《電路與信號(hào)》課件模塊5

模塊5基本信號(hào)及信號(hào)的運(yùn)算5.1基本信號(hào)

5.2信號(hào)的運(yùn)算

本模塊小結(jié)習(xí)題5 5.1基本信號(hào)

5.1.1指數(shù)信號(hào)

1.實(shí)指數(shù)信號(hào)

實(shí)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為

f(t)=Eeat

(5.1.1)

式中,a為實(shí)數(shù)。f(t)的波形與a的大小有關(guān)，如圖5.1.1所示。

指數(shù)衰減信號(hào)在t＜0時(shí)函數(shù)值為零，稱為單邊指數(shù)衰減信號(hào)，其表示式為

其波形如圖5.1.2所示。在電路瞬態(tài)分析中該信號(hào)用得較多。(5.1.2)圖5.1.1指數(shù)信號(hào)圖5.1.2單邊指數(shù)衰減信號(hào)

2.復(fù)指數(shù)信號(hào)

當(dāng)式(5.1.1)中的實(shí)指數(shù)因子a變?yōu)橐粡?fù)數(shù)s時(shí)，函數(shù)變?yōu)閺?fù)指數(shù)信號(hào)，其表示式為

f(t)=Eest

(5.1.3)

式中，s=σ+jω。根據(jù)歐拉公式：

ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)

可知，復(fù)指數(shù)信號(hào)又可以表示為

f(t)=Ee(σ+jω)t=Eeσtcos(ωt)+jEeσtsin(ωt)

(5.1.4)5.1.2單位斜變信號(hào)

單位斜變信號(hào)是指從某一時(shí)刻開始隨時(shí)間正比例增長(zhǎng)的信號(hào)，如果增長(zhǎng)的變化率是1，就稱為單位斜變信號(hào)，通常用R(t)表示，其波形如圖5.1.3(a)所示，其表示式為

如果將起點(diǎn)移至t0處，則其波形如圖5.1.3(b)所示，稱為R(t)的時(shí)移信號(hào)，表示式為(5.1.5)(5.1.6)圖5.1.3單位斜變信號(hào)5.1.3單位階躍信號(hào)

1.單位階躍信號(hào)的定義式

單位階躍信號(hào)簡(jiǎn)稱為階躍信號(hào)，通常用ε(t)表示，其波形如圖5.1.4(a)所示，表示式為

在t=0時(shí)刻，函數(shù)未定義，可根據(jù)實(shí)際的物理意義，定義ε(t)在t=0處的函數(shù)值為0、1、1/2等。(5.1.7)圖5.1.4單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的物理意義是：當(dāng)ε(t)為電路的電源時(shí)，相當(dāng)于該電路在t=0時(shí)刻接入單位直流電源，且不再變化，其示意圖如圖5.1.5所示。圖5.1.5

ε(t)的物理意義圖5.1.4(b)、(c)分別表示將ε(t)右移至t0位置和左移至－t0位置所形成的圖形，它們的函數(shù)表達(dá)式分別是

ε(t－t0)和ε(t+t0)均稱為ε(t)的時(shí)移信號(hào)。(5.1.9)(5.1.8)

2.單位階躍信號(hào)的性質(zhì)

單位階躍信號(hào)具有截取信號(hào)的能力。所謂截取信號(hào)的能力，是指任一信號(hào)f(t)與單位階躍信號(hào)ε(t)的乘積f(t)ε(t)所表示的信號(hào)是f(t)中t>0的部分。同理，f(t)ε(t－t0)表示的信號(hào)是f(t)中t>t0的部分。

對(duì)實(shí)際問題中的信號(hào)，在確定時(shí)間以后或在有限的時(shí)間范圍內(nèi)，利用階躍信號(hào)幅度值為1的特點(diǎn)，就可以將這些信號(hào)用單位階躍信號(hào)及其時(shí)移信號(hào)來表示信號(hào)存在的時(shí)間范圍。

例如，單邊指數(shù)衰減信號(hào)可表示為

f(t)=Ee－atε(t)

