《電路分析簡(jiǎn)明教程》課件第2章

2.12b法和支路法2.2回路法和網(wǎng)孔法2.3節(jié)點(diǎn)法2.4齊次定理和疊加定理2.5替代定理2.6等效電源定理2.7最大功率傳輸定理2.8電路的對(duì)偶性2.9應(yīng)用實(shí)例習(xí)題2分析電路的一般方法是首先選擇一組合適的電路基本變量(電流或/和電壓),根據(jù)KCL和KVL及元件的伏安關(guān)系(VAR)建立該組變量的獨(dú)立方程組,即電路方程,然后從方程中解出電路變量。除獨(dú)立源外,僅含有線(xiàn)性電阻和線(xiàn)性受控源的線(xiàn)性電阻電路簡(jiǎn)稱(chēng)電阻電路,其電路方程是一組線(xiàn)性代數(shù)方程。本章以電阻電路為討論對(duì)象。許多實(shí)際電路都可看做是線(xiàn)性電阻電路。電阻電路是研究動(dòng)態(tài)電路、非線(xiàn)性電路以及電路的計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。第2章電阻電路分析2.12b法和支路法

當(dāng)研究電路中各元件的連接關(guān)系時(shí),一個(gè)二端元件可以用一條線(xiàn)段來(lái)表示,稱(chēng)為支路;各支路的連接點(diǎn)畫(huà)為黑點(diǎn),稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)(或結(jié)點(diǎn))。如果將電路中每一條支路抽象成線(xiàn)段所形成的節(jié)點(diǎn)和支路集合稱(chēng)為拓?fù)鋱D。能夠畫(huà)在平面上,并且除端點(diǎn)外所有支路都沒(méi)有交叉的圖稱(chēng)為平面圖,否則稱(chēng)為非平面圖。圖中任何一個(gè)閉合路徑,即始節(jié)點(diǎn)和終節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的路徑稱(chēng)為回路;平面電路中,內(nèi)部不含節(jié)點(diǎn)和支路的回路稱(chēng)為網(wǎng)孔。

2.1.1KCL和KVL的獨(dú)立方程

設(shè)某電路拓?fù)鋱D如圖2.1-1(a)所示,對(duì)圖中的節(jié)點(diǎn)和支路分別編號(hào),支路的參考方向(即支路電流方向,支路電壓取關(guān)聯(lián)參考方向)如圖所示。圖2.1-1KCL與KVL的獨(dú)立方程對(duì)于圖2.1-1(a)節(jié)點(diǎn)a、b、c、d列出的KCL方程為(設(shè)流出電流取“+”,流入取“-”)

在以上方程組中,每個(gè)支路電流都出現(xiàn)兩次,其前面的符號(hào)一次為“+”,另一次為“-”,這是因?yàn)槊恳恢范歼B接2個(gè)節(jié)點(diǎn),支路電流必從一個(gè)節(jié)點(diǎn)流出,而流入另一個(gè)節(jié)點(diǎn)。因此,將式(2.11)中任意3個(gè)方程相加,就得到另一個(gè)方程。也就是說(shuō),式(2.11)中4個(gè)方程中,最多3個(gè)是獨(dú)立的。結(jié)論1:對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,有且僅有(n-1)個(gè)獨(dú)立的KCL方程。①任取(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)的KCL方程相互獨(dú)立;②取(n-1)個(gè)基本割集列寫(xiě)的KCL方程相互獨(dú)立。對(duì)于圖2.11(b)所示的電路,選回路列出KVL方程為(支路電壓與回路方向一致取“+”;支路電壓與回路方向相反取“-”)

將式(2.1-2)中任意3個(gè)方程相加,就得到另一個(gè)方程。也就是說(shuō),式(2.1-2)中4個(gè)方程中,最多3個(gè)是獨(dú)立的。即每一個(gè)回路至少包含一條其他回路所不包含的支路,這樣的一組回路即獨(dú)立回路組成基本回路組。獨(dú)立回路組列寫(xiě)的方程組是一組獨(dú)立的方程。結(jié)論2:對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖,有且僅有(b-n+1)個(gè)獨(dú)立的KVL方程。將能列出獨(dú)立KVL方程的回路稱(chēng)為獨(dú)立回路。常見(jiàn)的獨(dú)立回路有:①(b-n+1)個(gè)基本回路;②平面電路的(b-n+1)個(gè)網(wǎng)孔。2.1.22b分析法

對(duì)于給定的電路,電路分析的任務(wù)就是計(jì)算出各個(gè)支路電流和支路電壓,以便對(duì)電路有一個(gè)全面的了解。對(duì)于一個(gè)具有b條支路和n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,當(dāng)以支路電壓和支路電流為變量列寫(xiě)電路方程時(shí),共有2b個(gè)未知變量,所以需要列寫(xiě)2b個(gè)相互獨(dú)立的電路方程并求解,進(jìn)而完成對(duì)該電路的分析任務(wù)。那么,如何列寫(xiě)分析電路所需要的2b個(gè)相互獨(dú)立的電路方程呢?

分析如下:(1)對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路而言,其n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)是獨(dú)立的,因此,根據(jù)KCL可列出n-1個(gè)相互獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)方程。(2)對(duì)于一個(gè)具有b條支路和n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路而言,其具有b-n+1個(gè)獨(dú)立的回路,因此根據(jù)KVL可以列寫(xiě)b-n+1個(gè)獨(dú)立回路方程。(3)根據(jù)元件的伏安關(guān)系,可以列寫(xiě)出b個(gè)相互獨(dú)立支路電壓和電流關(guān)系的方程。

這樣,就可列寫(xiě)出總數(shù)為2b個(gè)相互獨(dú)立(即方程之間是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的)的方程,求解該方程組,就可以求得電路中b個(gè)支路電壓和電流,進(jìn)而全面分析該電路。由于求解電路的方程個(gè)數(shù)為2b個(gè),所以也將這種方法稱(chēng)為2b分析法。

2b分析法是電路分析中最基本的方法,其中包含許多電路分析的基本思想和基本概念,是其他電路分析方法的基礎(chǔ),因此具有重要的理論價(jià)值。2b分析法方程數(shù)目較多,它所能直接求出的未知量也較多,但使用起來(lái)比較靈活,能適應(yīng)各種情況。這種方法由于方程個(gè)數(shù)較多,手工計(jì)算量大且繁瑣,因此并不適合手工理論分析,但是,2b分析法分析思想直接,方程列寫(xiě)簡(jiǎn)單實(shí)用,所以這種方法是各種分析方法的基礎(chǔ),特別是計(jì)算機(jī)輔助分析方法的基礎(chǔ)。

