北師大版2024-2025學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)培優(yōu)拓展講義第1講圓(單元講義)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三變式拓展（北師大版）第一講圓（導(dǎo)圖+知識精講+高頻易錯點(diǎn)+十大考點(diǎn)講練+難度分層練）知識與技能

結(jié)合生活實(shí)際，通過觀察、操作等活動，認(rèn)識圓及圓的對稱性，理解圓心和半徑的作用。

能夠準(zhǔn)確說出圓的各部分的名稱（如圓心、半徑、直徑），并理解半徑和直徑之間的關(guān)系（如直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的一半）。

掌握用圓規(guī)畫圓的方法，并能夠根據(jù)給定半徑或直徑畫出相應(yīng)的圓。

了解并掌握圓的周長和面積的計算方法，并能用其解決簡單的實(shí)際問題。

過程與方法

通過動手實(shí)驗(yàn)、拼擺操作等實(shí)踐活動，探索并掌握圓的周長和面積的計算方法，體會“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

結(jié)合欣賞與繪制圖案的過程，體會圓在圖案設(shè)計中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。

重點(diǎn)：理解圓的特征，包括圓心、半徑、直徑及其相互關(guān)系。

認(rèn)識圓是軸對稱圖形，并理解其對稱性的意義。

掌握圓的周長和面積的計算方法，并能應(yīng)用其解決簡單的實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