(5.1.10)單位斜變信號(hào)可表示為

R(t)=tε(t)

(5.1.11)

比較式(5.1.10)和式(5.1.11)與式(5.1.2)和式(5.1.5)即可看出，這種表示法比分段表示的函數(shù)形式簡(jiǎn)便得多。

應(yīng)注意單邊指數(shù)衰減信號(hào)、單位斜變信號(hào)圖像與圖5.1.6所示的函數(shù)圖的區(qū)別。圖5.1.6指數(shù)衰減函數(shù)和正比例函數(shù)又如，一般的正弦信號(hào)是定義在全時(shí)間范圍內(nèi)的(見圖5.1.7(a))，即

f(t)=sin(ωt)

(－∞<t<∞)

(5.1.12)

(1)取t>0以后的正弦信號(hào)(見圖5.1.7(b))，即

f(t)=sin(ωt)

(t>0)

(5.1.13)

即可用ε(t)去限制它的時(shí)間區(qū)間，表示為

f1(t)=sin(ωt)ε(t)

(5.1.14)

(2)取t≥t0以后的正弦信號(hào)(見圖5.1.7(c))，用ε(t)可表示為

f2(t)=sin(ωt)ε(t－t0)

(5.1.15)圖5.1.7存在于不同區(qū)間的正弦信號(hào)

3.由階躍信號(hào)組成的門信號(hào)

門信號(hào)是另一個(gè)重要的信號(hào)，常用Gτ(t)表示，其波形如圖5.1.8所示，它是寬度為τ、幅度為1的矩形脈沖，且門信號(hào)的寬度的位置是可以任意選定的。

圖5.1.8所示的門信號(hào)的表示式為(5.1.16)(5.1.17)圖5.1.8門信號(hào)

【例5.1.1】分別用門信號(hào)和階躍信號(hào)表示圖5.1.9所示的信號(hào)。

解：f1(t)=2［ε(t+1)－ε(t)］+ε(t)－ε(t－2)=2ε(t+1)－ε(t)－ε(t－2)

因T=4π， ，故圖5.1.9例5.1.1圖5.1.4單位沖激信號(hào)

1．δ(t)函數(shù)的定義式

沖激函數(shù)的定義方式有多種，現(xiàn)給出它的工程定義式：

單位沖激信號(hào)的波形如圖5.1.10(a)所示。(5.1.18)圖5.1.10沖激信號(hào)沖激函數(shù)的另一種定義式是通過對(duì)某些滿足一定條件的規(guī)則信號(hào)取廣義極限而建立起來的。例如，選取圖5.1.11所示的矩形脈沖f(t)，該脈沖的寬度為τ，幅度為，面積為1。如果減小脈寬τ，則脈沖幅度必增大，但面積仍為1。當(dāng)τ趨于零時(shí)，必趨于無窮大，但面積恒等于1不變。這個(gè)矩形脈沖在τ→0時(shí)的極限就是單位沖激信號(hào)δ(t)。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(5.1.19)圖5.1.11沖激函數(shù)的另一種定義

2.沖激信號(hào)的主要性質(zhì)

單位沖激信號(hào)不同于其他常見的信號(hào)，它有幾個(gè)性質(zhì)比較突出。

(1)如果f(t)是一個(gè)在t=0或t=t0點(diǎn)連續(xù)且處處有界的函數(shù)，則有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(5.1.20)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(5.1.21)

(2)沖激函數(shù)的抽樣性(也稱篩選性)如下：(5.1.22)(5.1.23)

(3)沖激函數(shù)是偶函數(shù),即

δ(t)=δ(－t)

(5.1.24)

(4)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系如下：(5.1.25)(5.1.26)(5.1.27)

【例5.1.2】完成下列運(yùn)算。

(1)(t2－t+1)δ(t+1)；

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］；

解：(1)(t2－t+1)δ(t+1)=3δ(t+1)

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］=δ(t)－e－1δ(t－1)(3)；(4)。(3)(4)

【例5.1.3】已知信號(hào)f(t)的波形如圖5.1.12所示，試求出f(t)、f'(t)的表達(dá)式，并畫出導(dǎo)函數(shù)f'(t)的波形圖。

