自動(dòng)控制原理 課件 5.5 穩(wěn)定裕度

5.5穩(wěn)定裕度

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，即相對(duì)穩(wěn)定性。頻域的相對(duì)穩(wěn)定性通常用穩(wěn)定裕度來衡量。穩(wěn)定裕度是系統(tǒng)接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，包括相角裕度

和幅值裕度

。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，在Nyquist圖中就是開環(huán)幅相特性曲線

接近臨界點(diǎn)

的程度，

曲線越接近臨界點(diǎn)

，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越差。5.5.1相角裕度1.相角裕度

的定義如圖示，設(shè)

為開環(huán)幅相特性曲線

與單位圓交點(diǎn)處的頻率（截止頻率），則系統(tǒng)在

處的幅值和相角為相角裕度

的定義：物理意義:閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性再滯后

度，則開環(huán)幅相特性曲線會(huì)穿過

點(diǎn)，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果開環(huán)相頻特性滯后角超過

度，系統(tǒng)就會(huì)變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。相角裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)。2.相角裕度在Bode圖上的表示如圖示，

為對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

與

線交點(diǎn)處的頻率，相角裕度

為

處相角

與

線的距離。5.5.2幅值裕度1.幅值裕度

的定義如圖示，設(shè)

為開環(huán)幅相特性曲線

與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率（穿越頻率），則系統(tǒng)在

處的相角和幅值為幅值裕度

的定義：物理意義:閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性再增大

倍，則開環(huán)幅相特性曲線會(huì)穿過

點(diǎn)，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果開環(huán)幅頻特性增大超過

倍，系統(tǒng)就會(huì)變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。2.幅值裕度在Bode圖上的表示如圖示，

為對(duì)數(shù)相頻特性曲線

與

線（通常為

線）交點(diǎn)處的頻率，則相角裕度和幅值裕度通常作為控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的開環(huán)頻域指標(biāo)，如果只用兩者之一，都不足以說明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，只有同時(shí)給出這兩個(gè)量才能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。但對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只要滿足

或

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。解：例5-20已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為試分別確定系統(tǒng)開環(huán)增益

、25和100時(shí)的穩(wěn)定裕度。則解得①當(dāng)

時(shí)由解得則

對(duì)于高階系統(tǒng)，一般難以準(zhǔn)確計(jì)算截止頻率

。在工程上，可根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線確定截止頻率

，即

滿足

，再由相頻特性確定相角裕度

。②當(dāng)

和

時(shí)繪出

和

時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性和對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖示。由圖可得，當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，例5-20分析表明，減小開環(huán)增益

，能夠增大系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，但會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大。為了使系統(tǒng)具有良好的過渡過程，工程上一般要求相角裕度

為

，幅值裕度

應(yīng)大于

。而欲滿足相角裕度

為

這一要求，應(yīng)使開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在截止頻率

附近的斜率大于

且具有一定的寬度，通常取

。5.5.3MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB提供了用于計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin()和allmargin()，其調(diào)用格式如下。margin(sys)%繪制系統(tǒng)在默認(rèn)頻率范圍內(nèi)的伯德圖，并顯示幅值裕度、相角裕度及相應(yīng)的頻率。[Gm,Pm,wg,wp]=margin(sys)%該調(diào)用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)的幅值裕度、相角裕度及相應(yīng)的頻率，可用GmdB=20*log10(Gm)將幅值轉(zhuǎn)換為分貝值。[Gm,Pm,wg,wp]=margin(map,phase,w)%該調(diào)用格式首先由bode()函數(shù)得到幅值map、相位phase和頻率向量w，然后返回系統(tǒng)的幅值裕度、相角裕度及相應(yīng)的頻率，而不繪制系統(tǒng)的伯德圖。可用GmdB=20*log10(Gm)將幅值轉(zhuǎn)換為分貝值。allmargin(sys)%返回單輸入單輸出系統(tǒng)的幅值裕度、相位裕度及相應(yīng)頻率，時(shí)滯幅值裕度及臨界頻率，相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定等詳細(xì)信息。解：MATLAB程序如下。例5-21已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clearnum=[10];den=conv([0.5,1,0],[0.02,1]);sys=tf(num,den);margin(sys);gridon;[Gm,Pm,wg,wp]=margin(sys)GmdB=20*log10(Gm)s=allmargin(sys)利用MATLAB求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。運(yùn)行結(jié)果如圖所示。Gm=5.2000Pm=20.3681wg=10wp=4.2460GmdB=14.3201s=包含以下字段的struct:GainMargin:5.2000GMFrequency