理解圓的特征，特別是如何通過實(shí)際操作體會圓的特征。

體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，理解直徑所在的直線是圓的對稱軸。

理解圓周率的意義，以及其在計算圓的周長和面積時的重要性。

體會“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，理解其在解決圓相關(guān)問題時的應(yīng)用。TOC\t"標(biāo)題2,1"\h\u考點(diǎn)一：圓及其性質(zhì) 4考點(diǎn)一：圓的認(rèn)識與圓周率 5考點(diǎn)三：扇形的認(rèn)識 6考點(diǎn)四：圓、圓環(huán)的周長 6考點(diǎn)五：畫圓 7考點(diǎn)六：不規(guī)則圖形周長的求解 8考點(diǎn)七：圓、圓環(huán)的面積 9考點(diǎn)八：扇形的面積 11考點(diǎn)九：有關(guān)圓的應(yīng)用題 12考點(diǎn)十：組合圖形的面積 13基礎(chǔ)夯實(shí)優(yōu)選題專練 14培優(yōu)優(yōu)選題專練 14知識點(diǎn)01：圓的認(rèn)識1、圓是由一條曲線圍成的平面圖形。(以前所學(xué)的圖形如長方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形)2、畫圓時，針尖固定的一點(diǎn)是圓心，通常用字母O表示;連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑，通常用字母r表示；通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，通常用字母d表示。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑和直徑。在同一個圓里，所有半徑的長度都相等，所有直徑的長度都相等。3、用圓規(guī)畫圓的過程：先兩腳叉開，再固定針尖，最后旋轉(zhuǎn)成圓。畫圓時要注意：針尖必須固定在一點(diǎn)，不可移動;兩腳間的距離必須保持不變；要旋轉(zhuǎn)一周。4、在同一個圓里，半徑是直徑的一半，直徑是半徑的2倍。(d=2r,r=d÷2)5、圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸，對稱軸就是直徑。6、圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。所以要比較兩圓的大小，就是比較兩個圓的直徑或半徑。7、正方形里最大的圓:兩者聯(lián)系：邊長=直徑畫法：畫出正方形的兩條對角線;以對角線交點(diǎn)為圓心，以邊長為直徑畫圓。8、長方形里最大的圓:兩者聯(lián)系：寬=直徑畫法：畫出長方形的兩條對角線;以對角線交點(diǎn)為圓心，以邊長為直徑畫圓9、同一個圓內(nèi)的所有線段中，圓的直徑是最長的。知識點(diǎn)02：扇形的認(rèn)識1.圓上兩點(diǎn)間的曲線是?。?.一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形；3.頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角；4.在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。知識點(diǎn)03：圓的周長1、車輪滾動一周前進(jìn)的路程就是車輪的周長。每分前進(jìn)米數(shù)(速度)=車輪的周長÷轉(zhuǎn)數(shù)2、任何一個圓的周長除以它直徑的商都是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(讀pài)表示。π是一個無限不循環(huán)小數(shù)。π=3.141592453……我們在計算時，一般保留兩位小數(shù)，取它的近似值3.14。π>3.143、如果用C表示圓的周長，那么C=πd或C=2πr4、求圓的半徑或直徑的方法：d=C÷πr=C÷π÷2=C÷2π5、半圓的周長等于圓周長的一半加一條直徑。C半圓=πr+2rC半圓=πd÷2+d6、常用的3.14的倍數(shù)：3.14÷2=6.28 3.14÷3=9.423.14÷4=12.50 3.14÷5=15.73.14÷6=18.84 3.14÷7=21.683.14÷8=25.12 3.14÷9=28.24知識點(diǎn)04：圓及圓環(huán)的面積1、圓的面積公式：S=πr2。圓的面積是半徑平方的π倍。2、圓的面積推導(dǎo)：圓可以切拼成近似的長方形，長方形的面積與圓的面積相等(即S長方形=S圓);長方形的寬是圓的半徑(即b=r);長方形的長是圓周長的一半(即a=c/2=πr)。即：S長方形=a÷bS圓=πr÷r=πr2注意：切拼后的長方形的周長比圓的周長多了兩條半徑。C長方形=2πr+2r=C圓+d3、半圓的面積和周長。S半圓=πr2÷2C半圓=C/2+d4、大小兩個圓比較，半徑的倍數(shù)=直徑的倍數(shù)=周長的倍數(shù)，面積的倍數(shù)=半徑的倍數(shù)的平方5、周長相等的平面圖形中，圓的面積最大；面積相等的平面圖形中，圓的周長最短。6、求圓環(huán)的面積一般是用外圓的面積減去內(nèi)圓的面積，還可以利用乘法分配律進(jìn)行簡便計算。S圓環(huán)=πR2－πr2=π(R2－r2)7、常用的平方數(shù)：112=121 122=144 132=169142=196 152=225 162=250172=289 182=324 192=361202=900 1.直徑的長度是半徑的2倍這一關(guān)系的前提條件是在同圓或等圓中。2.通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑。3.對稱軸是直線，圓的對稱軸是直徑所在的直線，而不是直徑。4.圓心角必須具備兩個條件：其一，頂點(diǎn)在圓心上；其二，角的兩邊是圓的半徑。5.3.14只是圓周率的近似值?；卮稹皥A的周長是它直徑的多少倍”時，應(yīng)該說是π倍，而不是3.14倍。6.圓周率是一個固定不變的數(shù)，不隨圓的大小而改變。7.求半圓的周長時，容易只計算出圓周長的一半，而忽略了直徑。8.半徑擴(kuò)大到原來的幾倍或縮小到原來的幾分之一，圓的面積就擴(kuò)大到原來的幾倍的平方或縮小到原來的幾分之一的平方。9.周長和面積是兩個不同的概念，它們的意義不同，單位不同，不能進(jìn)行比較。10.在計算圓的面積時，不要把r2計算成r÷2，r2等于r÷r。11.在一個大圓內(nèi)隨意剪去一個小圓不一定能形成圓環(huán)。12.任何一個環(huán)形，已知內(nèi)圓直徑和環(huán)寬，求外圓直徑，應(yīng)用內(nèi)圓直徑加上2個環(huán)寬；已知外圓直徑和環(huán)寬，求內(nèi)圓直徑，應(yīng)用外圓直徑減去2個環(huán)寬。13.求圓環(huán)的面積時不能用環(huán)形的寬度的平方乘3.14?？键c(diǎn)一：圓及其性質(zhì)【精講題】（2023秋?黃巖區(qū)期末）用如圖方法測量圓的直徑，依據(jù)是A．直徑是半徑的兩倍。 B．圓是軸對稱圖形。 C．直徑是圓內(nèi)最長的線段。 D．圓心確定圓的位置。【精練題01】（2023秋?奈曼旗期末）卡塔爾世界杯于2022年11月21日至12月18日舉行，這是世界杯首次在中東國家境內(nèi)舉行。卡塔爾世界杯的主體育場名為“盧賽爾體育場”，可以同時容納4萬人，遠(yuǎn)觀整個體育場像是沙漠中的一只金碗。特別需要注意的是，這座美麗的“沙漠金碗”是由中國鐵建國際集團(tuán)承建的。許多體育場都會把觀眾席設(shè)計成圍繞球場一周的圓形，這樣的設(shè)計應(yīng)用的是圓形特征中的A．圓心決定圓的位置 B．半徑?jīng)Q定圓的大小 C．同圓中直徑是半徑的2倍 D．同圓中的半徑都相等【精練題02】（2024?蓮湖區(qū)模擬）看圖填空。（1）長方形的長是。（2）長方形的寬是。（3）長方形的周長?？键c(diǎn)一：圓的認(rèn)識與圓周率【精講題】（2024?金水區(qū)）如圖，以點(diǎn)為圓心的圓內(nèi)畫出三角形。如果是，這個三角形一定是等邊三角形。做出這樣判斷的依據(jù)是A．圓的周長是直徑的倍 B．圓有無數(shù)條對稱軸 C．同一個圓半徑都相等 D．同一個圓直徑是半徑的2倍【精練題01】（2023秋?匯川區(qū)期末）下面說法正確的是A．百分?jǐn)?shù)可以表示部分與整體的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)不能超過 B．六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率為 C．把一個圓沿直徑平均分為兩個半圓，半圓的面積是圓面積的一半，半圓的周長也是圓周長的一半 D．?dāng)?shù)學(xué)上用圓周率表示圓的周長與它的直徑的比值，圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)【精練題02】（2023秋?烏拉特前旗期末）如圖，是圓上一點(diǎn)，把圓在直尺上無滑動地滾一周后，點(diǎn)的位置一定在和之間，你的理由是什么？考點(diǎn)三：扇形的認(rèn)識【精講題】（2023秋?定州市期末）下面的涂色部分是扇形。A． B． C．【精練題01】（2023?鼓樓區(qū)模擬）如圖所示，蘭蘭把一張圓形紙片連續(xù)對折3次，打開后會形成8個小扇形，每個小扇形的圓心角為。【精練題02】（2023秋?