解：

f1(t)=ε(t)－ε(t－1)+t［ε(t－1)－ε(t－2)］

f'1(t)=δ(t)－δ(t－1)+ε(t－1)－ε(t－2)+t［δ(t－1)

－δ(t－2)］

=δ(t)+(t－1)δ(t－1)－tδ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)

=δ(t)－2δ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)圖5.1.12例5.1.3圖一這里的計(jì)算使用了公式f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)和 、 ，得

(t－1)δ(t－1)=0

－tδ(t－2)=－2δ(t－2)

又因 ， ，所以

f2(t)=2［ε(t)－ε(t－1)］+ε(t－1)－ε(t－2)

f'2(t)=2［δ(t)－δ(t－1)］+δ(t－1)－δ(t－2)

=2δ(t)－δ(t－1)－δ(t－2)

可見，f'2(t)是由3個(gè)沖激信號(hào)組成的。

f'1(t)、f'2(t)的波形圖如圖5.1.13所示。圖5.1.13例5.1.3圖二由圖5.1.12和圖5.1.13可歸納出另一種求導(dǎo)函數(shù)f'(t)的更為簡(jiǎn)捷的方法，具體步驟如下(以f1(t)為例)：

(1)因

所以

(2)若已知在函數(shù)f(t)不連續(xù)點(diǎn)處的跳變值，則導(dǎo)函數(shù)f'(t)在該點(diǎn)是一個(gè)強(qiáng)度等于這個(gè)跳變值的沖激信號(hào)。

因此，函數(shù)f1(t)在不連續(xù)點(diǎn)t=0處，f1(t)的跳變值是1，則該處的導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是一個(gè)強(qiáng)度為1的沖激信號(hào)δ(t)；在不連續(xù)點(diǎn)t=2處，f1(t)的跳變值是－2，則該處的導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是一個(gè)強(qiáng)度為－2的沖激信號(hào)－2δ(t－2)。

綜合以上兩步驟得知，導(dǎo)函數(shù)f'1(t)是由一個(gè)門信號(hào)和兩個(gè)沖激信號(hào)組成的,因此不難畫出f'1(t)的波形圖如圖5.1.13(a)所示。5.1.5正負(fù)號(hào)信號(hào)

正負(fù)號(hào)函數(shù)又稱符號(hào)函數(shù)，用sgn(t)表示，其表示式為

該函數(shù)的波形圖如圖5.1.14(a)所示。

圖5.1.14(b)、(c)的表示式是

f1(t)=Esgn(t)

(5.1.29)

f2(t)=sgn(t+t0)

(5.1.30)(5.1.28)

5.2信號(hào)的運(yùn)算

5.2.1信號(hào)的和、積、微分與積分運(yùn)算

1.信號(hào)的和、積運(yùn)算

信號(hào)的和與積運(yùn)算的方法是：信號(hào)在同一瞬間的函數(shù)值之和(積)等于和(積)信號(hào)在該瞬間的函數(shù)值。這一運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，易于理解。

2.信號(hào)的微分與積分運(yùn)算

信號(hào)的微分運(yùn)算f'(t)已在5.1節(jié)例5.1.3中作了詳細(xì)的說明。應(yīng)該特別注意的是，在不連續(xù)點(diǎn)處的微分是一個(gè)強(qiáng)度為跳變量大小的沖激函數(shù)。信號(hào)的積分運(yùn)算定義為： ，表示從－∞到t時(shí)間內(nèi)對(duì)函數(shù)f(t)的積分，t為任一時(shí)刻，是一變量。

【例5.2.1】已知f(t)的波形如圖5.2.1(a)所示，試求出信號(hào)的微分運(yùn)算f'(t)和信號(hào)的積分運(yùn)算 ，并作出函數(shù)f'(t)和f－1(t)的波形圖。圖5.2.1例5.2.1圖