上述分析告訴我們,電路分析的基本方法就是應(yīng)用KCL、KVL、OL對(duì)電路列寫(xiě)方程并進(jìn)行求解,下面所討論的各種分析方法都是基于2b分析法進(jìn)一步分析推導(dǎo)而得的。2.1.3支路法利用2b分析法列寫(xiě)出可以求解電路的2b個(gè)方程。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可以得知,要求解電路,必須化簡(jiǎn)方程組并進(jìn)行求解,即減少方程數(shù)目。因此人們提出利用支路法求解電路。以支路電流(或電壓)為未知變量列出方程,求解支路電流(或電壓),稱(chēng)為支路電流(或電壓)法,簡(jiǎn)稱(chēng)支路法。支路法是在2b法的基礎(chǔ)上,利用支路的伏安關(guān)系,用支路電流表示支路電壓(或用支路電壓表示支路電流),即以支路電流(或電壓)作為電路變量,這樣,只要列寫(xiě)b個(gè)電路方程就可以求解電路了。b個(gè)方程分別是(n-1)個(gè)獨(dú)立的KCL節(jié)點(diǎn)電流方程和(b-n+1)個(gè)獨(dú)立的KVL回路方程。求出這b個(gè)支路電流(或電壓)后,再利用各個(gè)支路的伏安關(guān)系求出b個(gè)電壓(或電流),進(jìn)而再計(jì)算出電路的其他變量(如電功率或能量)。相對(duì)于2b法,支路法的方程數(shù)減少了一半,其計(jì)算量同樣也減小了很多。綜上所述,以支路電流法為例,用支路分析法分析求解電路的步驟如下:(1)選定個(gè)支路電流的參考方向。(2)對(duì)(n-1)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn),列出獨(dú)立KCL方程。(3)選定(b-n+1)個(gè)獨(dú)立回路,指定回路繞行方向,根據(jù)KVL和OL列出回路電壓方程。列寫(xiě)過(guò)程中將支路電壓用支路電流來(lái)表示。(4)聯(lián)立求解上述b個(gè)支路電流方程。(5)進(jìn)而求題中要求的支路電壓或功率等。支路電流法共有b個(gè)方程,能直接解得b個(gè)支路電流,這比2b分析法方便了許多。不過(guò)支路電流法要求每一條支路電壓都能用支路電流來(lái)表示,否則就難寫(xiě)成以支路電流為變量的電路方程。譬如,若某一支路僅有電流源(或受控電流源),我們把這種電流源稱(chēng)為無(wú)伴電流源,則該支路電壓為未知量,而且不能用該支路電流表示。在這種情況下,就需要另行處理,而2b分析法不受這種限制。

例2.1-1

如圖2.1-2所示的電路，求各支路電流。

解圖2.1-2的電路中，如將電壓源(受控電壓源)與電阻的串聯(lián)組合看做是一條支路，則該電路共有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，3條支路。用支路電流法可列出1個(gè)KCL方程，2個(gè)KVL方程。選節(jié)點(diǎn)a為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，可列出KCL方程為－i1+i2+i3=0(1)圖2.1-2例2.1-1圖選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，如圖所示?？闪谐鯧VL方程為3i1+i2=9

(2)

-i2+2i3=-2.5i1(或2.5i1-i2+2i3=0)(3)聯(lián)立3個(gè)方程可解得i1=2A,i2=3A,i3=-1A

例2.1-2用支路法求解圖2.1-3所示電路中各支路電流及各電阻吸收的功率。解:

(1)標(biāo)出支路電流的參考方向,如圖所示。例2.1-2用支路法求解圖2.1-3所示電路中各支路電流及各電阻吸收的功率。解(1)標(biāo)出支路電流的參考方向,如圖所示。(2)選定獨(dú)立回路。這里選網(wǎng)孔。(3)對(duì)無(wú)伴電流源的處理方法:在其設(shè)定一電壓U。(4)對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)a,列KCL方程為i2-i1-2=0(1)(5)對(duì)兩個(gè)網(wǎng)孔,利用KVL和OL列回路方程為2i1

+U-12=0(2)

2i2+2u1

-U=0

(3)(6)上面3個(gè)方程中,有4個(gè)未知量。補(bǔ)一個(gè)方程:將受控源控制量u1用支路電流表示,有u1=2i1(4)(7)解式(1)、(2)、(3)、(4)得支路電流為i1=1A,i2=3A(8)電阻吸收的功率為P1=i21×2=2W,P2=i22×2=18W2.2回路法和網(wǎng)孔法

回路法是以平面電路或非平面電路的一組獨(dú)立回路電流為電路變量,并對(duì)獨(dú)立回路應(yīng)用KVL列出用回路電流表達(dá)有關(guān)支路電壓的方程的求解方法。對(duì)于平面電路,其網(wǎng)孔就是一組獨(dú)立回路,所以在分析平面電路時(shí),常選擇網(wǎng)孔作為該電路的獨(dú)立回路組,以網(wǎng)孔電流作為變量列寫(xiě)方程并求解電路,因此,也常把這種方法稱(chēng)為網(wǎng)孔法(注:網(wǎng)孔法僅適用于平面電路)。2.2.1回路法與網(wǎng)孔法對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,以回路電流為變量,則能夠列寫(xiě)出(b-n+1)個(gè)獨(dú)立的回路電流方程進(jìn)行電路分析。如圖2.21所示的平面電路,共有n=4個(gè)節(jié)點(diǎn)、b=6條支路(把電壓源與電阻串聯(lián)的電路看成一條支路),顯然,獨(dú)立回路數(shù)=網(wǎng)孔數(shù)=b-n+1=3個(gè)。圖2.2-1回路法示例列寫(xiě)回路電流方程,首先要選擇一組獨(dú)立回路,并確定回路電流的參考方向。在每個(gè)獨(dú)立回路中假想有一個(gè)電流在回路中環(huán)流一周,而各支路電流看做是由獨(dú)立回路電流合成的結(jié)果,回路的巡行方向也是回路電流的方向。如圖2.2-1所示電路,選網(wǎng)孔作獨(dú)立回路,并設(shè)定回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的回路電流方向i1、i2、i3如圖2.2-1所示。各支路電流看成是由回路電流合成得到的,為回路Ⅰ電流i1,回路Ⅱ電流i2,回路Ⅲ電流i3。R4支路上有兩個(gè)回路電流i1、i2流經(jīng),且兩回路電流方向均與i4相反,故

i4

=-i1

-i2R5支路上有兩個(gè)回路電流i1、i3流經(jīng),故i5

=-i1+i3R6支路上有兩個(gè)回路電流i2、i3流經(jīng),故i6=-i2

-i3注:相鄰兩個(gè)網(wǎng)孔間的公共支路電流可以用兩個(gè)網(wǎng)孔電流的代數(shù)和表示,方向與支路電流相同取正值,反之,取負(fù)值。對(duì)節(jié)點(diǎn)a列出KCL方程,有i1+i4+i2=i1+(-i1-i2)+i2≡0