增城區(qū)期末）如圖，鐘面的分針從“12”走到“3”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是度；鐘面的分針從“3”走到“9”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是?？键c(diǎn)四：圓、圓環(huán)的周長【精講題】（2024?易縣）從一張面積為的正方形紙上剪一個最大的圓，這個圓的周長為。A．12.50 B．8 C．16【精練題01】（2024?市北區(qū)）化曲為直是一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。如圖，直徑是的圓從點(diǎn)出發(fā)，沿直線（單位：向右滾動一圈到達(dá)點(diǎn)，那么點(diǎn)大約在哪里？請你先算一算，并在圖中用“1”表示出點(diǎn)的位置?！揪氼}02】（2024?鎮(zhèn)江模擬）如圖，兩個半圓的直徑分別是8厘米、4厘米，陰影部分的周長是多少厘米？考點(diǎn)五：畫圓【精講題】（2024?城關(guān)區(qū)）如圖有、兩點(diǎn)。先想一想：怎樣確定圓心、半徑，畫出的圓能經(jīng)過、兩點(diǎn)，再用圓規(guī)畫出兩個不同的圓，要使每個圓都經(jīng)過、兩點(diǎn)?！揪氼}01】（2024?長沙模擬）第七屆世界軍人運(yùn)動會的會徽名為“和平友誼紐帶”，由五角星、和平鴿、彩帶以及數(shù)字7等元素共同構(gòu)成。其中“五角星”突出了軍隊(duì)和軍人的特征。（1）以右上圖五角星的五個頂點(diǎn)為圓心，以五角星每條邊的長度為半徑，畫五個圓（已經(jīng)畫出一個，請你畫出另外4個）。（2）如果五角星每條邊的長度為2厘米，那么這五個圓組成圖形的周長是多少厘米？【精練題02】（2023秋?龍海區(qū)期末）填一填，畫一畫。（1）在方格圖中，以三角形其中一個頂點(diǎn)為圓心畫一個圓，使另外兩個頂點(diǎn)都在圓上。（2）如果三角形的三個頂點(diǎn)都要在圓上，這個圓的圓心應(yīng)該在哪里？請在圖中用點(diǎn)表示。考點(diǎn)六：不規(guī)則圖形周長的求解【精講題】（2021秋?奉化區(qū)期末）①號圖形是由2個相同的小半圓、1個中半圓、1個大半圓組成，②號是由正方形和多個半圓組成。①號、②號陰影部分圖形的周長相比A．①號周長長 B．②號周長長 C．周長一樣長 D．無法確定【精練題01】計算如圖圖形的周長．（單位：厘米）【精練題02】（2022?建華區(qū)）按要求計算。（1）求4個陰影部分的周長和。（四個圓的半徑均為（2）求陀螺的體積。（兩個圓錐的底面直徑均為考點(diǎn)七：圓、圓環(huán)的面積【精講題】（2024?西秀區(qū)）如圖，圓的面積與長方形的面積相等，如果長方形的長是，圓的周長是A． B． C． D．【精練題01】（2024?沾化區(qū)模擬）按要求畫一畫，填一填。（假設(shè)每個小正方形的面積是1平方厘米）（1）畫一個圖形，使它的面積的計算式是。（2）計算出環(huán)形的面積。【精練題02】（2024?淮安模擬）一種鋼管的橫截面如圖，它的內(nèi)圓半徑是2厘米，外圓半徑是4厘米，它的橫截面面積是多少？考點(diǎn)八：扇形的面積【精講題】（2023秋?新田縣期末）下面說法正確的是A．一杯牛奶1升，喝了，還剩升。 B．圓心角是50度的扇形比圓心角是90度的扇形面積大。 C．黃金的純度達(dá)到。 D．一個圓周長與它直徑的比值是3.14。【精練題01】（2023秋?瑞安市期末）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是按照一定規(guī)律畫出圓心角是的扇形圓弧。如圖，若第1步中扇形的半徑是，那么第5步所畫的新扇形面積是。A． B． C． D．【精練題02】（2024?長沙模擬）求陰影部分的面積?！揪氼}03】（2021秋?遜克縣期末）思考并實(shí)踐。（1）請在右側(cè)空白處畫一個半徑是3厘米的圓，并標(biāo)出圓心“”（2）在圓中畫出一個圓心角是的最大扇形，標(biāo)出圓心角度數(shù)，并把扇形涂上陰影。（3）請你根據(jù)學(xué)過的知識，求出這個扇形的面積?？键c(diǎn)九：有關(guān)圓的應(yīng)用題【精講題】（2024?禪城區(qū)模擬）小明騎的自行車車輪直徑是80厘米，每分鐘轉(zhuǎn)200周，從家到學(xué)校有3千米，小明騎行需要的時間大約是（得數(shù)保留整數(shù)）A．8分鐘 B．10分鐘 C．12分鐘 D．15分鐘【精練題01】（2024?商洛模擬）一只大鐘，它的分針長90厘米。這根分針的尖端轉(zhuǎn)動一周所走的路程是厘米，從1時到2時分針掃過的面積是平方厘米。【精練題02】（2023秋?海港區(qū)期末）兒童樂園要修建一個圓形旋轉(zhuǎn)木馬場地，木馬旋轉(zhuǎn)范圍的直徑是，周邊還要留出寬的小路，并在外側(cè)圍上欄桿。（1）需要多長的圍欄？（2）小路的面積是多少平方米？考點(diǎn)十：組合圖形的面積【精講題】（2024?江漢區(qū)）下列圖形中的空白部分與陰影部分，周長相等但面積不相等的是A． B． C． D．【精練題01】（2023秋?沙坡頭區(qū)期末）太極圖被稱為“中華第一圖”，如圖所示的正方形內(nèi)是太極圖，已知正方形的邊長為，則正方形面積與涂黑色部分的面積比為。A． B． C． D．【精練題02】（2024?長沙模擬）求如圖陰影部分的面積。（單位：厘米）基礎(chǔ)夯實(shí)優(yōu)選題專練1．（2024六上·深圳期末）四只螞蟻耗時1分鐘，分別沿著長方形、正方形、圓和等邊三角形走一圈，誰走的速度更快？（）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2024六上·龍崗期末）圖中陰影部分的面積是（）A．5.78m2 B．6.86m2 C．8.32m2 D．9.42m23．（2024六上·英山期末）如下圖，從A到B沿大半圓走近，還是沿小半圓走近？正確答案是（）。A．沿大半圓走近 B．沿小半圓走近C．一樣近 D．無法判斷4．（2024·育才）半徑為2厘米的圓，它的周長和面積相等。5．用三張同樣大小的正方形白鐵皮，分別按下面三種方式裁剪出不同規(guī)格的圓片。剪完圓片后，第三種裁剪方式剩下的廢料最多。（）6．（2023六上·期末）圓的面積越大，圓的周長就越大。（）7．（2024六上·仙居期末）要畫一個周長是12.50厘米的圓，圓規(guī)兩腳之間的距離是厘米。這個圓的面積是平方厘米。8．（2024六上·鄆城期末）在停車場的出入口都有起落桿。這根起落桿完成一次升起運(yùn)動（如圖），起落桿最遠(yuǎn)端（A點(diǎn)）運(yùn)動了m。9．（2024六上·印江期末）某鐘面上分針長8cm，經(jīng)過1小時后，它的尖端走過的路程是cm，它掃過的面積是cm2。10．（2024六上·天臺期末）已知O1、O2分別為圓心，求陰影部分的面積。11．（2024六上·蒲城月考）計算下面圖形陰影部分的周長與面積。（單位；dm）12．（2024六上·羅湖期末）太極圖在中國傳統(tǒng)文化中含義深邃，其形狀為陰陽兩魚相抱在一起，象征兩極和合。已知整個圓的周長是62.8厘米，請問：陰魚（即陰影部分）的面積是多少平方厘米?13．（2024六上·蒲城月考）民生廣場有一個直徑為18米的圓形水池。如果沿水池邊緣向外修一條寬2米的健身步道（圖中陰影部分），健身步道的面積是多少平方米？培優(yōu)優(yōu)選題專練14．（2023六上·錢塘期末）圖形m和n的面積比與其它三個選項(xiàng)不同的是（）A． B．C． D．15．（2023六上·江漢期末）將一個邊長1cm的等邊三角形沿水平線滾動（如圖所示），B點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路線的總長度是（）cm。A．π B．π C．π D．π16．（2023六上·合川期末）要剪一個面積是12.50cm2的圓形紙片，至少需要面積是（）cm2的正方形紙片。A．12.50 B．13 C．16 D．1817．（2023六上·錢塘）下圖A、B兩陰影部分的面積相等。（1）A、B兩陰影部分的面積和是cm。（2）比較A、B兩部分陰影部分的周長，則CACB（填“>”或者“<”）。18．（2023六上·蕉嶺月考）把一張周長為12.50cm的圓形紙片沿一條直徑剪成兩個半圓，周長增加了cm，每個半圓的面積是。19．（2023六上·巴中月考）雨點(diǎn)打在水面蕩開層層的波紋。已知水池的池面是長5米、寬4米的長方形，當(dāng)波紋到池邊時，形成的最大整圓的周長是m，面積是m2，剩余部分的面積是m2。20．（2023六上·月考）如圖，淘氣和笑笑以相同的速度同時從A點(diǎn)去往B點(diǎn)，淘氣沿著大半圓走，笑、笑沿著兩個小半圓走，到達(dá)B點(diǎn)。（選填“淘氣先”“笑笑先”“他們同時”）21．（2023六上·大方月考）先按要求操作，再計算。（1）在方框中畫一個周長為18.84cm的圓。（2）在所畫圓中，畫兩條相互垂直的直徑。（3）依次連接這兩條直徑的四個端點(diǎn)得到一個小正方形。（4）這個圓的面積是多少？小正方形的面積是多少？22．（2023六上·杭州）計算陰影部分的周長和面積。（2023六上·豐城月考）一個半徑為20米的圓形噴水池，在它周圍修一條寬1米的環(huán)形花帶，如果每平方米植花25棵，每棵成本為4元，這條環(huán)形花帶共需投資多少元？24．（2023六上·杭州期末）如右圖，已知正方形的邊長是10cm，陰影部分的周長是多少厘米？面積是多少平方厘米？2024-2025學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三變式拓展（北師大版）第一講圓（導(dǎo)圖+知識精講+高頻易錯點(diǎn)+十大考點(diǎn)講練+難度分層練）知識與技能