解：(1)微分運(yùn)算。因?yàn)樵?<t<2時(shí)，f'(t)=0，而t=1時(shí)，函數(shù)f(t)不連續(xù)，其跳變量為1，所以在t=1處，導(dǎo)函數(shù)f'(t)有一個(gè)沖激強(qiáng)度為1的沖激函數(shù)δ(t－1)。在t=2處，函數(shù)f(t)也不連續(xù)，其跳變量為－1，所以在t=2處，導(dǎo)函數(shù)f'(t)有一個(gè)沖激強(qiáng)度為-1的沖激函數(shù)δ(t－2)。

總結(jié)以上幾點(diǎn)，可將導(dǎo)函數(shù)f'(t)的波形圖畫出，如圖5.2.1(b)所示。

(2)積分運(yùn)算。因?yàn)樵趖<1時(shí)，f(t)=0，所以因?yàn)樵?<t<2時(shí)，f(t)=1，所以

因?yàn)樵趖>2時(shí)，f(t)=0,所以

總結(jié)以上幾點(diǎn)，可將導(dǎo)函數(shù)f－1(t)的波形圖畫出，如圖5.2.1(c)所示。5.2.2信號(hào)的時(shí)移、反折、尺度運(yùn)算

1.信號(hào)的時(shí)移運(yùn)算

信號(hào)的時(shí)移運(yùn)算是指將信號(hào)f(t)表達(dá)式中的t用t±t0替換，成為f(t±t0)(t0>0)，同時(shí)f(t)定義域中的t也要被t±t0替換，新信號(hào)f(t±t0)稱為原信號(hào)f(t)的時(shí)移信號(hào)。例如，圖5.1.3(b)所示的R(t－t0)，圖5.1.4(b)、(c)所示的ε(t－t0)和ε(t+t0)，圖5.1.10(b)、(d)所示的δ(t－t0)和Bδ(t－t0)，圖5.1.14(c)所示的sgn(t+t0)，均為時(shí)移信號(hào)。

由以上波形圖可知，f(t+t0)的波形比f(t)的波形在時(shí)間上超前t0，即f(t+t0)的波形是f(t)的波形沿時(shí)間軸向左平移t0；f(t－t0)的波形比f(t)的波形在時(shí)間上滯后t0，即f(t－t0)的波形是f(t)的波形沿時(shí)間軸向右平移t0。

2.信號(hào)的反折運(yùn)算

信號(hào)的反折運(yùn)算是指將信號(hào)f(t)的表達(dá)式以及定義域中的所有自變量t用－t替換，成為f(－t)，新信號(hào)f(－t)稱為原信號(hào)f(t)的反折信號(hào)。

信號(hào)的反折運(yùn)算的方法是：將f(t)的波形圖沿縱軸進(jìn)行折疊(即左、右翻轉(zhuǎn)180°)，就得到了反折信號(hào)f(－t)。

例如，ε(－t)的波形圖如圖5.2.2所示。圖5.2.2反折運(yùn)算

【例5.2.2】已知函數(shù)f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示，試作出函數(shù)f(－t)的波形圖。

解：按照反折運(yùn)算的方法，畫出f(t)的反折運(yùn)算f(－t)的波形圖如圖5.2.3(b)所示。

信號(hào)的時(shí)移運(yùn)算和反折運(yùn)算經(jīng)常是一起應(yīng)用的，此時(shí)，建議讀者按照先時(shí)移、后反折的順序運(yùn)算，這樣不易出現(xiàn)錯(cuò)誤。圖5.2.3例5.2.2圖

【例5.2.3】已知f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示，試作出f(1－t)的波形圖。

解：將f(t)先進(jìn)行時(shí)移運(yùn)算，f(t)變成了f(t+1)，如圖5.2.4(a)所示，然后進(jìn)行反折運(yùn)算，則f(t+1)變成了f(1－t)，如圖5.2.4(b)所示。圖5.2.4例5.2.3圖

3.信號(hào)的尺度運(yùn)算

信號(hào)的尺度運(yùn)算就是將信號(hào)f(t)轉(zhuǎn)換成新信號(hào)f(at)的過程，即用新的時(shí)間變量at(a≠0)替換f(t)中的時(shí)間變量t后，所得到的新信號(hào)就是f(at)。f(at)就是f(t)經(jīng)過尺度運(yùn)算后的信號(hào)。

