華師福建 九下 數(shù)學(xué) 第27章《垂徑定理及其推論》課件

第27章圓27.1

圓的認(rèn)識(shí)2.圓的對(duì)稱(chēng)性第2課時(shí)垂徑定理及其推論目

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習(xí)

目

標(biāo)1.掌握垂徑定理及其推論.2.能運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題.

垂徑定理：垂直于弦的直徑________這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條________．幾何語(yǔ)言：如圖，∵_(dá)________________________，∴____________________________.知識(shí)點(diǎn)1

垂徑定理例1

平分弧CD⊥AB，且CD為直徑

如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝8cm，OC＝5cm.求DC的長(zhǎng)．練1-1解：連結(jié)OA，∵OC⊥AB，∴AD＝

AB＝4cm.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OD＝

＝3cm，∴DC＝OC－OD＝2cm.

如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D.求證：AC＝BD.練1-2證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E.∵兩個(gè)圓是同心圓且圓心為O，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.

如圖，CD為⊙O的直徑，E為弦AB(不是直徑)的中點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)CD與AB垂直嗎？例2

知識(shí)點(diǎn)2

垂徑定理的推論解：垂直，理由如下：如圖，連結(jié)OA，OB.∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.在△AOE和△BOE中，

∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO＝∠BEO＝

×180°＝90°，∴CD⊥AB.

如圖是一個(gè)中式拱門(mén)的截面圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E，并且CD＝4m，EM＝6m，求⊙O的半徑．練2

解：如圖，連結(jié)CO.∵M(jìn)是弦CD的中點(diǎn)，且EM經(jīng)過(guò)圓心O，∴EM⊥CD，CM＝

CD＝2m．設(shè)⊙O的半徑為rm，在Rt△OCM中，由勾股定理得OC2＝OM2＋CM2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝

.∴⊙O的半徑為

m.

在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，其截面如圖所示．已知

截面⊙O的半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入

一些油后，油面寬變?yōu)?cm，求油面AB上升了多少．例3

解：有兩種情況：(1)如圖①，設(shè)寬度為8cm的油面為CD，連結(jié)OB，OD，作ON⊥AB，與CD，AB的交點(diǎn)分別為M，N.易知OM⊥CD，CM＝MD＝

CD＝4cm，AN＝BN＝

AB＝3cm.在Rt△BON中，由勾股定理得ON＝＝4cm.在Rt△DOM中，由勾股定理得OM＝

＝3cm.∴MN＝ON－OM＝1cm，即油面上升了1cm.(2)如圖②，設(shè)寬度為8cm的油面為EF，過(guò)O作PQ⊥EF，與AB，EF的交點(diǎn)分別為Q，P，連結(jié)OB，OE.易知PQ⊥AB，EP＝PF＝

EF＝4cm，AQ＝BQ＝

AB＝3cm.在Rt△BOQ中，由勾股定理得OQ＝＝4cm.在Rt△EPO中，由勾股定理得OP＝

＝3cm.∴QP＝OQ＋OP＝7cm，即油面上升了7cm.綜上所述，油面AB上升了1cm或7cm.1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝________cm.823142．如圖，P為⊙O內(nèi)的一點(diǎn)，且OP＝6，若⊙O的半徑為10，則過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)不可能為(

)A．12 B．16 C．17.5 D．20A23143．如圖，側(cè)面形狀為圓弧形的拱橋的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，則拱橋的半徑為(

)A．15m B．13m C．9m D．6.5mD23144．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水最深地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑；解：(1)設(shè)圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)D，交弧AB于點(diǎn)E，連結(jié)OB，如圖①.∵OE⊥AB，∴BD＝

AB＝8cm，由題意知ED＝4cm，設(shè)半徑為xcm，則OD＝(x－4)cm，在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.24134．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(2)在(1)的條件下，小明把一只寬12cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm，問(wèn)此小船能順利通過(guò)這個(gè)管道嗎？能順利通過(guò)這個(gè)管道．理由：如圖②，MN是垂直于OE的一條弦，延長(zhǎng)EO交MN于點(diǎn)F，連結(jié)OM.設(shè)MN＝12cm，則MF＝

MN＝6cm.

∵EF⊥MN，OM＝10cm，∴在