結(jié)合生活實(shí)際，通過觀察、操作等活動，認(rèn)識圓及圓的對稱性，理解圓心和半徑的作用。

能夠準(zhǔn)確說出圓的各部分的名稱（如圓心、半徑、直徑），并理解半徑和直徑之間的關(guān)系（如直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的一半）。

掌握用圓規(guī)畫圓的方法，并能夠根據(jù)給定半徑或直徑畫出相應(yīng)的圓。

了解并掌握圓的周長和面積的計算方法，并能用其解決簡單的實(shí)際問題。

過程與方法

通過動手實(shí)驗(yàn)、拼擺操作等實(shí)踐活動，探索并掌握圓的周長和面積的計算方法，體會“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

結(jié)合欣賞與繪制圖案的過程，體會圓在圖案設(shè)計中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。

重點(diǎn)：理解圓的特征，包括圓心、半徑、直徑及其相互關(guān)系。

認(rèn)識圓是軸對稱圖形，并理解其對稱性的意義。

掌握圓的周長和面積的計算方法，并能應(yīng)用其解決簡單的實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

理解圓的特征，特別是如何通過實(shí)際操作體會圓的特征。

體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，理解直徑所在的直線是圓的對稱軸。

理解圓周率的意義，以及其在計算圓的周長和面積時的重要性。

體會“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，理解其在解決圓相關(guān)問題時的應(yīng)用。TOC\t"標(biāo)題2,1"\h\u考點(diǎn)一：圓及其性質(zhì) 4考點(diǎn)二：圓的認(rèn)識與圓周率 6考點(diǎn)三：扇形的認(rèn)識 7考點(diǎn)四：圓、圓環(huán)的周長 9考點(diǎn)五：畫圓 10考點(diǎn)六：不規(guī)則圖形周長的求解 13考點(diǎn)七：圓、圓環(huán)的面積 15考點(diǎn)八：扇形的面積 18考點(diǎn)九：有關(guān)圓的應(yīng)用題 20考點(diǎn)十：組合圖形的面積 22基礎(chǔ)夯實(shí)優(yōu)選題專練 24培優(yōu)優(yōu)選題專練 30知識點(diǎn)01：圓的認(rèn)識1、圓是由一條曲線圍成的平面圖形。(以前所學(xué)的圖形如長方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形)2、畫圓時，針尖固定的一點(diǎn)是圓心，通常用字母O表示;連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑，通常用字母r表示；通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，通常用字母d表示。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑和直徑。在同一個圓里，所有半徑的長度都相等，所有直徑的長度都相等。3、用圓規(guī)畫圓的過程：先兩腳叉開，再固定針尖，最后旋轉(zhuǎn)成圓。畫圓時要注意：針尖必須固定在一點(diǎn)，不可移動;兩腳間的距離必須保持不變；要旋轉(zhuǎn)一周。4、在同一個圓里，半徑是直徑的一半，直徑是半徑的2倍。(d=2r,r=d÷2)5、圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸，對稱軸就是直徑。6、圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。所以要比較兩圓的大小，就是比較兩個圓的直徑或半徑。7、正方形里最大的圓:兩者聯(lián)系：邊長=直徑畫法：畫出正方形的兩條對角線;以對角線交點(diǎn)為圓心，以邊長為直徑畫圓。8、長方形里最大的圓:兩者聯(lián)系：寬=直徑畫法：畫出長方形的兩條對角線;以對角線交點(diǎn)為圓心，以邊長為直徑畫圓9、同一個圓內(nèi)的所有線段中，圓的直徑是最長的。知識點(diǎn)02：扇形的認(rèn)識1.圓上兩點(diǎn)間的曲線是??；2.一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形；3.頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角；4.在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。知識點(diǎn)03：圓的周長1、車輪滾動一周前進(jìn)的路程就是車輪的周長。每分前進(jìn)米數(shù)(速度)=車輪的周長÷轉(zhuǎn)數(shù)2、任何一個圓的周長除以它直徑的商都是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(讀pài)表示。π是一個無限不循環(huán)小數(shù)。π=3.141592453……我們在計算時，一般保留兩位小數(shù)，取它的近似值3.14。π>3.143、如果用C表示圓的周長，那么C=πd或C=2πr4、求圓的半徑或直徑的方法：d=C÷πr=C÷π÷2=C÷2π5、半圓的周長等于圓周長的一半加一條直徑。C半圓=πr+2rC半圓=πd÷2+d6、常用的3.14的倍數(shù)：3.14÷2=6.28 3.14÷3=9.423.14÷4=12.50 3.14÷5=15.73.14÷6=18.84 3.14÷7=21.683.14÷8=25.12 3.14÷9=28.24知識點(diǎn)04：圓及圓環(huán)的面積1、圓的面積公式：S=πr2。圓的面積是半徑平方的π倍。2、圓的面積推導(dǎo)：圓可以切拼成近似的長方形，長方形的面積與圓的面積相等(即S長方形=S圓);長方形的寬是圓的半徑(即b=r);長方形的長是圓周長的一半(即a=c/2=πr)。即：S長方形=a÷bS圓=πr÷r=πr2注意：切拼后的長方形的周長比圓的周長多了兩條半徑。C長方形=2πr+2r=C圓+d3、半圓的面積和周長。S半圓=πr2÷2C半圓=C/2+d4、大小兩個圓比較，半徑的倍數(shù)=直徑的倍數(shù)=周長的倍數(shù)，面積的倍數(shù)=半徑的倍數(shù)的平方5、周長相等的平面圖形中，圓的面積最大；面積相等的平面圖形中，圓的周長最短。6、求圓環(huán)的面積一般是用外圓的面積減去內(nèi)圓的面積，還可以利用乘法分配律進(jìn)行簡便計算。S圓環(huán)=πR2－πr2=π(R2－r2)7、常用的平方數(shù)：112=121 122=144 132=169142=196 152=225 162=250172=289 182=324 192=361202=900 1.直徑的長度是半徑的2倍這一關(guān)系的前提條件是在同圓或等圓中。2.通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑。3.對稱軸是直線，圓的對稱軸是直徑所在的直線，而不是直徑。4.圓心角必須具備兩個條件：其一，頂點(diǎn)在圓心上；其二，角的兩邊是圓的半徑。5.3.14只是圓周率的近似值。回答“圓的周長是它直徑的多少倍”時，應(yīng)該說是π倍，而不是3.14倍。6.圓周率是一個固定不變的數(shù)，不隨圓的大小而改變。7.求半圓的周長時，容易只計算出圓周長的一半，而忽略了直徑。8.半徑擴(kuò)大到原來的幾倍或縮小到原來的幾分之一，圓的面積就擴(kuò)大到原來的幾倍的平方或縮小到原來的幾分之一的平方。9.周長和面積是兩個不同的概念，它們的意義不同，單位不同，不能進(jìn)行比較。10.在計算圓的面積時，不要把r2計算成r÷2，r2等于r÷r。11.在一個大圓內(nèi)隨意剪去一個小圓不一定能形成圓環(huán)。12.任何一個環(huán)形，已知內(nèi)圓直徑和環(huán)寬，求外圓直徑，應(yīng)用內(nèi)圓直徑加上2個環(huán)寬；已知外圓直徑和環(huán)寬，求內(nèi)圓直徑，應(yīng)用外圓直徑減去2個環(huán)寬。13.求圓環(huán)的面積時不能用環(huán)形的寬度的平方乘3.14?？键c(diǎn)一：圓及其性質(zhì)【精講題】（2023秋?黃巖區(qū)期末）用如圖方法測量圓的直徑，依據(jù)是A．直徑是半徑的兩倍。 B．圓是軸對稱圖形。 C．直徑是圓內(nèi)最長的線段。 D．圓心確定圓的位置?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)直徑的含義：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，在圓中直徑最長；由此解答即可。【規(guī)范解答】解：直徑長度是半徑的2倍，與本題測量圓的直徑無關(guān)。圓是軸對稱圖形，與本題測量圓的直徑無關(guān)。根據(jù)直徑的含義可知：直徑是圓內(nèi)最長的線段，兩端都在圓上的線段中，直徑最長。故此本選項(xiàng)符合題意。圓心確定圓的位置，與本題測量圓的直徑無關(guān)。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題考查了圓的認(rèn)識知識，明確直徑的含義，是解答此題的關(guān)鍵?！揪氼}01】（2023秋?奈曼旗期末）卡塔爾世界杯于2022年11月21日至12月18日舉行，這是世界杯首次在中東國家境內(nèi)舉行?？ㄋ柺澜绫闹黧w育場名為“盧賽爾體育場”，可以同時容納4萬人，遠(yuǎn)觀整個體育場像是沙漠中的一只金碗。特別需要注意的是，這座美麗的“沙漠金碗”是由中國鐵建國際集團(tuán)承建的。許多體育場都會把觀眾席設(shè)計成圍繞球場一周的圓形，這樣的設(shè)計應(yīng)用的是圓形特征中的A．圓心決定圓的位置 B．半徑?jīng)Q定圓的大小 C．同圓中直徑是半徑的2倍 D．同圓中的半徑都相等【思路點(diǎn)撥】連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑；半徑?jīng)Q定圓的大小，在同一個圓內(nèi)有無數(shù)條半徑，同一個圓內(nèi)所有的半徑都相等?！疽?guī)范解答】解：許多體育場都會把觀眾席設(shè)計成圍繞球場一周的圓形，這樣的設(shè)計應(yīng)用的是圓形特征中的同圓中的半徑都相等。故選：?！究键c(diǎn)剖析】掌握圓的特征是解題的關(guān)鍵?！揪氼}02】（2024?蓮湖區(qū)模擬）看圖填空。（1）長方形的長是12。（2）長方形的寬是。（3）長方形的周長?！舅悸伏c(diǎn)撥】長方形的寬是一個圓的直徑，長方形的長是三個大小相等的圓的直徑，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：長方形的長：長方形的寬：長方形的周長：故答案為：12，4，32?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了圓的特征及長方形的特征?？键c(diǎn)二：圓的認(rèn)識與圓周率【精講題】（2024?金水區(qū)）如圖，以點(diǎn)為圓心的圓內(nèi)畫出三角形。如果是，這個三角形一定是等邊三角形。做出這樣判斷的依據(jù)是A．圓的周長是直徑的倍 B．圓有無數(shù)條對稱軸 C．同一個圓半徑都相等 D．同一個圓直徑是半徑的2倍【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示，和都是從圓心出發(fā)，到圓上一點(diǎn)的連線，即圓的半徑；同一個圓的半徑相等，所以，所以這個三角形是等腰三角形，如果是，這個三角形一定是等邊三角形；據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：在以點(diǎn)為圓心的圓內(nèi)畫出三角形。如果是，這個三角形一定是等邊三角形。做出這個判斷運(yùn)用了同一個圓的半徑都相等。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題考查了圓的認(rèn)識，結(jié)合同一個圓的半徑都相等以及等腰三角形、等邊三角形的特征，解答即可?！揪氼}01】（2023秋?匯川區(qū)期末）下面說法正確的是A．百分?jǐn)?shù)可以表示部分與整體的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)不能超過 B．