（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】先解兩函數(shù)式組成的方程組，得出一個一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=4，ab=1，再根據(jù)完全平方公式變形后代入求出即可．【詳解】∵點A（a，b）是一次函數(shù)y=﹣x+4和反比例函數(shù)一個交點，∴a+b=4，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=42﹣2×1=14．故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力．8.下列語句中正確的有（

）①相等的圓心角所對的弧相等；

②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④半圓是弧．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心角定理，以及軸對稱圖形的定義即可解答．【詳解】解：A、要強調(diào)在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等；故錯誤．B、平分弦的直徑垂直于弦，其中被平分的弦不能是直徑，若是直徑則錯誤．C、對稱軸是直線，而直徑是線段，故錯誤．D、正確．故選：A．【點睛】本題考查了圓的相關(guān)知識，熟練掌握圓的知識是解決此題的關(guān)鍵．9.如圖，△ABO的頂點A在函數(shù)y＝（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】D【解析】【分析】易證△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出△ANQ的面積，進而可求出△AOB的面積，則k的值也可求出．【詳解】解：∵NQ∥MP∥OB，

∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，

∵M、N是OA的三等分點，

∴，，

∴，

∵四邊形MNQP的面積為3，

∴，

∴S△ANQ=1，

∵，

∴S△AOB=9，

∴k=2S△AOB=18，

故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)k的幾何意義，正確的求出S△ANQ=1是解題的關(guān)鍵．10.如圖，矩形中，，點E在邊上運動，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】勾股定理求出，作于M，證明，得到，由此求出，然后根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，圖象對稱軸為y軸，開口向上，當(dāng)點E與點C重合時，，∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為A，故選：A．【點睛】此題考查了動點問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11.點關(guān)于原點對稱的點的坐標是_____．【答案】【解析】【分析】平面直角坐標系中任意一點，關(guān)于原點的對稱點是，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：點關(guān)于原點中心對稱的點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點坐標的關(guān)系，熟練掌握平面直角坐標系中任意一點，關(guān)于原點的對稱點是是解題的關(guān)鍵．12.已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則_________．【答案】．【解析】【分析】將點A(-1，2)代入反比例函數(shù)，即可求出m值．【詳解】將點A(-1，2)代入反比例函數(shù)解析式得：，解得：．故答案為：-7．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)圖像上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′BC′，點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點A′，連接AA′．若BC=3，AC=4，則AA′的長為______．【答案】【解析】【分析】先利用勾股定理計算出AB=5，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA′=BA=5，∠A′BA=90°，則可判斷△A′BA為等腰直角三角形，即可求出答案．【詳解】解：△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BA′C′，∴BA′=BA=5，∠A′BA=90°，∴△A′BA為等腰直角三角形，∴A′A=，故答案為：5．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理．14.如圖，在中，半徑垂直于弦，垂足為C，，，則__________．【答案】8【解析】【分析】連接，則．由垂徑定理得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的長．【詳解】解：連接，則．∵半徑垂直于弦，，∴．在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．15.如圖，矩形的面積為8，反比例函數(shù)的圖象的一支經(jīng)過矩形對角線的交點P，則該反比例函數(shù)的解析式是________．【答案】【解析】【分析】過點P作于E，過點P作于F，利用，進而可求得k的值，即可求解．【詳解】解：過點P作于E，過點P作于F，如圖所示：四邊形為矩形，且點P為對角線的交點，，，反比例函數(shù)的解析式為，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握其幾何意義是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在平面直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，P(2a，a)是反比例函數(shù)y＝的圖象與正方形的邊的一個交點，則圖中陰影部分的面積是________．【答案】4【解析】【分析】先利用反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝確定P點坐標為（2，1），由于正方形的中心在原點O，則正方形的面積為16，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱得到陰影部分的面積為正方形面積的.【詳解】解：把P(2a，a)代入y＝得:2a?a=2，解得a=1或-1，∵點P在第一象限，∴a=1，∴P點坐標為(2，1)，∴正方形的面積=4×4=16，∴圖中陰影部分的面積=×正方形的面積=4．故答案為4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．根據(jù)對稱性理解陰影部分的面積是正方形面積的是關(guān)鍵.17.如圖，在平面直角坐標系中，點B在x軸的正半軸上，，，，點C、D均在邊上，且，若的面積等于面積的，則點D的坐標為_______．【答案】【解析】【分析】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得和重合，構(gòu)造出直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明全等，通過勾股定理設(shè)出未知數(shù)列方程求解．【詳解】解：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得和重合，旋轉(zhuǎn)后點C到點位置，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：，，∵，，∴為等腰直角三角形，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵的面積等于面積的，，∴，，∵，，∴，設(shè)，在中，，解得：，即，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．18.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是_____．【答案】4【解析】【分析】連接，過點作交延長線于點，通過證明，確定點在的射線上運動；作點關(guān)于的對稱點，由三角形全等得到，從而確定點在的延長線上；當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，求出即可．【詳解】解：連接，過點作交延長線于點，，∴，∵，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，，，點在射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，，，，，，，點在的延長線上，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱求最短路徑．