四川省廣元市萬達中學2025屆高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

四川省廣元市萬達中學2025屆高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．34．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．6．己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．7．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直8．若復數(shù)，則（）A． B． C． D．209．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（）A．9 B．10 C．18 D．2011．已知命題，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．如圖，點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，點F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點）上運動，則（）A．在點F的運動過程中，存在EF//BC1B．在點M的運動過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體中，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個．其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）14．已知為雙曲線：的左焦點，直線經(jīng)過點，若點，關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．15．的展開式中的系數(shù)為________.16．設是等比數(shù)列的前項的和，成等差數(shù)列，則的值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點.（I）求與的關(guān)系式；（II）點與點關(guān)于坐標原點對稱.若當時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.18．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對于任意，.19．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當時，的最大值為，求證：.20．（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.21．（12分）的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點是線段的中點，，求的面積.22．（10分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

首先畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點時直線在上截距最小，所以．故選：A．【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．2、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當時,取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，又，所以公差，所以，即，因為函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，且；在時，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.4、A【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．5、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.6、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡為，結(jié)合題意可求得切點及其范圍，根據(jù)導數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個公共點，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用，由交點及導數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.7、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.8、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力.9、D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.10、B【解析】

由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對稱軸，函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，由f（x）＝f（2﹣x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x＝1對稱，∵f（x）為偶函數(shù)，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函數(shù)周期為2.又∵當x∈[0，1]時，f（x）＝x，且f（x）為偶函數(shù)，∴當x∈[﹣1，0]時，f（x）＝﹣x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個交點，即函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.11、D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實數(shù)的取值范圍為．故選：．【點睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗．12、C【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即點到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即為點到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③④【解析】

取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,進而求解；③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,當點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,；當點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；④正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．故答案為:①②③④【點睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】

由點，關(guān)于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關(guān)于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.15、80.【解析】

只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點睛】本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學生的計算能力，是一道容易題.16、2【解析】

設等比數(shù)列的公比設為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】解：等比數(shù)列的公比設為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（II）【解析】

（I）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于0，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標原點對稱，可得的面積是的面積的兩倍，再由當時，的面積取到最大值，可得，進而可得原點到直線的距離，再由點到直線的距離公式，以及（I）的結(jié)果，即可求解.【詳解】（I）由，得，則化簡整理，得；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離，又，故.再由（I），得，則.又，故，即，從而，即.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理、判別式等求解，屬于中檔試題.18、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)的運算法則，求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程求出切線的斜率及切點，利用函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上，列出方程組，求出，值；（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即將不等式右邊式子左移，得，構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號，這里應注意的取值范圍，從而證明不等式.【詳解】解：（1）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考慮函數(shù)，，則.而，故當時，，所以，即.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求切線的斜率，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題，以及不等式證明問題，考查了分析及解決問題的能力，其中，不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當時，在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是（2）當時，令，即，令，即（i）當，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，由的單調(diào)性可得在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當時，令，則是單調(diào)遞減函數(shù).因為，，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當時，取得最大值是因為，所以由此可證試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因為函數(shù)，所以（1）當時，，所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是（2）當時，令，即，所以令，即，所以（i）當，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是（Ⅲ）因為函數(shù)，所以所以當時，令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).因為，，所以在上存在，使得，即所以當時，；當時，即當時，；當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當時，取得最大值是因為，所