六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率為 C．把一個圓沿直徑平均分為兩個半圓，半圓的面積是圓面積的一半，半圓的周長也是圓周長的一半 D．?dāng)?shù)學(xué)上用圓周率表示圓的周長與它的直徑的比值，圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)【思路點(diǎn)撥】結(jié)合百分?jǐn)?shù)的意義和認(rèn)識以及半圓的面積和周長以及圓周率知識，逐一分析解答即可?！疽?guī)范解答】解：．百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)，可以表示部分與整體的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)能超過，所以本選項(xiàng)說法錯誤。．六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率為，所以本選項(xiàng)說法錯誤。．把一個圓沿直徑平均分為兩個半圓，半圓的面積是圓面積的一半，半圓的周長是圓周長的一半加直徑的長，所以本選項(xiàng)說法錯誤。．?dāng)?shù)學(xué)上用圓周率表示圓的周長與它的直徑的比值，圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以本選項(xiàng)說法正確。故選：?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了百分?jǐn)?shù)的意義和認(rèn)識以及半圓的面積和周長以及圓周率知識，結(jié)合題意分析解答即可?！揪氼}02】（2023秋?烏拉特前旗期末）如圖，是圓上一點(diǎn)，把圓在直尺上無滑動地滾一周后，點(diǎn)的位置一定在6和之間，你的理由是什么？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示，圓的半徑是1厘米，根據(jù)圓的周長公式求出圓的周長，結(jié)合題意解答即可?！疽?guī)范解答】解：（厘米）答：點(diǎn)的位置在6和7之間。因?yàn)閳A的半徑是1厘米，把圓在直尺上無滑動地滾一周后，滾動的距離是6.28厘米。故答案為：6；7?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了圓的周長公式的靈活運(yùn)用知識，結(jié)合題意解答即可。考點(diǎn)三：扇形的認(rèn)識【精講題】（2023秋?定州市期末）下面的涂色部分是扇形。A． B． C．【思路點(diǎn)撥】一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形，據(jù)此判斷即可?！疽?guī)范解答】解：涂色部分是扇形。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題考查了平面圖形的定義，要熟練掌握。【精練題01】（2023?鼓樓區(qū)模擬）如圖所示，蘭蘭把一張圓形紙片連續(xù)對折3次，打開后會形成8個小扇形，每個小扇形的圓心角為?！舅悸伏c(diǎn)撥】一個圓形的圓心角是920度，蘭蘭把一張圓形紙片連續(xù)對折3次，那么就把圓形平均分成8個大小相等的扇形，也就是把920度平均分成8份，其中的一個扇形的圓心角是45度?！疽?guī)范解答】解：因此蘭蘭把一張圓形紙片連續(xù)對折3次，打開后會形成8個小扇形，每個小扇形的圓心角為。故答案為：8，45。【考點(diǎn)剖析】本題考查了扇形的特征及圓心角的認(rèn)識?！揪氼}02】（2023秋?增城區(qū)期末）如圖，鐘面的分針從“12”走到“3”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是90度；鐘面的分針從“3”走到“9”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是?！舅悸伏c(diǎn)撥】一個圓的圓心角是920度，鐘面的分針從“12”走到“3”，形成的以圓為弧的扇形，利用920度乘即可求出圓心角的度數(shù)；同理解答第二題?！疽?guī)范解答】解：因此鐘面的分針從“12”走到“3”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是90度；鐘面的分針從“3”走到“9”，形成的以圓為弧的扇形的圓心角是。故答案為：90，?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了扇形的認(rèn)識?？键c(diǎn)四：圓、圓環(huán)的周長【精講題】（2024?易縣）從一張面積為的正方形紙上剪一個最大的圓，這個圓的周長為。A．12.50 B．8 C．16【思路點(diǎn)撥】在一個面積為的正方形紙片上剪下一個最大的圓，則這個最大的圓的直徑就是這個正方形的邊長，即正方形的邊長是4厘米，再根據(jù)圓的周長公式進(jìn)行解答?！疽?guī)范解答】解：因?yàn)?的平方是16，所以正方形的邊長是4厘米，也就是圓的直徑是4厘米；（厘米）答：這個圓的周長是12.50厘米。故選：?！究键c(diǎn)剖析】抓住正方形內(nèi)最大圓的特點(diǎn)，得出這個圓的直徑等于正方形的邊長是解決此類問題的關(guān)鍵?！揪氼}01】（2024?市北區(qū)）化曲為直是一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。如圖，直徑是的圓從點(diǎn)出發(fā)，沿直線（單位：向右滾動一圈到達(dá)點(diǎn)，那么點(diǎn)大約在哪里？請你先算一算，并在圖中用“1”表示出點(diǎn)的位置?！舅悸伏c(diǎn)撥】直徑是的圓從點(diǎn)出發(fā)，沿直線（單位：向右滾動一圈到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)的位置距離點(diǎn)的距離是直徑1厘米的圓周長的1倍。根據(jù)圓的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式求出圓周長的1倍，據(jù)此確定點(diǎn)的位置?！疽?guī)范解答】解：（厘米）作圖如下：【考點(diǎn)剖析】此題主要考查圓的周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！揪氼}02】（2024?鎮(zhèn)江模擬）如圖，兩個半圓的直徑分別是8厘米、4厘米，陰影部分的周長是多少厘米？【思路點(diǎn)撥】由題意可知，求直徑厘米圓的周長的一半加上直徑8厘米和4厘米圓的周長的一半即可得到答案?！疽?guī)范解答】解：（厘米）答：陰影部分的周長是37.68厘米?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了圓的周長公式的應(yīng)用?？键c(diǎn)五：畫圓【精講題】（2024?城關(guān)區(qū)）如圖有、兩點(diǎn)。先想一想：怎樣確定圓心、半徑，畫出的圓能經(jīng)過、兩點(diǎn)，再用圓規(guī)畫出兩個不同的圓，要使每個圓都經(jīng)過、兩點(diǎn)?！舅悸伏c(diǎn)撥】法一，連接，找到的中點(diǎn)，以為圓心，以長度的一半為半徑（即或的長）畫圓，則該圓必經(jīng)過、兩點(diǎn)；法二：連接，過的中點(diǎn)作一條垂線垂直于，取該條垂線上的任意一個點(diǎn)作為圓心，連接（或，則以（或?yàn)榘霃疆媹A，則該圓必經(jīng)過、兩點(diǎn)?！疽?guī)范解答】解：法一，連接，找到的中點(diǎn)，以為圓心，以長度的一半為半徑（即或的長）畫圓，則該圓必經(jīng)過、兩點(diǎn)。如下圖所示：法二：連接，過的中點(diǎn)作一條垂線垂直于，取該條垂線上的任意一個點(diǎn)作為圓心，連接（或，則以（或?yàn)榘霃疆媹A，則該圓必經(jīng)過、兩點(diǎn)。如下圖所示：【考點(diǎn)剖析】此題考查了圓的畫法，抓住圓的兩大要素：圓心和半徑即可畫圓?！揪氼}01】（2024?長沙模擬）第七屆世界軍人運(yùn)動會的會徽名為“和平友誼紐帶”，由五角星、和平鴿、彩帶以及數(shù)字7等元素共同構(gòu)成。其中“五角星”突出了軍隊(duì)和軍人的特征。（1）以右上圖五角星的五個頂點(diǎn)為圓心，以五角星每條邊的長度為半徑，畫五個圓（已經(jīng)畫出一個，請你畫出另外4個）。（2）如果五角星每條邊的長度為2厘米，那么這五個圓組成圖形的周長是多少厘米？【思路點(diǎn)撥】（1）畫圓的步驟如下：①把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳的距離，即半徑；②把有針尖的一只腳固定在五角星的一個頂點(diǎn)上，即圓心；③把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。（2）如圖所示，要求這五個圓組成圖形的周長，也就是5個半圓的周長之和，根據(jù)圓的周長，代入相應(yīng)數(shù)值計算即可解答。【規(guī)范解答】解：（1）畫出的五個圓如圖所示：（2）（厘米）答：這五個圓組成圖形的周長是31.4厘米。【考點(diǎn)剖析】本題考查了學(xué)生的作圖能力及圓的周長公式的應(yīng)用?！揪氼}02】（2023秋?龍海區(qū)期末）填一填，畫一畫。（1）在方格圖中，以三角形其中一個頂點(diǎn)為圓心畫一個圓，使另外兩個頂點(diǎn)都在圓上。（2）如果三角形的三個頂點(diǎn)都要在圓上，這個圓的圓心應(yīng)該在哪里？請在圖中用點(diǎn)表示?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，圓的半徑都相等，結(jié)合題意以為圓心，以4個格為半徑，畫圓解答即可。（2）同理，以的中點(diǎn)為圓心，以的一半長度為半徑，畫圓解答即可。【規(guī)范解答】解：（1）在方格圖中，以三角形其中一個頂點(diǎn)為圓心畫一個圓，使另外兩個頂點(diǎn)都在圓上。如圖：（2）如果三角形的三個頂點(diǎn)都要在圓上，這個圓的圓心在圖中用點(diǎn)表示，如圖：【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓的畫法，結(jié)合題意分析解答即可?？键c(diǎn)六：不規(guī)則圖形周長的求解【精講題】（2021秋?奉化區(qū)期末）①號圖形是由2個相同的小半圓、1個中半圓、1個大半圓組成，②號是由正方形和多個半圓組成。①號、②號陰影部分圖形的周長相比A．①號周長長 B．②號周長長 C．周長一樣長 D．無法確定【思路點(diǎn)撥】圖①的周長大圓周長的一半三個小圓周長的一半，圖②的周長圓周長的一半；根據(jù)圓的周長公式：，將數(shù)據(jù)代入公式解答即可?！疽?guī)范解答】解：圖①的周長：設(shè)三個小半的直徑分別為，，圖②的周長：所以①號、②號陰影部分圖形的周長一樣長。故選：。【考點(diǎn)剖析】本題考查與圓有關(guān)的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出相應(yīng)的半圓的周長。【精練題01】計算如圖圖形的周長．（單位：厘米）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)半圓的周長，代入數(shù)據(jù)計算即可解答；（2）觀察圖形可知，這個圖形的周長等于半徑2厘米的半圓弧長與直徑2厘米的圓的周長之和，據(jù)此計算即可解答問題．【規(guī)范解答】解：（1）（厘米）答：圖形的周長是25.7厘米．（2）（厘米）答：周長是12.50厘米．【考點(diǎn)剖析】此題主要考查圓的周長公式的靈活應(yīng)用．【精練題02】（2022?建華區(qū)）按要求計算。（1）求4個陰影部分的周長和。（四個圓的半徑均為（2）求陀螺的體積。（兩個圓錐的底面直徑均為【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是，通過圖形圖形可知，陰影部分4個扇形的圓心角之和是，根據(jù)圓的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式求出4個扇形的弧長再加上4個扇形的半徑的長度。（2）根據(jù)圓錐的體積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：（1）（厘米）答：4分陰影部分的周長和是28.50厘米。（2）（立方厘米）答：陀螺的體積是169.50立方厘米。