小初高試卷模板

第頁江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)0323-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1.下列給出的方程中，屬于一元二次方程的是（）A.x（x﹣1）＝6 B.x2+＝0 C.（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D.ax2+bx+c＝0【答案】A【解析】【分析】一元二次方程必須滿足四個條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0；

（3）是整式方程；

（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】A.該方程化簡為選x2-x-6=0符合一元二次方程的定義，所以它是一元二次方程，故本選項正確；B.該方程不是整式方程，故本選項錯誤；C.該方程中化簡未知數(shù)x的最高次數(shù)是1，所以它不是一元二次方程，故本選項錯誤；D.該方程中要規(guī)定a≠0，所以它不是一元二次方程，故本選項錯誤；故答案選：A.【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的定義.2.用配方法解方程，配方后可得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式進行配方即可得．【詳解】解：，，，，故選：B．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．3.在同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）．A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸交點的位置和一次函數(shù)的增減性，判斷出m的符號，即可確定出正確的選項．【詳解】A．由直線與y軸的交點在y軸的負半軸上可知，＜0，錯誤；B．由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可知，m＞0，由直線可知，﹣m＞0，錯誤；C．由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＜0，錯誤；D．由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＞0，正確，故選D．考點：1．二次函數(shù)的圖象；2．一次函數(shù)的圖象．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由二次函數(shù)二次項系數(shù)結(jié)合選項找出m＜0是解題的關(guān)鍵．4.“讀萬卷書，行萬里路．”某校為了豐富學(xué)生的閱歷知識，堅持開展課外閱讀活動，學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年萬字增加到九年級的每年萬字．設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為，則可列方程為(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握為增長率問題的一般形式為，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為，根據(jù)題意得．故選：A．5.已知拋物線上有三點，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點為頂點式，其對稱軸為，圖象開口向上；和(0，)關(guān)于直線x=1對稱，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷．【詳解】解：因為，所以其對稱軸為，因為，所以拋物線開口向上，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性∶可知，和(0，)關(guān)于直線x=1對稱，因為，故，故選：D．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性．6.若二次函數(shù)y＝﹣ax2的圖象經(jīng)過點P（﹣，2），則該圖象必經(jīng)過點（）A.（，﹣2） B.（2，） C.（2，﹣） D.（，2）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性解答．【詳解】解：∵點P（?，2）與（，2）關(guān)于二次函數(shù)y＝?ax2的對稱軸y軸對稱，∴該圖象必經(jīng)過點（，2）．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)軸對稱的性質(zhì)求解更簡便．7.若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，根據(jù)菱形的面積得到，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為a，b，∴，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴，即，∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．8.當時，二次函數(shù)的最小值為－1，則a的值為（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與對稱軸的三種關(guān)系進行討論，即可得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2?2ax+3，∴拋物線的對稱軸為直線，（1）當時，在對稱軸為左側(cè)，，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，∴時，取最小值-1，即，解得：，不符合題意舍去；（2）當時，在對稱軸為右側(cè)，，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴時，取最小值-1，即，解得：，不符合題意舍去；（3）當時，在對稱軸的兩側(cè)，當時，函數(shù)有最小值為，解得：或（舍去）；綜上分析可知，a的值為，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)對稱軸的位置進行分類討論是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）9.方程是關(guān)于x的二次函數(shù)，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得，求解即可．【詳解】∵方程是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．10.若一元二次方程mx2+4x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為________【答案】m<且m≠0【解析】【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有兩個不相等實數(shù)根，可得△=b2-4ac＞0且m≠0，解此不等式組即可求得答案．【詳解】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有兩個不相等實數(shù)根，∴△=b2-4ac=42-4×m×5=16-20m＞0，解得：m＜，∵m≠0，∴m的取值范圍為：m＜