顯然,根據(jù)式(2.21)可以解出3個(gè)回路電流i1、i2、i3,再根據(jù)各個(gè)回路電流,可以進(jìn)一步求出各個(gè)支路的電流。式(2.21)就是回路法的方程,且常稱(chēng)為回路方程。為此,將上式整理寫(xiě)成如下形式:式中,Rkk稱(chēng)為回路k的自電阻,它是繞過(guò)該回路包含的所有電阻之和,恒取“+”,例如:R11=R1+R4+R5,R22=R2+R6+R4,R33=R5+R3+R6Rkj(k≠j)稱(chēng)為回路k與回路j的互電阻,它是回路k與回路j公共支路上所有公共電阻之和。如果流過(guò)公共電阻上的兩個(gè)回路電流方向相同,其取“+”號(hào),方向相反,取“-”號(hào),例如:R12=R21=R4,R13=R31=-R5,R23=R32=R6如果兩個(gè)回路間無(wú)公共支路。顯然也無(wú)公共電阻,則對(duì)應(yīng)的互電阻為零。uskk

是回路k中所有電壓源電壓的代數(shù)和。取和時(shí),與回路電流相反的電壓源(即回路電流從電壓源的“-”極流入,“+”極流出)前面取“+”號(hào),否則取“-”,例如:us11=us5,us22=-us2,us33=-us5-us3如有電流源與電阻并聯(lián)的組合,可將其變換為電壓源。根據(jù)式(2.2-2)可以得到回路電流方程的一般形式:自電阻×本回路電流±Σ(互電阻×相鄰回路電流)=本回路電壓源沿電位升方向的代數(shù)和。

對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,其方程組的獨(dú)立回路方程是b-n+1個(gè)。這可以根據(jù)式(2.2-2)推廣。

需要指出,回路方程式(2.2-2)是各個(gè)獨(dú)立回路的KVL方程,其等號(hào)左端是各個(gè)回路電流產(chǎn)生的電壓(降),而等號(hào)的右端是電壓源的電壓(升)。由電路直接列寫(xiě)回路方程的規(guī)律總結(jié):Rkk

稱(chēng)為回路k的自電阻,其值為繞過(guò)第k個(gè)回路所有電阻之和,恒取“+”號(hào)。Rkj稱(chēng)為回路k與回路j的互電阻,其值為回路k與回路j共有支路上所有公共電阻的代數(shù)和。若流過(guò)公共電阻上的兩回路電流方向相同,則其前取“+”號(hào);方向相反,取“-”號(hào)。uskk稱(chēng)為回路k的等效電壓源,其值為回路k中所有電壓源電壓的代數(shù)和。當(dāng)回路電流從電壓源的“+”端流出時(shí),該電壓源前取“+”號(hào);否則取“-”?；芈贩ú襟E歸納如下:(1)選定一組(b-n+1)個(gè)獨(dú)立回路,并標(biāo)出各回路電流的參考方向。(2)以回路電流的方向?yàn)榛芈返难残蟹较?按照前面的規(guī)律列出各回路電流方程。自電阻始終取正值?；ル娮枨暗姆?hào)由通過(guò)互電阻上的兩個(gè)回路電流的流向而定:兩個(gè)回路電流的流向相同,取正;否則取負(fù)。等效電壓源是電壓源電壓升的代數(shù)和,注意電壓源前的符號(hào)。(3)聯(lián)立求解,解出各回路電流。(4)根據(jù)回路電流再求其他待求量。

例2.2-1

如圖2.2-2所示的電路，求各支路電流。圖2.2-2例2.2-1圖

解圖2.2-2是平面電路，可用網(wǎng)孔法求解。選定三個(gè)網(wǎng)孔，其網(wǎng)孔電流分別為i1、i2和i3，如圖所示。按圖列出網(wǎng)孔方程為由以上方程可解得

i1=3A，i2=2A，i3=1A

由圖2.2-2可求得其它各支路電流為2.2.2特殊情況的處理1.電流源的處理方法例2.2-2如圖2.2-3所示電路,用回路法求電壓Uab。

解法一:選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路,如圖所示。對(duì)于兩個(gè)網(wǎng)孔公共支路上的1A電流源,處理方法是先假設(shè)該電流源兩端的電壓U,并把它看作電壓為U的電壓源即可。由圖得網(wǎng)孔方程為補(bǔ)一個(gè)方程:小結(jié):①如果流經(jīng)電流源上的回路電流只有一個(gè),則該回路電流就等于電流源電流,這樣就不必再列該回路的方程;②若多個(gè)回路電流流經(jīng)電流源,則在該電流源上假設(shè)一電壓,并把它看成電壓源即可。解法二:選擇的獨(dú)立回路及繞行方向如圖2.24所示。這樣3個(gè)回路電流分別是IS1、IA和IS2。由于其中兩個(gè)回路電流已知,故只需列一個(gè)回路方程即可。圖2.2-4例2.22圖由圖得該回路方程為解得IA=0A,故Uab

=2IA

+16=16V

說(shuō)明:解法一選網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路,常稱(chēng)為網(wǎng)孔法,它只適用于平面電路;解法二選基本回路作獨(dú)立回路,常稱(chēng)為回路法,它更具有一般性和一定的靈活性,但列寫(xiě)方程不如網(wǎng)孔法直觀。2.受控源的處理方法例2.2-3如圖2.2-5電路,用回路法求電壓u。圖2.2-5例2.23圖

解本例中含受控源(VCCS),處理方法是:先將受控源看成獨(dú)立電源。這樣,該電路就有兩個(gè)電流源,并且流經(jīng)其上的回路電流均只有一個(gè),故該電流源所在回路電流已知,就不必再列它們的回路方程了。如圖中所標(biāo)回路電流,可知i1=0.1u,i3=4對(duì)回路2列方程為26i2-2i1-20i3=12上述一些方程中會(huì)出現(xiàn)受控源的控制變量u,用回路電流表示該控制變量,有u=20(i3-i2)解得i2=3.6A,u=8V小結(jié):對(duì)受控源首先將它看成獨(dú)立電源;列方程后,再補(bǔ)一個(gè)方程將控制量用回路電流表示。2.3節(jié)點(diǎn)法2.3.1節(jié)點(diǎn)法