【考點(diǎn)剖析】此題主要考查扇形的周長公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?？键c(diǎn)七：圓、圓環(huán)的面積【精講題】（2024?西秀區(qū)）如圖，圓的面積與長方形的面積相等，如果長方形的長是，圓的周長是A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】觀察圖形可知：長方形的寬圓的半徑；因?yàn)閳A的面積；長方形的面積，圓的面積與長方形的面積相等，所以，由此可以求出半徑，再利用圓的周長公式即可計算出圓的周長。【規(guī)范解答】解：設(shè)圓的半徑為厘米，則長方形的寬是厘米，根據(jù)題干分析可得：，則：所以圓的周長是：（厘米）答：圓的周長是20厘米。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題主要考查長方形的面積公式、圓的面積公式、圓的周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！揪氼}01】（2024?沾化區(qū)模擬）按要求畫一畫，填一填。（假設(shè)每個小正方形的面積是1平方厘米）（1）畫一個圖形，使它的面積的計算式是。（2）計算出環(huán)形的面積?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）要想面積的計算式是，可以考慮是三角形，三角形的底是2厘米，高是4厘米，利用三角形的面積底高，作出圖形即可。（2）環(huán)形的面積大圓的面積小圓的面積，代入數(shù)據(jù)計算即可?！疽?guī)范解答】解：（1）如圖：（2）（平方厘米）答：環(huán)形的面積是15.7平方厘米?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了圖形的面積，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用環(huán)形的面積公式?！揪氼}02】（2024?淮安模擬）一種鋼管的橫截面如圖，它的內(nèi)圓半徑是2厘米，外圓半徑是4厘米，它的橫截面面積是多少？【思路點(diǎn)撥】觀察發(fā)現(xiàn)鋼管的橫截面是個圓環(huán)，圓環(huán)的面積大圓的面積小圓的面積；計算時可以運(yùn)用乘法分配律：，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：（平方厘米）答：它的橫截面面積是37.68平方厘米。【考點(diǎn)剖析】本題考查的是圓環(huán)面積的計算，熟記公式是解答關(guān)鍵?？键c(diǎn)八：扇形的面積【精講題】（2023秋?新田縣期末）下面說法正確的是A．一杯牛奶1升，喝了，還剩升。 B．圓心角是50度的扇形比圓心角是90度的扇形面積大。 C．黃金的純度達(dá)到。 D．一個圓周長與它直徑的比值是3.14。【思路點(diǎn)撥】．把這杯牛奶的體積看作單位“1”，喝了，還剩下，用這杯牛奶的體積，求出還剩牛奶的體積，進(jìn)行解答；．根據(jù)扇形的面積可知，扇形的面積的大小與扇形的圓心角的度數(shù)和半徑的大小有關(guān)，半徑相同的情況下，圓心角越大，扇形的面積越大，據(jù)此解答；．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，黃金的純度達(dá)不到，據(jù)此解答；．一個圓周長與它直徑的比值是，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：．（升一杯牛奶1升，喝了，還剩升。原題干說法正確；．在半徑相等的情況下，圓心角是50度的扇形比圓心角是90度的扇形面積大；原題干說法錯誤；．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，黃金的純度達(dá)不到，原題干說法錯誤；．一個圓周長與它直徑的比值是，不是3.14，3.14是一個近似值；原題干說法錯誤。說法正確的是一杯牛奶1升，喝了，還剩升。故選：?！究键c(diǎn)剖析】本題主要考查扇形的面積，分?jǐn)?shù)的意義，求比值和化簡比，百分?jǐn)?shù)的意義等。【精練題01】（2023秋?瑞安市期末）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是按照一定規(guī)律畫出圓心角是的扇形圓弧。如圖，若第1步中扇形的半徑是，那么第5步所畫的新扇形面積是。A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，第一步畫的扇形半徑是1厘米，第二步畫的扇形的半徑是1厘米，第3步畫的扇形的半徑是厘米，第4步畫的扇形的半徑是厘米，第5步畫的扇形的半徑是厘米，根據(jù)圓的面積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：答：第5步所畫的新扇形面積是。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題主要考查圓的面積公式、扇形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！揪氼}02】（2024?長沙模擬）求陰影部分的面積?！舅悸伏c(diǎn)撥】觀察圖形可知，陰影部分的面積等于半徑為的圓的面積的，根據(jù)圓的面積公式：，據(jù)此進(jìn)行計算即可?！疽?guī)范解答】解：答：陰影部分的面積是?！究键c(diǎn)剖析】本題考查的是扇形面積的計算，熟記公式是解答關(guān)鍵?！揪氼}03】（2021秋?遜克縣期末）思考并實(shí)踐。（1）請在右側(cè)空白處畫一個半徑是3厘米的圓，并標(biāo)出圓心“”（2）在圓中畫出一個圓心角是的最大扇形，標(biāo)出圓心角度數(shù)，并把扇形涂上陰影。（3）請你根據(jù)學(xué)過的知識，求出這個扇形的面積。【思路點(diǎn)撥】（1）以為圓心，以3厘米為半徑畫圓。（2）在圓中畫出一個圓心角是的最大扇形，標(biāo)出圓心角度數(shù)，并把扇形涂上陰影。（3）利用扇形面積公式計算出這個扇形的面積?！疽?guī)范解答】解：（1）（2）如圖。（3）（平方厘米）答：這個扇形的面積是4.71平方厘米?！究键c(diǎn)剖析】本題考查了圓的及扇形的畫法及扇形面積的計算，需準(zhǔn)確畫圖，熟練掌握扇形面積公式。考點(diǎn)九：有關(guān)圓的應(yīng)用題【精講題】（2024?禪城區(qū)模擬）小明騎的自行車車輪直徑是80厘米，每分鐘轉(zhuǎn)200周，從家到學(xué)校有3千米，小明騎行需要的時間大約是（得數(shù)保留整數(shù)）A．8分鐘 B．10分鐘 C．12分鐘 D．15分鐘【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)圓的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式求出自行車車輪的周長，用自行車車輪的周長乘每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)求出每分鐘行駛的速度，然后根據(jù)時間路程速度，列式解答即可?！疽?guī)范解答】解：80厘米米3千米米（分鐘）答：小明騎行需要的時間大約是12分鐘。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題主要考查圓的周長公式的靈活運(yùn)用，以及路程、速度、時間三者之間的關(guān)系及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式?！揪氼}01】（2024?商洛模擬）一只大鐘，它的分針長90厘米。這根分針的尖端轉(zhuǎn)動一周所走的路程是251.2厘米，從1時到2時分針掃過的面積是平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，分針1小時轉(zhuǎn)一圈，根據(jù)圓的周長公式：，圓的面積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（厘米）（平方厘米）答：這根分針的尖端轉(zhuǎn)動一周所走的路程是251.2厘米，從1時到2時分針掃過的面積是5024平方厘米。故答案為：251.2，5024。【考點(diǎn)剖析】此題主要考查圓的周長公式、面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！揪氼}02】（2023秋?海港區(qū)期末）兒童樂園要修建一個圓形旋轉(zhuǎn)木馬場地，木馬旋轉(zhuǎn)范圍的直徑是，周邊還要留出寬的小路，并在外側(cè)圍上欄桿。（1）需要多長的圍欄？（2）小路的面積是多少平方米？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）小路的面積是環(huán)形，根據(jù)環(huán)形面積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）（米答：需要314米長的圍欄。（2）（米（米（平方米）答：小路的面積是28.24平方米?！究键c(diǎn)剖析】此題主要考查圓的周長公式、環(huán)形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?？键c(diǎn)十：組合圖形的面積【精講題】（2024?江漢區(qū)）下列圖形中的空白部分與陰影部分，周長相等但面積不相等的是A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示，觀察圖形，認(rèn)真分析每個選項(xiàng)中陰影部分的周長和面積，即可進(jìn)行正確解答?！疽?guī)范解答】解：觀察圖可知：陰影部分的周長與空白部分的周長都是大圓周長的一半加上小圓的周長，面積都是大圓面積的一半，所以空白部分和陰影部分的周長和面積都相等，不合題意；觀察圖發(fā)現(xiàn)：，?？瞻撞糠值闹荛L，陰影部分的周長，，，所以：，即空白部分和陰影部分的周長不相等。空白部分的面積高，陰影部分的面積高，它們的高都是大三角形的高，所以高也相等，這兩部分的面積相等。即空白部分和陰影部分的周長不相等，面積相等，不合題意；空白部分的周長邊長弧線的長度；陰影部分的周長邊長弧線的長度；所以空白部分與陰影部分周長相等；觀察發(fā)現(xiàn)空白部分的面積小于正方形面積的一半，而陰影部分的面積小于正方形面積的一半，所以它們的周長相等，面積不相等，符合題意；觀察可知，空白部分的周長小于陰影部分的周長，空白部分的面積小于陰影部分的面積，所以它們的周長不相等，面積不相等，不符合題意。故選：?！究键c(diǎn)剖析】此題考查了周長、面積的意義和大小比較知識，以及圓的周長公式、圓的面積，三角形的周長公式、三角形的面積公式及應(yīng)用，結(jié)合題意分析解答即可。【精練題01】（2023秋?沙坡頭區(qū)期末）太極圖被稱為“中華第一圖”，如圖所示的正方形內(nèi)是太極圖，已知正方形的邊長為，則正方形面積與涂黑色部分的面積比為。A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意結(jié)合圖示可知，正方形的邊長等于圓的直徑，涂黑色部分的面積等于圓的面積的一半，利用正方形的面積邊長邊長，圓的面積半徑半徑，計算正方形面積與涂黑色部分的面積比?！疽?guī)范解答】解：圓的半徑：（厘米）正方形的面積：（平方厘米），涂黑色部分的面積：（平方厘米）正方形面積與涂黑色部分的面積比為：故選：?！究键c(diǎn)剖析】本題考查的是組合圖形的面積的應(yīng)用?！揪氼}02】（2024?長沙模擬）求如圖陰影部分的面積。（單位：厘米）【思路點(diǎn)撥】（1）陰影部分的面積長方形的面積半圓的面積，又因半圓的直徑等于長方形的長，半圓的半徑等于長方形的寬，于是利用長方形和圓的面積公式即可求解。（2）陰影部分的面積大圓的面積兩個小圓的面積，又因大圓的半徑等于小圓的直徑，利用圓的面積公式即可求解?！疽?guī)范解答】解：（1）（平方厘米）答：陰影部分的面積是6.88平方厘米。（2）（平方厘米）答：陰影部分的面積是92.25平方厘米?！究键c(diǎn)剖析】解答此題的關(guān)鍵是弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積和或差求出基礎(chǔ)夯實(shí)優(yōu)選題專練1．（2024六上·深圳期末）四只螞蟻耗時1分鐘，分別沿著長方形、正方形、圓和等邊三角形走一圈，誰走的速度更快？（）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【規(guī)范解答】解：甲：（3+0.5）÷2