且m≠0．故答案為m＜

且m≠0．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當?<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.11.已知α、β是方程的兩個實數(shù)根，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出，的值，代入代數(shù)式進行計算即可．【詳解】解：∵已知α、β是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，熟知是一元二次方程的兩根時，是解題的關(guān)鍵．12.已知實數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值是_________．【答案】5【解析】【分析】已知方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0求出所求式子的值即可．【詳解】解：已知方程分解因式得：，可得或（無解），．故答案為：5．【點睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．13.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-2x+1，當時，y的值隨x的增大而減小，則m的取值范圍為________．【答案】0＜m≤5【解析】【分析】根據(jù)對稱軸的左側(cè)的增減性，可得m＞0，根據(jù)增減性，可得對稱軸大于或等于，可得答案．【詳解】解：由當x＜時，y的值隨x的增大而減小可知，拋物線開口向上，m＞0，且對稱軸，解得m≤5，故答案為：0＜m≤5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的增減性得出拋物線的開口方向且是解題的關(guān)鍵．14.如圖，正方形的頂點B在拋物線的第一象限的圖象上，若點B的縱坐標是橫坐標的2倍，則對角線的長為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點B的縱坐標是橫坐標的2倍，和點在拋物線的第一象限的圖象上，可以求得點的坐標．【詳解】解：設(shè)點的橫坐標為，縱坐標為，解得（不合題意，舍去），，，點的坐標為，連接，則，四邊形是正方形，，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出點的坐標．15.把拋物線的圖象先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象的解析式是，則________.【答案】7【解析】【分析】因為拋物線y＝ax2＋bx＋c圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到圖象的解析式是y＝x2?4x＋5，所以y＝x2?4x＋5向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象，先由y＝x2?4x＋5的平移求出y＝ax2＋bx＋c的解析式，再求a＋b＋c的值．【詳解】∵y＝x2?4x＋5＝（x?2）2＋1，當y＝x2?4x＋5向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象，∴y＝（x?2＋3）2＋1＋2＝x2＋2x＋4；∴a＋b＋c＝1＋2＋4＝7．故答案是：7．【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．16.如圖，二次函數(shù)的對稱軸為，給出下列結(jié)論：①；②；③；④（m為任意實數(shù)）．其中錯誤的序號是____．【答案】③④##④③【解析】【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置可判斷①；由時，時可判斷②③；由時y取最小值可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴，∴，∴①正確．由圖象可得時，，∴②正確；時，，∴③錯誤．由圖象可得時，函數(shù)取最小值，∴，即，④錯誤．綜上，錯誤的有③④．故答案為：③④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．三．解答題（共11小題，滿分82分）17.解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）分式方程無解【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程、解分式方程，熟練掌握一元二次方程的解法，解分式方程的步驟是解此題的關(guān)鍵．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）先去分母，再去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，即可求解．【小問1詳解】解：，，，，，，；【小問2詳解】解：，，，，或，；【小問3詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗，當時，，原分式方程無解．18.為落實“書香中國”的發(fā)展戰(zhàn)略，某圖書館2022年藏書量為10萬冊，計劃到2024年藏書量達到14.4萬冊．求圖書館藏書量的年平均增長率．【答案】圖書館藏書量的年平均增長率為【解析】【分析】設(shè)圖書館藏書量的年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)圖書館藏書量的年平均增長率為，根據(jù)題意得，解得：（舍去）答：圖書館藏書量的年平均增長率為．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．（1）求證：不論取何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根為和，且，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，利用即可得到k的值．【小問1詳解】證明：由題意知，，，，則，所以，無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【小問2詳解】解：由題意知，，，∵，∴，解得：．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程無實數(shù)根．20.