在電路中任意選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓,稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)電壓或節(jié)點(diǎn)電位。各節(jié)點(diǎn)電壓的極性均以參考節(jié)點(diǎn)為“-”極。如圖2.3-1所示電路,共有4個(gè)節(jié)點(diǎn),若選節(jié)點(diǎn)4作參考點(diǎn),其余各節(jié)點(diǎn)的電壓可以分別用u1、u2和u3表示。實(shí)際上,它們分別是節(jié)點(diǎn)1、2、3與參考節(jié)點(diǎn)4之間的電壓,即u14=u1,

u24=u2,

u34=u3。節(jié)點(diǎn)法是以節(jié)點(diǎn)電壓為未知變量列出并求解方程并對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)用KCL列出用節(jié)點(diǎn)電壓表達(dá)有關(guān)支路電流方程的求解方法。圖2.3-1節(jié)點(diǎn)法示例電路中任一支路都與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連,所以任一支路電壓都等于該支路的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位之差。例如在圖2.31中,u12=u1-u2,u23=u2-u3,u13=u1-u3,u14=u1,u24=u2,u34=u3。這樣,全部支路電壓都可用有關(guān)節(jié)點(diǎn)電壓來(lái)表示,于是KVL電路方程自動(dòng)滿(mǎn)足,所以節(jié)點(diǎn)法中不需要列出KVL方程。例如對(duì)圖2.31中回路A列寫(xiě)回路的KVL方程有u13-u23-u12=u1-u3-(u2-u3)-(u1-u2)≡0所以,節(jié)點(diǎn)電壓自動(dòng)滿(mǎn)足KVL方程,而只需列出KCL方程。如果電路具有n個(gè)節(jié)點(diǎn),對(duì)除參考節(jié)點(diǎn)以外的獨(dú)立節(jié)點(diǎn),列出KCL方程,并將式中的各個(gè)支路電流用有關(guān)節(jié)點(diǎn)電壓表示,就可得到與節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)目相等的(n-1)個(gè)獨(dú)立方程。由所列方程解得節(jié)點(diǎn)電壓后,不難求出所需各個(gè)支路的電流電壓。如圖2.3-1所示電路中,對(duì)節(jié)點(diǎn)1、2、3,根據(jù)KCL(設(shè)流出節(jié)點(diǎn)的電流取“+”,則流入節(jié)點(diǎn)的電流取“-”)分別列出方程:利用OL,各電阻上的電流可以用節(jié)點(diǎn)電壓表示為將式(2.32)代入KCL方程式(2.31),得到合并整理后得顯然,根據(jù)式(2.3-4)可以解出3個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓u1、u2、u3,再根據(jù)各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓,可以進(jìn)一步求出各個(gè)支路的電壓和電流。式(2.3-4)就是節(jié)點(diǎn)法的方程,且常稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)方程。為此,將上式整理寫(xiě)成如下形式:式中,Gkk稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)k的自電導(dǎo),它是與該節(jié)點(diǎn)相連的所有電導(dǎo)之和,恒取“+”號(hào),例如:G11=G1+G2+G4,G22=G2+G3+G5,G33=G1+G3+G6Gkj(k≠j)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j互電導(dǎo),它是節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j之間公共支路上所有公共電導(dǎo)之和,恒取“-”號(hào)。例如:G12

=G21=-G2,G13

=G31=-G1,G23

=G32

=-G3如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間無(wú)公共支路。顯然也無(wú)公共電導(dǎo),則相應(yīng)的互電導(dǎo)為零。iskk

是注入節(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和。例如:iS11=iS4-iS2,iS22=iS2,iS33=-iS6根據(jù)式(2.3-5)可以得到節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式:自電導(dǎo)×本節(jié)點(diǎn)電壓+Σ(互電導(dǎo)×相鄰節(jié)點(diǎn)電壓)=流入本節(jié)點(diǎn)所有電流源的代數(shù)和對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,其獨(dú)立節(jié)點(diǎn)方程組包含(n-1)個(gè)方程。這可以根據(jù)式(2.35)推廣。利用節(jié)點(diǎn)法列寫(xiě)方程時(shí),只要選定了參考節(jié)點(diǎn),其余各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)也就確定了。以獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電壓為變量,按式(2.35)的形式列出各節(jié)點(diǎn)方程。方程中自電導(dǎo)恒取正值,互電導(dǎo)恒取負(fù)值,這是由于任一節(jié)點(diǎn)電壓都是其端節(jié)點(diǎn)電壓之差的緣故。對(duì)于僅含獨(dú)立源和線(xiàn)性電導(dǎo)的電路恒有Gkj=Gjk。

需要指出,節(jié)點(diǎn)電壓方程式(2.35)是各個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的KCL方程,其等號(hào)左端是各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓引起的流出該節(jié)點(diǎn)的電流,而等號(hào)的右端是電流源注入該節(jié)點(diǎn)的電流。由電路直接列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程的規(guī)律總結(jié)Gkk(k=1,2,3)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)k的自電導(dǎo),其值為與節(jié)點(diǎn)k相連的所有支路的電導(dǎo)之和,恒取“+”。Gkj稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j的互電導(dǎo),其值為節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j之間共有支路電導(dǎo)之和,恒取“-”。ISkk稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)k的等效電流源,其值為流入節(jié)點(diǎn)k的所有電流源電流的代數(shù)和。電流源電流流入該節(jié)點(diǎn)時(shí)取“+”;流出時(shí)取“-”。節(jié)點(diǎn)法步驟歸納如下:(1)指定電路中某一節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn),并標(biāo)出各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓。(2)按照規(guī)律列出節(jié)點(diǎn)電壓方程。自電導(dǎo)恒取正值,互電導(dǎo)恒為負(fù)。(3)聯(lián)立求解,解出各節(jié)點(diǎn)電壓。(4)根據(jù)節(jié)點(diǎn)電壓再求其他待求量。例2.3-1如圖2.3-2所示電路,求各節(jié)點(diǎn)電壓。圖2.3-2例2.3-1圖解選節(jié)點(diǎn)0為參考節(jié)點(diǎn),其余各節(jié)點(diǎn)電壓分別設(shè)為u1、u2、u3。圖2.3-2電路中各支路給出的是電阻值,而節(jié)點(diǎn)方程中采用電導(dǎo),這應(yīng)特別注意。根據(jù)圖2.3-2列出節(jié)點(diǎn)電壓方程為整理后,得

