正余弦定理教案幾課后作業(yè)

正余弦定理第一課時正弦定理(一)課題引入如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉動。A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？CB(圖1.1-1)(二)探索新知在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1.1-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,A則bc從而在直角三角形ABC中，CaB(圖1.1-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（讓學生進行討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1.1-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C同理可得，ba從而ADB(圖1.1-3)讓學生思考：是否可以用其它方法證明這一等式？證明二：（等積法）在任意斜△ABC當中S△ABC=兩邊同除以即得：==證明三：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴(R為外接圓的半徑)同理=2R，＝2R由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。證明四：（向量法）過A作單位向量垂直于由+=兩邊同乘以單位向量得?(+)=?則?+?=?∴||?||cos90°+||?||cos(90°-C)=||?||cos(90°-A)∴∴=同理，若過C作垂直于得：=∴==從而類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（讓學生課后自己推導）從上面的研究過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即(三)理解定理(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；(2）等價于，，從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。(四)例題剖析例1．在中，已知，，cm，解三角形。(課本p3，例1)解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理， 因為＜＜，所以，或(1)當時，，(2)當時，，評述：例1，例2都使用正弦定理來解三角形，在解三角形過程中都使用三角形內(nèi)角和定理，可見，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的重要應用。應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。(六)課時小結(讓學生歸納總結)(1)定理的表示形式：；或，，(2)正弦定理的應用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。第二課時余弦定理(一)課題引入如圖1.1-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,C已知a,b和C，求邊c。baAcB(圖1.1-4)(二)探索新知聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。如圖1．1-5，設，，，那么c=a-b，=cc=(a-b)(a-b)A=aa+bb-2abbc從而CaB同理可證(圖1．1-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即讓學生思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：(三)理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。讓學生思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。(四)例題剖析例1在△ABC中，已知B=60cm，C=34cm，A=41°，解三角形(角度精確到1°，邊長精確到1cm）。(課本P7例3)解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3600+1156-4080×0.7547≈1676.82，所以，a≈41cm.由正弦定理得sinC=≈≈0.5440.因為C不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用算器可得C≈33°,B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°.例2在ABC中，已知，，，解三角形。解：由余弦定理的推論得：cos；cos ；=.評述：例1和例2是對余弦定理及其推論的運用，加深對定理及其推論的理解和運用。在利用余弦定理解三角形時，也要注意判斷有兩解的情況。[補充練習]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）課時小結(讓學生歸納總結)(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的應用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。 課后作業(yè)（七）1．已知△ABC的外接圓半徑為R，且=，那么∠C的大小為（）A、B、C、D、答案B詳解：根據(jù)正弦定理有所以代入已知等式得化簡得所以2．在△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對應邊分別為、、。若、、成等比數(shù)列且，則等于（）A、B、C、D、答案：B詳解：由成等比數(shù)列，得，且所以==3．在△ABC中∠A=，BC=3，則△ABC的周長為。答案：詳解：4．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=，若P、Q為斜邊的三等分點，=。答案：解：，AD為BC邊上的高，則,=5．已知△ABC的三邊邊長分別為，，，其中，則△ABC是。答案：銳角三角形解析：三個邊分別平方后，兩個的和減去另外一邊的差總為正數(shù)，所以各角均為銳角。6．在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為，且則角B＝。答案：詳解：整理得到所以7．已知三角形的三遍滿足條件，則角A＝。答案提示：余弦定理即可B卷8．已知△ABC的周長為，且,△ABC的面積為，則角C的度數(shù)為。答案解析：由正弦定理可得由于可得又三角形的面積為由面積公式可得得到所以9．在△ABC中已知,，AC邊上的中線，=。答案：詳解：延長BD到P使得DP=BD,過A做交BC于E，過P做交BC的延長線于F，則，,從而10．在△ABC中，已知，分別為△ABC的三條邊，試判斷三角形的形狀？并證明你的結論。答案：銳角三角形提示：用歸謬法證明即可11．如果的△ABC三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A1B1C1的三個內(nèi)角的正弦值，試判斷這兩個三角形的形狀。答案：△