臨汾市第一中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

臨汾市第一中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.52.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.4.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.5.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.6.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③7.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.8.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.129.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.410.復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn),,若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為_________.14.設(shè)全集,,,則______.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.16.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長為2的正三角形,,則球的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知圓上有一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形為平行四邊形,線段的垂直平分線交于點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與軸分別交于兩點(diǎn),求證:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn),并求出面積的最大值.19.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.20.(12分)已知凸邊形的面積為1,邊長,,其內(nèi)部一點(diǎn)到邊的距離分別為.求證:.21.(12分)如圖,在直角中,,,,點(diǎn)在線段上.(1)若,求的長;(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,且,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系3、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.4、D【解析】

設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8、D【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù),的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).9、C【解析】

方法一:設(shè),利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn),結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得,進(jìn)而求得.方法二:設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),由拋物線的定義,結(jié)合求得的關(guān)系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達(dá)定理,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線恒過定點(diǎn),過分別作于,于,連接,由,則,所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又點(diǎn)是的中點(diǎn),則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,所以.方法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.10、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.12、B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

設(shè),寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得,由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為,據(jù)得.設(shè),則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵.14、【解析】

先求出集合,,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時(shí),,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.16、【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,求出正方體的對(duì)角線的長,就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因?yàn)椋瑸檎切?,所以,因?yàn)?,所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因?yàn)椋郑ó?dāng)時(shí)等號(hào)成立),依題意,,,有,則,解之得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式、利用絕對(duì)值三角不等式和均值不等式求最值;考查運(yùn)算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)先畫出圖形,結(jié)合垂直平分線和平行四邊形性質(zhì)可得為一定值,,故可確定點(diǎn)軌跡為橢圓(),進(jìn)而求解;(Ⅱ)設(shè)直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為,聯(lián)立直線與橢圓方程得,,分別由點(diǎn)斜式求得直線KA的方程為,令得,同理得,由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解,而,當(dāng)重合交于點(diǎn)時(shí),可求最值;【詳解】(Ⅰ),所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓,且長軸長,半焦距,所以,軌跡的方程為.(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),與曲線無交點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去,得.則,.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點(diǎn)為.不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方,則.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程,橢圓中的定點(diǎn)定值問題,屬于中檔題19、(1)證明見解析.(2)【解析】

(1)連接AC1,BC1,結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點(diǎn),通過等體積法,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,則有,結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn);∵M(jìn)是AB的中點(diǎn).所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1A⊥AC,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,∴AC⊥CC1,∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC?平面BB1C1C,CC1?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C,∴AC⊥BC1;又MN∥BC1∴AC⊥MN,∵CB=C1C=1,∴四邊形BB1C1C正方形,∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,而AC∩B1C=C,且AC?平面ACB1,CB1?平面ACB1,∴MN⊥平面ACB1,(2)作交于點(diǎn),設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,因?yàn)镸P,所以?MP,因?yàn)镃M,B1C;B1M,所以所以:CM?B1M.因?yàn)椋?,解得所以點(diǎn),到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點(diǎn)到平面的距離,一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直,而點(diǎn)到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求,屬于中檔題20、證明見解析【解析】

由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因?yàn)橥惯呅蔚拿娣e為1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)【點(diǎn)睛】本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題,考查學(xué)生對(duì)不等式靈活運(yùn)用的能力,是一道容易題.21、(1)3;(2).【解析】

(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定

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