由上式可解得u1=-43/35V,u2=34/35V,u3=9/35V。以上所討論的電路中只含有獨(dú)立電流源,對(duì)于含有獨(dú)立電壓源,受控源及有伴電流源等特殊情況在后續(xù)內(nèi)容中將進(jìn)一步討論。2.3.2特殊情況的處理1.電壓源的處理方法例2.32列出圖2.3-3所示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖2.3-3例2.32圖解選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)電壓依次為u1、u2、u3。圖中有3個(gè)電壓源,其中電壓源uS3有一電阻與其串聯(lián),稱(chēng)為有伴電壓源,可將它轉(zhuǎn)換為電流源與電阻并聯(lián)的形式,如圖2.33所示。由于節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3之間的公共支路只含有電壓源uS2,稱(chēng)為無(wú)伴電壓源,且對(duì)電壓源uS2的處理辦法是:先假設(shè)uS2上的電流為I,并把它看成是電流為I的電流源即可。節(jié)點(diǎn)2與參考節(jié)點(diǎn)的支路只含有一個(gè)電壓源uS1,因此,節(jié)點(diǎn)2的電壓u2就等于該電壓源的電壓uS2,所以該節(jié)點(diǎn)的電壓方程不必再列寫(xiě)。列節(jié)點(diǎn)1和3的方程為分析該方程組,2個(gè)方程,3個(gè)變量,且增加的變量是uS2上的電流為I,因此對(duì)uS2補(bǔ)一方程:u1-u3=uS2此時(shí),有3個(gè)方程、3個(gè)變量,可以求解該電路。小結(jié):①對(duì)有伴電壓源,將其等效為電流源與電阻并聯(lián)的形式;②對(duì)于無(wú)伴電壓源,若其有一端接參考點(diǎn),則另一端的節(jié)點(diǎn)電壓已知,對(duì)此節(jié)點(diǎn)就不用列節(jié)點(diǎn)方程了;否則在電壓源上假設(shè)一電流,并把它看成電流源,最后再增加一個(gè)輔助方程。2.受控源的處理方法例2.3-3如圖2.3-4(a)所示電路,用節(jié)點(diǎn)法求電流i1和i2。解本例中含受控源(CCCS),處理方法是:先將受控源看成獨(dú)立電源,再將有伴電壓源轉(zhuǎn)換為電流源與電阻的并聯(lián)形式,如圖2.3-4(b)所示。圖2.3-4例2.3-3圖設(shè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電壓為ua和ub,則可列出節(jié)點(diǎn)方程組為再將控制量用節(jié)點(diǎn)電壓表示,即解得小結(jié):對(duì)受控源首先將它看成獨(dú)立電源;列方程后,對(duì)每個(gè)受控源再補(bǔ)一個(gè)方程將其控制量用節(jié)點(diǎn)電壓表示。3.有伴電流源的處理方法例2.3-4如圖2.3-5所示電路,求節(jié)點(diǎn)電壓。解選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn),其余各節(jié)點(diǎn)電壓分別設(shè)為u1、u2和u3。圖2.3-5例2.3-4圖首先,圖2.3-5電路中各支路給出的是電阻值,而節(jié)點(diǎn)方程中采用電導(dǎo),這應(yīng)該特別注意。其次,圖中3Ω電阻和1A電流源相串聯(lián),按電流源與電阻串聯(lián)的規(guī)則仍等效為1A的電流源,該支路電導(dǎo)為零。根據(jù)圖2.3-5列出節(jié)點(diǎn)電壓方程為整理后,得由上式可解得u1=1V,u2=3V,u3=2V。2.4齊次定理和疊加定理2.4.1齊次定理

齊次定理描述了線(xiàn)性電路的齊次性或比例性。其內(nèi)容如下:對(duì)于具有唯一解的線(xiàn)性電路，當(dāng)只有一個(gè)激勵(lì)源(獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源)作用時(shí)，其響應(yīng)(電路任一處的電壓或電流)與激勵(lì)成正比,見(jiàn)圖2.4-1和圖2.4-2。譬如:

圖2.4-1圖2.4-2i0=K1uS(常量K1單位為S),i0=K2uS(常量K2無(wú)單位),如圖2.41所示;i0=K3iS(常量K3無(wú)單位),u0=K4iS(常量K4單位為Ω)。上述描述中,K1、K2、K3及K4為常數(shù),它們只與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān),與激勵(lì)源uS或iS無(wú)關(guān)。注意:(1)齊次定理只適用于具有唯一解的線(xiàn)性電路,不適用于非線(xiàn)性電路。(2)齊次定理適用于電路中只有一個(gè)激勵(lì)源的情況。(3)線(xiàn)性電路的電壓和電流具有線(xiàn)性關(guān)系,但由于功率不是電壓或電流的線(xiàn)性函數(shù),因此功率與激勵(lì)源之間不具有線(xiàn)性關(guān)系。(4)激勵(lì)源(excitation)也稱(chēng)為輸入(input),指電路中的獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源,但受控源不是激勵(lì)源。

例2.4-1

如圖2.4-3所示的電路，求i1、i2與激勵(lì)源us的關(guān)系式。

解如圖所示電路共有3個(gè)網(wǎng)孔，選受控源的電流為網(wǎng)孔電流之一，其余網(wǎng)孔電流為i1和i2，如圖2.5-1所示。由圖可列出回路方程為(2.4-1)圖2.4-3例2.4-1圖由上式可解得(2.4-2)式中=R1R2+(R1+R2)(R3+R4)－αR2

R3(2.4-3)根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論，當(dāng)Δ≠0時(shí)，式(2.4-1)有唯一解，即式(2.4-2)。這就是齊次定理表述中“具有唯一解的”線(xiàn)性電路的含義。式(2.4-2)表明，對(duì)于線(xiàn)性電路，由于各電阻Rk的值和線(xiàn)性受控源的系數(shù)α等均為常數(shù)，因而i1、i2均與激勵(lì)源us成正比。顯然，非線(xiàn)性電路一般不具有齊次性。例2.4-2如圖2.4-4所示梯形電阻電路,求電流i1。圖2.4-4例2.42圖

分析:該電路只有一個(gè)獨(dú)立源,根據(jù)齊次定理,各處響應(yīng)與該激勵(lì)成正比。因此只要能找出激勵(lì)源與響應(yīng)i1之間的比例關(guān)系即i1=KuS,確定系數(shù)K,就可以求出任意激勵(lì)源電壓下的響應(yīng)i1。對(duì)圖中所示的梯形電路可采用逆推方法。解設(shè)i1=1A,則利用OL、KCL、KVL逐次求得故所以,當(dāng)uS=306V時(shí),電流例2.4-3如圖2.4-5所示電路,N是不含獨(dú)立源的線(xiàn)性電路,當(dāng)US=100V時(shí),i1=3A,u2=50V,R3的功率P3=60W,若US降為90V,試求相應(yīng)的i1、u2和P3。分析:該電路是只有一個(gè)獨(dú)立源的線(xiàn)性電路,可用齊次定理求解。解根據(jù)齊次定理,激勵(lì)降為原來(lái)的90/100=0.9倍，故