=3.5÷2

=7（cm）

乙：2÷4=8（cm）

丙：3.14÷2=6.28（cm）

?。?÷3=6（cm）

8＞7＞6.28＞6，乙走的速度最快。

。

【思路點(diǎn)撥】長方形的周長=（長+寬）÷2，正方形的周長=邊長÷4，圓的周長C=πd，等邊三角形的周長=邊長÷3，分別求出四只螞蟻1分鐘走的路程，再對比，走的最遠(yuǎn)的速度最快。2．（2024六上·龍崗期末）圖中陰影部分的面積是（）A．5.78m2 B．6.86m2 C．8.32m2 D．9.42m2【答案】D【規(guī)范解答】解：5÷2-3.14÷22÷4

=10-3.14

=6.86（m2）

。

【思路點(diǎn)撥】陰影部分的面積是長方形面積減去長方形內(nèi)空白部分的面積，空白部分是半徑2米的圓的面積除以4。3．（2024六上·英山期末）如下圖，從A到B沿大半圓走近，還是沿小半圓走近？正確答案是（）。A．沿大半圓走近 B．沿小半圓走近C．一樣近 D．無法判斷【答案】A【規(guī)范解答】解：設(shè)小圓的直徑為d1、則大圓的直徑為2d1，

沿小半圓走的路線長度為：πd1÷2÷4=2πd1；

沿大半圓走的路線長度為：π（2d1）÷2÷2=2πd1；

兩條路的長度一樣長。

?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題意可知，分別設(shè)大圓的直徑為d1、則大圓的直徑為2d1，利用圓的周長公式C=πd分別求出半圓弧長，再對比兩條路徑的長度。4．（2024·育才）半徑為2厘米的圓，它的周長和面積相等?！敬鸢浮垮e誤【規(guī)范解答】解：圓的周長是長度單位，圓的面積是面積單位，周長和面積是不會相等的，原題說法錯誤.