能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共90分）19.計算：（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先根據(jù)分式減法法則進行計算，同時因式分解后再利用分式的除法法則把除法變成乘法，最后得出結(jié)果．（2）先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程．【小問1詳解】原式，，；【小問2詳解】原方程變形為：，，，所以，；【點睛】本題考查了分式的化簡、一元二次方程的解法，熟練掌握分式的運算法則和靈活運用一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在邊長為1正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上．（1）畫出關(guān)于原點成中心對稱的；（2）畫出繞C點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，直接寫出的坐標為______；（3）若P為y軸上一點，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）圖見解析，（3）見解析，的最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)中心對稱確定點，順次連線即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點，連線即可得到及的坐標；（3）取點C關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸一點即為點P，此時的值最小，利用勾股定理計算即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】如圖，即為所求，；故答案為：；【小問3詳解】如圖，點P即為所求，此時，即的最小值為，，∴的最小值為．【點睛】此題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱最短路徑問題等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，學(xué)會利用軸對稱解決最短路徑問題．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，其中點A的坐標為(－1，4)，點B的坐標為(4，)．（1）求這兩個函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的x的取值范圍；（3）若點P在y軸上，使得，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）一次函數(shù)的表達式為y=﹣x+3，反比例函數(shù)；（2）x＜﹣1或0＜x＜4；（3）（0，﹣1）或（0，7）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法分別求解即可；（2）根據(jù)點A、B坐標和兩個函數(shù)圖象，只需寫出直線上位于雙曲線的上方的點的橫坐標x的取值范圍即可；（3）設(shè)點P坐標為（0，t），求出直線AB與y軸的交點D坐標，根據(jù)求解t值即可解答．【詳解】解：（1）將點A（﹣1，4）代入反比例函數(shù)中，得：k2=﹣1×4=﹣4，∴反比例函數(shù)；當(dāng)x=4時，y=﹣1，∴點B的坐標為（4，﹣1），將點A（﹣1，4）、B（4，﹣1）坐標代入一次函數(shù)中，得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為y=﹣x+3；（2）根據(jù)圖象，滿足的x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜4；（3）設(shè)點P坐標為（0，t），當(dāng)x=0時，y=3，∴直線AB與y軸的交點D坐標為（0，3），由得：，解得：，，∴滿足題意的P坐標為（0，﹣1）或（0，7）．【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，利用數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系各個知識點是解答的關(guān)鍵．22.如圖，在中，，，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到，點D剛好落在邊上．（1）求n的值；（2）若F是的中點，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）n的值是60（2）四邊形是菱形，理由見解析【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)：（1）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求解即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明四邊形四邊相等即可；熟練掌握菱形的判定方法和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵在中，，，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴n的值是60；【小問2詳解】解：四邊形是菱形；理由：∵，F(xiàn)是中點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形．23.如圖，在中，，，，以邊上一點為圓心，為半徑的經(jīng)過點.（1）求的半徑；（2）點為劣弧中點，作，垂足為，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂徑定理求出AH即可解決問題．（2）如圖2中，連接OP，PA．設(shè)OP交AB于H．證明△AOP是等邊三角形即可解決問題．【詳解】（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°=．（2）如圖2中，連接OP，PA．設(shè)OP交AB于H．∵，∴OP⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP，∴△AOP是等邊三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ=QA=OA=．【點睛】本題考查解直角三角形，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.24.如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖像上，反比例函數(shù)，且，，的圖像經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．

（1）若，求點的坐標；（2）連接，．①若的面積為24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）①18；②不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)，設(shè)，代入解析式確定A的坐標，確定反比例函數(shù)解析式，根據(jù)，代入反比例函數(shù)解析式計算即可；(2)①設(shè)，則，，，根據(jù)題意，得，列出等式計算即可；②假設(shè)，證明，利用反比例函數(shù)解析式建立等式證明即可．【小問1詳解】∵正方形，，，∴，，設(shè)，則，，代入，得，解得，故，即，∴，∴；【小問2詳解】①∵點A在直線上，∴設(shè)，∵正方形，，∴，，，∴，，根據(jù)題意，得，∴，解得，（舍去），故，故；②∵，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點A在直線上，∴設(shè)，此時：，則，，∴，即：，∴，∴，∵B、C兩點在x軸的正半軸上，∴，∴，這是不可能的，故不存在某一位置使得．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的分割法計算，熟練掌握正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．25.在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A，C的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長．（2）作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長．（3）作且交延長線于點P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點D為中點．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點三點共線時最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長線于點P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點D