小結(jié):本題目中由于功率不是激勵(lì)的線(xiàn)性關(guān)系,因此不能直接用齊次定理來(lái)求解。2.4.2疊加定理

疊加定理描述了線(xiàn)性電路的可加性或疊加性，其內(nèi)容是:對(duì)于具有唯一解的線(xiàn)性電路，多個(gè)激勵(lì)源共同作用時(shí)引起的響應(yīng)(電路中各處的電流、電壓)等于各個(gè)激勵(lì)源單獨(dú)作用(其它激勵(lì)源置為零)時(shí)所引起的響應(yīng)之和。例2.4-4圖2.46(a)是含有兩個(gè)獨(dú)立源的電路,求支路電壓u。圖2.4-6疊加定理的說(shuō)明解根據(jù)圖2.4-6(a)所示電路,利用節(jié)點(diǎn)法列方程得解得u=10V。圖2.4-6(b)是電壓源uS單獨(dú)作用時(shí),電流源置為零(即電流源開(kāi)路)時(shí)的電路。由分壓公式得圖2.4-6(c)是電流源iS單獨(dú)作用時(shí),電壓源置為零(即電壓源短路)時(shí)的電路?？傻每梢?jiàn)這就證實(shí)了uS、iS共同作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)等于uS、iS單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。上述驗(yàn)證過(guò)程可推廣到包含多個(gè)激勵(lì)的一般電路。疊加定理反映了線(xiàn)性電路的基本性質(zhì)。應(yīng)用疊加定理時(shí),可以分別計(jì)算各個(gè)獨(dú)立電壓源和電流源單獨(dú)作用時(shí)的電流或電壓,然后將它們相疊加;也可以將電路中的所有獨(dú)立源分為幾組,按組計(jì)算出各自的電流或電壓,再相疊加。使用疊加定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)疊加定理僅適用于線(xiàn)性電路(包括線(xiàn)性時(shí)變電路),而不適用于非線(xiàn)性電路。(2)疊加定理僅適用于計(jì)算電路中的電壓和電流響應(yīng),而不能直接用來(lái)計(jì)算功率。(3)當(dāng)一個(gè)或一組獨(dú)立源作用時(shí),其他獨(dú)立源均置為零(即其他獨(dú)立電壓源置零用短路代替,獨(dú)立電流源置零用開(kāi)路代替),而電路的結(jié)構(gòu)和所有電阻和受控源均應(yīng)保留原樣。注意受控源不是激勵(lì)源。(4)疊加的方式是任意的?？梢砸淮问挂粋€(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用,也可以一次使幾個(gè)獨(dú)立源同時(shí)作用,即:可以將獨(dú)立源分成若干組分別單獨(dú)作用,每組的獨(dú)立源數(shù)目可以是一個(gè)或多個(gè)。例2.4-5如圖2.4-7(a)所示電路,求ix

和ux

。圖2.4-7例2.4-5圖解用疊加定理求解。當(dāng)電路電壓源單獨(dú)作用時(shí),將獨(dú)立電流源置為零,受控源保留,如圖2.4-7(b)所示。由于這時(shí)控制變量為,故受控電壓源的端電壓為。由圖2.4-7(b)可得可解得當(dāng)獨(dú)立電流源單獨(dú)作用時(shí),將獨(dú)立電壓源置為零,受控源保留,如圖2.4-7(c)所示。這時(shí)控制量為,故受控電壓源的端電壓為。由圖2.4-7(c),根據(jù)KVL有可解得最后,根據(jù)疊加定理,可得圖2.4-7(a)電路中例2.4-6如圖2.4-8所示電路,N是含有獨(dú)立源的線(xiàn)性電路,已知:當(dāng)uS=6V,iS=0時(shí),開(kāi)路電壓uo=4V;當(dāng)uS=0V,iS=4A時(shí),uo=0V;當(dāng)uS=-3V,iS=-2A時(shí),uo=2V;求當(dāng)uS=3V,iS=3A時(shí)的電壓uo。圖2.4-8例2.4-6圖解上式得將它們代入式(2.44),得因此,當(dāng)uS=3V,iS=3A時(shí)有小結(jié):疊加定理對(duì)于一些黑盒子電路的分析十分有用。2.5替代定理替代定理也稱(chēng)為置換定理,它對(duì)于簡(jiǎn)化電路的分析非常有用。替代定理既可用于線(xiàn)性電路,也可用于非線(xiàn)性電路。替代定理的內(nèi)容:對(duì)于具有唯一解的線(xiàn)性或非線(xiàn)性電路,若某支路的電壓u或電流i已知(如圖2.51(a)所示),則該支路可用uS=u的電壓源替代(如圖2.51(b)所示),或用iS=i相同的電流源替代(如圖2.51(c)所示),替代后電路其他各處的電流和電壓均保持原來(lái)的值。即:支路A用電壓源或電流源替代后,N中的電流、電壓保持不變。圖2.5-1替代定理替代定理所說(shuō)的某支路可以是無(wú)源的,也可以是含有獨(dú)立源的支路,甚至是一個(gè)二端電路,但是,被替代的支路與原電路的其他部分(圖2.5-1(a)中電路N)間不能有耦合。也就是說(shuō),在被替代部分的電路中不應(yīng)有控制量在N中的受控源,而N中受控源的控制量也不應(yīng)在被替代部分的電路中。例如,對(duì)圖2.5-2(a)所示電路,求電壓ua

、i1、i2、i3。圖2.5-2列圖2.52(a)節(jié)點(diǎn)方程得解得根據(jù)替代定理,圖2.5-2(a)中i2支路可用iS=0.5A的電流源替代,得圖2.5-2(b),列節(jié)點(diǎn)方程為解得替代前后,未被替代的部分中,各電流、電壓保持原來(lái)的值。應(yīng)用替代定理時(shí),必須注意以下幾點(diǎn):(1)替代定理對(duì)線(xiàn)性和非線(xiàn)性電路均適用。(2)區(qū)別替代定理與等效變換的本質(zhì)。替代定理針對(duì)某個(gè)具體電路,在替代前后,被替代支路以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)不能改變,否則無(wú)法替代;而等效變換針對(duì)任意電路,與變換以外的電路無(wú)關(guān)。也就是說(shuō),替代只是在靜態(tài)的情況下對(duì)電路的置換,當(dāng)電路狀態(tài)變化時(shí)替代也就發(fā)生了變換;而等效對(duì)外電路來(lái)講電路性質(zhì)完全相同,外電路發(fā)生變化時(shí)等效部分能完全按原電路應(yīng)有的行為發(fā)生變換。如圖2.5-3(a)中的N1與圖2.5-3(b)中的N2是替代關(guān)系,不是等效關(guān)系。圖2.5-3(3)替代定理應(yīng)用時(shí),注意不要把受控源的控制量替換掉。如圖2.5-4所示電路,不能對(duì)虛框內(nèi)的部分進(jìn)行替代。圖2.5-4例2.5-1如圖2.5-5(a)所示電路,已知電壓u=9V,求二端電路N吸收的功率PN。圖2.5-5例2.5.1圖

分析利用替代定理將電路N用電壓為9V的電壓源替代,得到圖2.5-5(b);9V電壓源吸收的功率就是電路N吸收的功率。解設(shè)節(jié)點(diǎn)a及參考點(diǎn),如圖2.5-5(b)所標(biāo),列出節(jié)點(diǎn)電壓方程為解得ua=12V因此故例2.5-2如圖2.5-6(a)所示電路,求電流i。圖2.5-6例2.5-2圖解根據(jù)等電位節(jié)點(diǎn)可以分裂和合并的原則,將圖2.56(a)等效為圖2.5-6(b),再利用替代定理,將圖2.5-6(b)等效為圖2.5-6(c),將圖2.5-6(c)表示為大家熟悉的形狀,如圖2.5-6(d),再利用等效變換將4A電流源與2Ω電阻并聯(lián)等效為2Ω電阻與8V電壓源串聯(lián)形式,如圖2.5-6(e)。由圖2.5-6(e)可得2.6等效電源定理2.6.1戴維南定理