故答案為：錯誤【思路點(diǎn)撥】周長和面積是兩個不同的概念，表示的意義不同，帶的單位也不同，因此二者無法比較大小.5．用三張同樣大小的正方形白鐵皮，分別按下面三種方式裁剪出不同規(guī)格的圓片。剪完圓片后，第三種裁剪方式剩下的廢料最多。（）【答案】錯誤【規(guī)范解答】解：假設(shè)正方形的邊長是6

方式一圓片面積：π÷()2=9π；

方式二圓片面積：π÷()2=9π；

方式三圓片面積：π÷()2=9π；

三種方式原片的面積相等，剩下廢料的面積也相等，因此該說法錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路點(diǎn)撥】假設(shè)正方形的邊長是6，據(jù)此根據(jù)圓面積=π÷半徑2分別求出三種方式圓片的面積，比較即可。6．（2023六上·期末）圓的面積越大，圓的周長就越大。（）【答案】正確【規(guī)范解答】解：圓的面積越大，圓的半徑就越大，圓的半徑越大，圓的周長就越大。因此，原題說法正確。

故答案為：正確。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓面積=半徑2÷3.14可知，圓面積越大，半徑越大；根據(jù)圓周長=半徑÷2÷π可知，半徑越大，圓周長就越大進(jìn)行判斷。7．（2024六上·仙居期末）要畫一個周長是12.50厘米的圓，圓規(guī)兩腳之間的距離是厘米。這個圓的面積是平方厘米?！敬鸢浮?；12.50【規(guī)范解答】解：圓規(guī)兩腳之間的距離：12.50÷3.14÷2

=4÷2

=2(厘米)；

圓面積：3.14÷22

=3.14÷4

=12.50(平方厘米)。

故答案為：2；12.50。

【思路點(diǎn)撥】畫圓時，圓規(guī)兩腳之間的距離是圓的半徑，圓半徑=圓周長÷π÷2；圓面積=π÷半徑2；據(jù)此解答。8．（2024六上·鄆城期末）在停車場的出入口都有起落桿。這根起落桿完成一次升起運(yùn)動（如圖），起落桿最遠(yuǎn)端（A點(diǎn)）運(yùn)動了m?！敬鸢浮?.28【規(guī)范解答】解：4÷2÷3.14÷4

=8÷3.14÷4

=6.28（m）

故答案為：6.28。

【思路點(diǎn)撥】起落桿運(yùn)動的長度是一個半圓的弧長，等于“起落桿的長度÷2÷π÷2”，據(jù)此作答即可。9．（2024六上·印江期末）某鐘面上分針長8cm，經(jīng)過1小時后，它的尖端走過的路程是cm，它掃過的面積是cm2?！敬鸢浮?0.24；200.96【規(guī)范解答】解：走過的路程：2÷3.14÷8=50.24(cm)；

掃過的面積：3.14÷82=200.96(cm2)；

故答案為：50.24；200.96。

【思路點(diǎn)撥】1小時，分針轉(zhuǎn)動一周，因此，經(jīng)過1小時后，它的尖端走過的路程是以8cm為半徑的圓的周長，圓周長=2÷π÷半徑；掃過的面積是以8cm為半徑的圓的面積，圓面積=π÷半徑2，據(jù)此解答。10．（2024六上·天臺期末）已知O1、O2分別為圓心，求陰影部分的面積?！敬鸢浮拷猓?2÷3.14÷4

=50.24÷4

=12.50（平方厘米）

（4÷2）2÷3.14÷2

=4÷3.14÷2

=12.50÷2

=6.28（平方厘米）

12.50-6.28=6.28（平方厘米）【思路點(diǎn)撥】陰影部分的面積=大圓的面積÷4-小圓的面積÷2，其中圓的面積=πr2。11．（2024六上·蒲城月考）計算下面圖形陰影部分的周長與面積。（單位；dm）【答案】解：周長：

3.14÷20÷2

=62.8÷2

=125.6（dm）

面積：

20÷2=10(dm）

3.14÷102÷2

=314÷2

=157（dm2）20÷20-157

=900－157

=243（dm2）157÷3-243

=471-243

=714（dm2）【思路點(diǎn)撥】看圖可知：陰影部分的周長就是4個半徑相等的半圓弧的長度之和，也就是2個等圓的周長之和，并且圓的直徑就是正方形的邊長，因此周長=圓周率÷直徑÷2；

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積被分成了兩部分即3個半圓的面積和正方形的部分面積。直徑÷2=半徑，半圓的面積=圓周率÷半徑的平方÷2，正方形的部分面積=邊長÷邊長－半圓面積，陰影部分的面積=半圓的面積÷3-正方形的部分面積。12．（2024六上·羅湖期末）太極圖在中國傳統(tǒng)文化中含義深邃，其形狀為陰陽兩魚相抱在一起，象征兩極和合。已知整個圓的周長是62.8厘米，請問：陰魚（即陰影部分）的面積是多少平方厘米?【答案】解：62.8÷3.14÷2

=20÷2

=10(厘米)

102÷3.14÷2

=200÷3.14÷2

=314÷2

=157(平方厘米)

答：陰魚（即陰影部分）的面積是157平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】由圖可知，陰魚的面積等于陽魚的面積等于整圓面積的一半。因此，現(xiàn)根據(jù)圓周長求出半徑，半徑=圓周長÷π÷2；再根據(jù)圓面積=π÷半徑2，求出整圓面積，再除以2就是陰魚面積。13．（2024六上·蒲城月考）民生廣場有一個直徑為18米的圓形水池。如果沿水池邊緣向外修一條寬2米的健身步道（圖中陰影部分），健身步道的面積是多少平方米？【答案】解：18÷2=9（米），9+2=11（米）3.14÷（112-92）

=3.14÷（121－81）

=3.14÷90

=125.6（平方米）答：健身步道的面積是125.6平方米?！舅悸伏c(diǎn)撥】如圖，水池直徑÷2=水池半徑（r)，r-步道路寬=外圓半徑（R），

圓環(huán)的面積=π（R2－r2）。培優(yōu)優(yōu)選題專練14．（2023六上·錢塘期末）圖形m和n的面積比與其它三個選項(xiàng)不同的是（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：A項(xiàng)：設(shè)圖形m邊長為a，則m的面積為a2，n的面積為πa2，比為a2：πa2；

B項(xiàng)：設(shè)圖形m長為2a，寬為a(m的長為n所在圓的直徑，寬為n所在圓的半徑）

則m面積為2a2，n的面積為πa2；比為a2：πa2；

C項(xiàng)：設(shè)圖形m的邊長為a，則m的面積為a2，n的面積為π÷（a）2，比為a2：πa2；

D項(xiàng)：設(shè)圖形m所在的圓的半徑為a，m的面積為πa2，n的面積為a2，比為πa2：a2。

。

【思路點(diǎn)撥】圓的面積=π÷半徑2，長方形的面積=長÷寬，正方形的面積=邊長÷邊長，據(jù)此寫出面積比。15．（2023六上·江漢期末）將一個邊長1cm的等邊三角形沿水平線滾動（如圖所示），B點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路線的總長度是（）cm。A．π B．π C．π D．π【答案】A【規(guī)范解答】解：因?yàn)槭堑冗吶切?，所以每個角都是90°。

90°÷2÷920°

=120°÷920°

=

2÷1÷π÷÷2=π(cm)

。

【思路點(diǎn)撥】由題意可知，從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動，B點(diǎn)經(jīng)過的路線是兩段以三角形邊長為半徑的圓上的一段弧長，每段弧長長度相等，所對應(yīng)的圓心角都是兩個90°，據(jù)此求出B點(diǎn)經(jīng)過的路程占以三角形邊長為半徑的整圓的分率，根據(jù)圓周長=半徑÷2÷π求出整圓的周長，再乘上對應(yīng)的分率即可求出B點(diǎn)經(jīng)過的路程。16．（2023六上·合川期末）要剪一個面積是12.50cm2的圓形紙片，至少需要面積是（）cm2的正方形紙片。A．12.50 B．13 C．16 D．18【答案】A【規(guī)范解答】解：12.50÷3.14=4（平方厘米）

4÷2÷2

=2÷2

=4（厘米）

4÷4=16（平方厘米）。

。