自動(dòng)控制原理 課件 7.4 脈沖傳遞函數(shù)

7.4脈沖傳遞函數(shù)

與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相對(duì)應(yīng)，脈沖傳遞函數(shù)是描述離散系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型，它是分析與設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)。7.4.1脈沖傳遞函數(shù)的定義

設(shè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-1所示，線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)z變換與輸入采樣信號(hào)

z變換之比，即如果已知

R(z)和G(z),則在零初始條件下,線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為

脈沖傳遞函數(shù)是線性離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)描述形式，它表征了離散系統(tǒng)的固有特性，與外作用的大小和形式無(wú)關(guān)。此外，脈沖傳遞函數(shù)只適用于線性定常離散系統(tǒng)。

脈沖傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)輸入采樣信號(hào)與輸出采樣信號(hào)之間的傳遞關(guān)系，但是對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，其輸入為采樣信號(hào)，輸出一般仍為連續(xù)信號(hào)，為了引入脈沖傳遞函數(shù)的概念，常在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個(gè)理想采樣開(kāi)關(guān)，如圖7-4-2虛線所示，對(duì)輸出的連續(xù)時(shí)間信號(hào)做假想采樣，以獲得輸出信號(hào)的采樣信號(hào)。必須指出，虛設(shè)的采樣開(kāi)關(guān)是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函數(shù)所能描述的是輸出連續(xù)信號(hào)

c(t)

在各采樣時(shí)刻的離散值

c*(t)。7.4.2脈沖傳遞函數(shù)的求取

這一過(guò)程比較復(fù)雜，可根據(jù)z變換表，直接從G(s)

得到

G(z)

，而不必逐步推導(dǎo)。通常把上述過(guò)程表示為

G(z)=

Z[G(s)]，并稱(chēng)之為

G(s)的

z變換。這一表示應(yīng)理解為根據(jù)上述過(guò)程求出

G(s)

所對(duì)應(yīng)的

G(z)

，而不能理解為

G(z)是對(duì)

G(s)

直接進(jìn)行

z=

esT

代換的結(jié)果。

如果某一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)

，那么該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)可依據(jù)下列步驟求出：（1）先求

G(s)的拉普拉斯反變換，得到單位脈沖響應(yīng)g

(t)

；（2）再將

g

(t)

按采樣周期T離散化，得到單位脈沖響應(yīng)序列

g

(kT)；（3）最后將g

(kT)進(jìn)行

z變換，得出G(z)。解：例7-16某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，求

所對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)

。查

z變換表可得

脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)在

z域的數(shù)學(xué)描述形式，而差分方程則是離散系統(tǒng)在時(shí)域的數(shù)學(xué)描述形式，在系統(tǒng)初始條件為零的情況下，兩者之間是可以互相轉(zhuǎn)換的。7.4.3脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉(zhuǎn)換例7-17設(shè)某線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為試求其脈沖傳遞函數(shù)

G(z)

。解：在零初始條件下，對(duì)差分方程兩邊取

z變換，由z變換超前定理得系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為例7-18設(shè)某線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為試求該系統(tǒng)的差分方程。解：上式等號(hào)兩邊分子、分母交叉相乘，得利用

z變換滯后定理得差分方程為

當(dāng)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí),由于采樣開(kāi)關(guān)位置不同,求出的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)截然不同。7.4.4開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

為了便于求出開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，需要了解采樣函數(shù)的拉普拉斯變換G*(s)的相關(guān)性質(zhì)。可以證明，若采樣函數(shù)的拉普拉斯變換

G1*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉普拉斯變換G2(s)

相乘后再離散化，則

G1*(s)可以從離散符號(hào)中提出來(lái)，即1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

設(shè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-3所示,兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)

G1(s)和

G2(s)

之間沒(méi)有被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)。此時(shí)系統(tǒng)輸出為對(duì)上式離散化，得取

z

變換得其中，

G1G2(z)為

G1(s)和

G2(s)

乘積的

z變換。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有被采樣開(kāi)關(guān)開(kāi)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的

z變換。這一結(jié)論可以推廣到

n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)的情形。2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-4所示,在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和

G2(s)

之間有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義有開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為其中，

G1(z)

和

G2(z)分別是

G1(s)和G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)，于是

上式表明,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這一結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)的情形。特別值得注意的是，一般情況下，

3.有零階保持器時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)有零階保持器的開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-5所示,其中零階保持器的傳遞函數(shù)為

，連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為

，中間沒(méi)有被采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理可得解：例7-19

某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，求開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。上述結(jié)果與例7-16所得結(jié)果相比較,可以看出,零階保持器的引入既不改變開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的階數(shù),也不影響開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn),只影響開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。

由于采樣開(kāi)關(guān)位置不同，閉環(huán)離散系統(tǒng)有多種結(jié)構(gòu)形式，因此求取閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)情況比較復(fù)雜，只能根據(jù)不同情況具體分析。7.4.5閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)圖7-4-6是一種比較常見(jiàn)的典型閉環(huán)離散系統(tǒng)。由圖7-4-6可知因此有對(duì)

E(s)離散化，得整理得輸出信號(hào)的采樣拉普拉斯變換兩邊取

z變換可得兩邊取

z變換可得誤差脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

其中

為閉環(huán)離散系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：例7-20某閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-7所示，試求系統(tǒng)輸出信號(hào)

變換及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。由圖可知

對(duì)

E(s)

及M

(s)離散化，得整理得

輸出信號(hào)

z變換閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為解：例7-21某閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-8所示，試求系統(tǒng)輸出信號(hào)

z變換C(z)

。由圖可知

因此有

對(duì)

C(s)離散化，得由此得

z變換，則有

由此題可以看出，由于誤差信號(hào)

e(t)處沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，輸入的

z變換

R(z)不能分離出來(lái)，因而求不出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，只能求出輸出信號(hào)的

z變換

C(z)，進(jìn)而可以確定閉環(huán)系統(tǒng)的采樣輸出信號(hào)

c*(t)。

對(duì)于采樣開(kāi)關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中不同配置的閉環(huán)離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖及其輸出采樣信號(hào)的z變換函數(shù)C(z)，可參見(jiàn)本教材表7-4-1所示。7.4.6MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，使用c2d()函數(shù)可將連續(xù)系統(tǒng)模型離散化，其調(diào)用格式如下sysd=c2d(sys,T,Method)%其中sysd為離散系統(tǒng)模型；sys為連續(xù)系統(tǒng)模型；T為采樣周期；Method用來(lái)選擇離散化方法。Method的類(lèi)型分別為：

'zoh'——零階保持器；

'foh'——一階保持器；

'tustin'——雙線性變換法；

'matched'——零極點(diǎn)匹配法；

'imp'——脈沖響應(yīng)不變法（實(shí)為直接求變換，利用該方法，將求得結(jié)果除以采樣周期，即得傳遞函數(shù)的變換）。解：MATLAB程序如下。例7-22

已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，采樣周期

T=1s

，求開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)

。clc;clearGs1=tf([2],[1,2]);%定義傳遞函數(shù)Gz1=c2d(Gs1,1,'imp');%對(duì)傳遞函數(shù)直接求變換得Gs2=tf([5],[1,5]);%定義傳遞函數(shù)Gz2=c2d(Gs2,1,'imp');%對(duì)傳遞函數(shù)直接求變換得Gz=Gz1*Gz2%開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為即開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Gz=0.1998z+0.0735-----------------------z^2-0.3034z+0.1233Sampletime:1secondsDiscrete-timetransferfunction.解：MA