戴維南定理內(nèi)容可表述為:任意一個(gè)線(xiàn)性二端含源電路N(如圖2.6-1(a)所示),對(duì)其外部而言,可以用一個(gè)電壓源和電阻的串聯(lián)組合來(lái)等效(如圖2.6-1(b)所示)。該電壓源的電壓值uoc等于電路N二端子間的開(kāi)路電壓,其串聯(lián)電阻值R0等于電路N內(nèi)部所有獨(dú)立源為零時(shí)二端子間的等效電阻,如圖2.6-1(c)所示。圖2.6-1戴維南定理圖示對(duì)于圖2.6-1(b)所示電路,上述電壓源與電阻的串聯(lián)組合稱(chēng)為戴維南等效電路,R0稱(chēng)為戴維南等效電阻。應(yīng)用戴維南定理時(shí)的注意事項(xiàng)如下:(1)戴維南定理只適用于線(xiàn)性含源的二端電路(或一端口電路),即其二端含源電路內(nèi)部可包含線(xiàn)性電阻、獨(dú)立源和線(xiàn)性受控源。當(dāng)二端電路接外電路時(shí),電路必須有唯一解。至于外電路,沒(méi)有限制,可以是線(xiàn)性的,也可以是非線(xiàn)性的。(2)二端電路N和外電路之間必須無(wú)任何耦合聯(lián)系(如二端電路中受控源受到外電路中電流或電壓的控制,或者外電路中的受控源其控制量在二端電路中,等等),如圖2.6-2所示。例如:對(duì)圖2.6-2(a)和圖2.6-2(b)不能對(duì)N應(yīng)用戴維南定理。但如果控制量位于端口上(圖2.6-2(c)),則可以使用。(3)求戴維南等效電阻R0時(shí),受控源不能置零值,必須保留在原電路中一并計(jì)算R0。(4)應(yīng)用戴維南定理的關(guān)鍵是求出二端電路N的開(kāi)路電壓uoc和等效電阻R0。開(kāi)路電壓uoc的計(jì)算方法如下:

先將負(fù)載支路(或外接電路)斷開(kāi),設(shè)出開(kāi)路電壓uoc的參考方向,如圖2.6-3所示。注意與戴維南等效電路相對(duì)應(yīng)。然后計(jì)算該電路的開(kāi)路電壓uoc。其計(jì)算方法視具體電路而定,前面介紹的電路分析方法都可使用。圖2.6-3開(kāi)路電壓uoc的求解等效電阻R0的計(jì)算方法如下:(1)串并聯(lián)方法。若二端電路N中無(wú)受控源,當(dāng)令N中所有獨(dú)立源的值為零(電壓源短路,電流源開(kāi)路)后,得到的N0是一個(gè)純電阻電路。此時(shí),利用電阻的串并聯(lián)公式和Y-△等效公式求R0最簡(jiǎn)單。(2)外加電源(獨(dú)立電壓源或電流電流源)法。若二端電路N中含有受控源,令N中所有獨(dú)立源的值為零(電壓源短路,電流源開(kāi)路)。注意:受控源要保留,此時(shí)得到的N0有內(nèi)部含受控源,則根據(jù)電阻的定義,在N0的二端子間外加電源。若加電壓源u,就求端上的電流i(如圖2.6-4(a));若加電流源i,則求端子間電壓u(如圖2.6-4(b))。注意:u與i對(duì)N0來(lái)說(shuō),必須關(guān)聯(lián)。則圖2.6-4外加電源法求R0(3)開(kāi)路短路法。根據(jù)開(kāi)路電壓uoc、短路電流iSC和R0三者之間的關(guān)系求R0。先求出uoc,再求出iSC。電流電壓參考方向如圖2.65(a)、(b)所示,(注意:若求uoc時(shí)其參考方向a為“+”極,求isc時(shí)其參考方向應(yīng)設(shè)成從a流向b)。則圖2.6-5開(kāi)路電壓uoc及短路電流isc(4)伏安關(guān)系法(或稱(chēng)為外特性法)。戴維南等效電路如圖2.6-6所示,端口上電壓u與電流i取關(guān)聯(lián)參考方向,其端口的伏安關(guān)系(VAR)為

所謂伏安關(guān)系法,就是直接對(duì)二端線(xiàn)性電路N,推導(dǎo)出兩端子上的電壓u和電流i之間的一次關(guān)系式(即N端子上的伏安關(guān)系式(VAR)),其常數(shù)項(xiàng)即為開(kāi)路電壓uoc,電流前面所乘的系數(shù)即為等效內(nèi)阻R0。下面具體介紹求解戴維南等效電阻R0的各種方法。(1)不包含受控源的二端電路N———串并聯(lián)方法。例2.61如圖2.6-7(a)所示電路N,求其戴維南等效電阻R0。圖2.6-7例2.6-1圖

解根據(jù)N0的定義,將N中的電壓源短路,電流源開(kāi)路得N0,如圖2.6-7(b)所示。由圖2.6-7(b)很容易求出N0的ab端等效電阻,該電阻就是戴維南等效電阻:(2)含有受控源的二端電路N———外加電源法。例2.6-2如圖2.6-8(a)電路,求R0。圖2.6-8例2.6-2圖解將N中電壓源短路、電流源開(kāi)路,受控源保留,得到N0,并外加電流源i,如圖2.6-8(b)所示。對(duì)圖2.6-8電路(b),已知i(可以給定具體的值,也可以不給定),求u。由圖(2.6-8),可見(jiàn)i1

=-i在c點(diǎn)列KCL,有i2+i1-0.5i1=0i2=-0.5i1=0.5iu=2i2+2i=i+2i=3i因此(3)開(kāi)路短路法。例2.6-3如圖2.6-9(a)電路,求R0。圖2.6-9例2.63圖解對(duì)圖2.6-9(a)電路,由于ab端開(kāi)路,故有i1=0。此時(shí),受控電流源相當(dāng)于開(kāi)路。因此

uoc=2×(2+2)+4=12V將N的端口短路,并設(shè)定短路電流isc,如圖2.69(b)所示,可見(jiàn)i1=isc在節(jié)點(diǎn)c、d分別列KCL,有i2

+0.5i1

+2=i1i3

+2=isc故i2

=-2+0.5i1

=-2+0.5isci3

=isc-2對(duì)回路B利用KVL和OL,有2i2

-4+2i3

=0代入得2(-2+0.5isc)-4+2(isc-2)=0解得isc=4A故(4)伏安關(guān)系法(或外特性法)。例2.6-4如圖2.6-10(a)電路N,求uoc和R0。圖2.6-10例2.6-4圖解求該二端電路的VAR,常用外加電源法。對(duì)N外加電流源i,如圖2.6-10(b)。在c、d點(diǎn)列KCL得i2=2+0.5i1