【例5.2.4】設(shè)信號(hào)f(t)的波形如圖5.2.5(a)所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

試作出f(2t)、f(t/2)的波形圖。圖5.2.5例5.2.4圖

解：(1)以新的時(shí)間變量2t替換f(t)中的時(shí)間變量t，可得到

據(jù)此畫出f(2t)的波形圖如圖5.2.5(b)所示。

(2)以新的時(shí)間變量替換f(t)中的時(shí)間變量t，可得到

據(jù)此畫出f(t/2)的波形圖如圖5.2.5(c)所示。

【例5.2.5】已知f(t)的波形如圖5.2.3(a)所示，試作出f(1－2t)的波形圖。

解：此例是含有尺度、時(shí)移、反折三種運(yùn)算的綜合題目。建議讀者按下列順序來進(jìn)行運(yùn)算：先時(shí)移，后反折，再尺度。這樣不易出現(xiàn)時(shí)移錯(cuò)誤，即按下列順序進(jìn)行：

f(t)→f(t+1)→f(1－t)→f(1－2t)

例5.2.3已將f(t+1)、f(1－t)的波形圖畫出，根據(jù)f(1－t)的波形圖，對(duì)其進(jìn)行尺度運(yùn)算，即可得到f(1－2t)的波形圖，如圖5.2.6所示。圖5.2.6例5.2.5圖

本模塊小結(jié)

1.基本信號(hào)

本模塊重點(diǎn)介紹了常見信號(hào)的定義式、波形、特性以及信號(hào)的基本運(yùn)算，包括指數(shù)信號(hào)、單位斜變信號(hào)、單位階躍信號(hào)、門信號(hào)、單位沖激信號(hào)和正負(fù)號(hào)信號(hào)等。

單位階躍信號(hào)和門信號(hào)均有截取信號(hào)的能力，可以用單位階躍信號(hào)及其時(shí)移信號(hào)和門信號(hào)來表示信號(hào)存在的時(shí)間范圍。

單位沖激信號(hào)的工程定義式為單位沖激信號(hào)具有以下性質(zhì)：

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

2．信號(hào)運(yùn)算

(1)信號(hào)的和、積運(yùn)算：兩信號(hào)逐點(diǎn)逐段相加(乘)作為和(積)信號(hào)在該處的函數(shù)值。

(2)微分運(yùn)算：先對(duì)f(t)求導(dǎo)，然后求在不連續(xù)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)，這是一個(gè)強(qiáng)度為跳變量大小的沖激函數(shù)。

(3)積分運(yùn)算：表示從－∞到t時(shí)間內(nèi)對(duì)函數(shù)f(t)積分。t為任一時(shí)刻，是一變量。

(4)時(shí)移運(yùn)算：將f(t)波形沿橫軸向右(左)平移t0就得到了f(t－t0)、f(t+t0)的波形。

(5)反折運(yùn)算：將f(t)波形以縱鈾為對(duì)稱鈾折疊(即翻轉(zhuǎn)180°)便得到了f(－t)的波形。

(6)尺度運(yùn)算：將f(t)的波形圖由原點(diǎn)擴(kuò)展(或壓縮)到原來的1/a，即得到f(at)的波形。

習(xí)題5

5.1試用門函數(shù)寫出習(xí)題5.1圖所示信號(hào)的表達(dá)式。習(xí)題5.1圖

5.2作以下各信號(hào)的波形圖。

(1)f1(t)=－t［ε(t+1)－ε(t－1)］；

(2)f2(t)=sint［ε(t)－ε(t－6π)］；

(3)f3(t)=(t+1)［ε(t－1)－ε(t)］；

(4)f4(t)=－(t－2)［ε(t)－ε(t－1)］；

(5)f5(t)=e－(t－2)ε(t－1)；

(6)f6(t)=e－tε(t+1)；

(7)f7(t)=e－(t－1)ε(t+1)；