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，滿足，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根，，可得，從而可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，再分兩種情況討論即可.【小問1詳解】解：，∵原方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：；故原方程有兩個實數(shù)根時，.【小問2詳解】解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得：，，當時，據(jù)題意可得，解得則，∴，當時，據(jù)題意可得，解得，∵，∴應(yīng)舍去，綜上可知：m的值為.【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟記概念并靈活運用是解本題的關(guān)鍵.21.已知拋物線，根據(jù)下列條件，求值：（1）拋物線的頂點在軸上；（2）拋物線的頂點在軸上．【答案】（1）2（2）0【解析】【分析】本題考查了是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）由拋物線的頂點在軸上得出拋物線與軸有一個交點，從而得到拋物線對應(yīng)的一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）根據(jù)拋物線的頂點在軸上，得出拋物線對稱軸為直線，即可得解．【小問1詳解】解：因為拋物線的頂點在軸上，所以拋物線與軸有一個交點，所以，即，解得：．【小問2詳解】解：因為拋物線的頂點在軸上，所以拋物線對稱軸為直線，所以，解得：．22.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示：x……01234……y……83m03……（1）求m的值和這個二次函數(shù)的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象（無需再單獨列表）；（3）當時，直接寫出y的取值范圍．【答案】（1），（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點為，當和時，函數(shù)值都是0，即，然后設(shè)出頂點式，將代入求出a的值即可；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得出答案．【小問1詳解】解：∵當和時，；∴拋物線的頂點為，當和時，函數(shù)值都是0，即，設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為：，將代入得，解得，∴這個二次函數(shù)的表達式為；【小問2詳解】解：如圖：【小問3詳解】解：由函數(shù)圖象得：當時，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23.第19屆亞運會原定于2022年9月10日至25日在杭州舉行，其吉祥物“瓊瓊”、“蓮蓮”、“宸宸”組成的“江南憶”毛絨玩具套件，已成為杭州店銷人氣款．某商場銷售這種毛絨玩具，平均每天可售出50套，每套盈利60元．但由于受疫情影響，此屆亞運會將延期至2023年舉行，于是該商場決定采取降價措施，以盡快減少庫存，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每套毛絨玩具每降價1元，平均每天可多售出2套．（1）若每套毛絨玩具降價5元，則該商場平均每天可盈利多少元？（2）若該商場計劃平均每天盈利3500元，則每套毛絨玩具應(yīng)降價多少元？【答案】（1）3300元（2）25元【解析】【分析】（1）根據(jù)“平均每天可售出50套，每套盈利60元，每套毛絨玩具每降價1元，平均每天可多售出2套”解答即可；（2）設(shè)每套毛絨玩具應(yīng)降價元，銷售數(shù)量為件，利潤為：元，從列方程即可求解．【小問1詳解】（元）答：該商場平均每天可盈利3300元．【小問2詳解】設(shè)每套毛絨玩具應(yīng)降價元，由題意，得：解之，得：，，∵該商場是為了盡快減少庫存，∴，答：該商場每套毛絨玩具應(yīng)降價25元．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列方程．24.閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：解方程：．解：，方程即為：，設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化：解得，，，當時，即，，；當時，即，不成立．綜上所述，原方程的解是，．以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．（1）已知方程：，若設(shè)，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于的方程是______；（2）仿照上述方法，解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式由，得，再變形原方程便可；（2）設(shè)，則，得，再解一元二次方程，最后代入所設(shè)代數(shù)式解方程便可．【小問1詳解】設(shè)，則，可化為：，即，故答案為：；【小問2詳解】設(shè)，則，原方程可化為：，整理得，，或，或，當時，，解得，當時，無解，檢驗，當時，左邊右邊，是原方程的解，故原方程的解為：．【點睛】本題主要考查了換元法，無理方程，關(guān)鍵掌握換元法的思想方法．25.如圖，拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；（3）若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）的最大面積為，（3）存在，或或，，見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：將點代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，，∴【小問3詳解】存在，或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為：，設(shè)點，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．26.如圖，中，一動點P從C出發(fā)沿著方向以1cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著方向以2cm/s的速度運動，兩點同時出發(fā)，其中一個點停止時，另一個點亦停止運動．設(shè)運動時間為．（1）當_____