-i1

=2–0.5i1=2+0.5ii3=2+i在圖2.610(b)中,設(shè)定回路B的巡行方向,由KVL和OL定律有

u=2i2+2i3+4=12+3i故uoc=12V,R0=3Ω

例2.6-5如圖2.611(a)所示電路中,N為線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò)。已知:u=2000i+10V,iS=2mA,求N的等效電路。圖2.6-11例2.6-5圖解依據(jù)戴維南定理,原電路N可等效為戴維南等效電路,如圖2.6-11(b)所示。電路的VAR方程為由于已知u=2000i+10,所以解得R=2000Ω,uS=6V2.6.2諾頓定理具體內(nèi)容表述任意一個(gè)線(xiàn)性二端含源電路N如圖2.6-12(a)所示,對(duì)其外部而言,可以用一個(gè)電流源和電阻的并聯(lián)組合來(lái)等效N,如圖2.6-12(b)所示。該電流源的電流值isc等于電路N二端子短路時(shí)其上的短路電流,其并聯(lián)電阻值R0等于電路N內(nèi)部所有獨(dú)立源置零時(shí)二端子間的等效電阻,如圖2.6-12(c)所示。圖2.6-12諾頓定理圖示一般情況下,戴維南等效電路與諾頓等效電路本質(zhì)上是相同的,兩者互為等效,如圖2.6-13所示?？蓪⒅Z頓定理看作是戴維南定理的另一種形式。注意:若電路N的等效內(nèi)阻為0時(shí),則該電路等效為理想電壓源,其諾頓等效源不存在。若電路N的等效內(nèi)阻為∞時(shí),則該電路等效為理想電流源,其戴維南等效源不存在。圖2.6-13兩種模型互為等效示意圖例2.6-6如圖2.6-14(a)所示電路中,利用諾頓定理求電流i。圖2.6-14例2.6-6圖

解諾頓等效電路如圖2.614(b)所示。求解等效內(nèi)阻R0如圖2.614(c)所示,根據(jù)串并聯(lián)關(guān)系可得R0=8Ω求解短路電流isc電路如圖2.614(d)、(e)所示。在圖2.614(d)中,根據(jù)串并聯(lián)關(guān)系、分壓公式和歐姆定理可得4Ω電阻上的電流為由圖2.6-14(e)可得isc=0.5A故isc=0.5+1=1.5A在圖2.6-14(b)中,由分流公式可得當(dāng)然,此題也可以用戴維南定理求解。2.7最大功率傳輸定理許多電子設(shè)備所用的電源或信號(hào)源內(nèi)部都比較復(fù)雜,我們可將其視為一個(gè)有源的二端電路N(或一端口電路),如圖2.7-1(a)所示。用戴維南定理可將該二端電路進(jìn)行等效,如圖2.7-1(b)虛框所示。由于電源或信號(hào)源給定,因而戴維南等效電路中獨(dú)立電壓源uoc和電阻R0為給定值。負(fù)載電阻RL所吸收的功率PL只隨電阻RL的變化而變化。

圖2.7-1功率傳輸圖2.7-1(b)所示的電路中，流經(jīng)負(fù)載RL的電流負(fù)載RL吸收的功率(2.7-1)為求得RL上吸收的功率PL為最大的條件，對(duì)上式求導(dǎo)，并令其等于零，即得(不難求得負(fù)載RL獲得最大功率時(shí)的條件為

RL=R0

(2.7-2)將以上條件代入式(2.7-9)，得負(fù)載RL獲得的最大功率(2.7-3)RL=R0也稱(chēng)為最大功率匹配條件。例2.7-1如圖2.7-2(a)所示電路,設(shè)負(fù)載RL可變,問(wèn)RL為多大時(shí)它可獲得最大功率?此時(shí)最大功率PLmax為多少?圖2.7-2例2.7.1圖解

首先將RL以外的電路等效為戴維南電路,如圖(b)所示。在圖2.72(a)中,當(dāng)RL斷開(kāi)時(shí),a、b處的開(kāi)路電壓為

uoc=4-1×2=2V再令獨(dú)立源為零,容易得到ab端的等效電阻為R0=2Ω從而得圖2.7-2(b)電路,所以,RL=R0=2Ω時(shí)負(fù)載與電源匹配。此時(shí)最大功率為2.8電路的對(duì)偶性在以上的研究中，我們可以發(fā)現(xiàn)，電路中的許多變量、元件、結(jié)構(gòu)及定律都是成對(duì)出現(xiàn)，并且存在相類(lèi)似的一一對(duì)應(yīng)的特性。這種特性就稱(chēng)為電路的對(duì)偶性。譬如，對(duì)電阻元件，其元件約束關(guān)系是歐姆定律，即u=Ri

或i=Gu。如果將一個(gè)表達(dá)式中的u與i對(duì)換，R與G對(duì)換，就得到另一個(gè)表達(dá)式。電路中結(jié)構(gòu)約束是基爾霍夫定律，在平面電路中，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)可列一個(gè)KCL方程而對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔可列一個(gè)KVL方程這里節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)，KCL與KVL對(duì)應(yīng)，電壓與電流對(duì)應(yīng)。具有這樣一一對(duì)應(yīng)性質(zhì)的一對(duì)元素（電路變量、元件參數(shù)、結(jié)構(gòu)、定律等），可稱(chēng)為對(duì)偶元素。電路中的一切公式和定理都是從電路的結(jié)構(gòu)約束和元件約束推導(dǎo)出來(lái)的。既然這兩種約束都具有對(duì)偶的特性，那么由它們推導(dǎo)出的關(guān)系顯然也會(huì)有對(duì)偶特性。電路的對(duì)偶特性是電路的一個(gè)普遍性質(zhì)，電路中存在大量對(duì)偶元素，表2-1中列出了一些常用的互為對(duì)偶的元素。表2-1電路中一些常用的互為對(duì)偶的元素對(duì)于圖2.8-1所示的電路，圖2.8-1(a)的網(wǎng)孔方程(網(wǎng)孔電流均為順時(shí)針?lè)较?，圖2.8-1(b)的節(jié)點(diǎn)方程分圖2.8-1對(duì)偶電路比較這兩組方程可以看出,它們的形式相同,對(duì)應(yīng)變量為對(duì)偶元素,所以通常把這兩組方程稱(chēng)為對(duì)偶方程。電路中把像這樣一個(gè)電路的節(jié)點(diǎn)方程與另一個(gè)電路的網(wǎng)孔方程對(duì)偶的兩電路稱(chēng)為對(duì)偶電路。顯然,圖2.8-1(a)、(b)兩電路對(duì)偶。2.9應(yīng)用實(shí)例2.10.1D/A轉(zhuǎn)換電路

在現(xiàn)代測(cè)控系統(tǒng)中，通常需要將經(jīng)計(jì)算機(jī)處理后的數(shù)字信號(hào)(二進(jìn)制數(shù)碼0和1)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)(連續(xù)變化的電流或電壓)，以便直接輸出或控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)(如電動(dòng)機(jī)等)。將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)的電路稱(chēng)為數(shù)