新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第1講函數(shù)的旋轉(zhuǎn)兩函數(shù)的對稱問題教師版

第1講函數(shù)的旋轉(zhuǎn)、兩函數(shù)的對稱問題一．選擇題（共9小題）1．（2024?青島開學(xué)）將函數(shù)的圖象繞點逆時針旌轉(zhuǎn)，得到曲線，對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖象，則最大時的正切值為A． B． C．1 D．【解答】解：由，得，原函數(shù)的圖象是以為圓心，以為半徑的圓的部分，如圖：設(shè)過與圓相切的直線的斜率為，則直線方程為，即．由，解得．要使對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖象，則最大角滿意，，可得．最大時的正切值為．故選：．【點評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)的概念，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，屬難題．2．（2024春?池州期末）設(shè)是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項中（1）的取值只可能是A． B．1 C． D．0【解答】解：由題意可得：問題相當于圓上由6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．設(shè)處的點為，的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點也在的圖象上，同理的對應(yīng)點也在圖象上，以此類推，對應(yīng)的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點，當（1）時，即，此時，不滿意函數(shù)定義；當（1）時，即，此時，不滿意函數(shù)定義；當（1）時，即，此時，，，，不滿意函數(shù)定義；故選：．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的實力，考查函數(shù)定義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題3．（2017春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，若曲線仍是一個函數(shù)的圖象，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)．設(shè)函數(shù)在處，切線斜率為，則（1），（1），可得切線的傾斜角為，因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為，即的最大值為即．故選：．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象改變等學(xué)問點，將函數(shù)圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，求角的最大值，屬于中檔題．4．（2024春?徐匯區(qū)校級期中）2024年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀館引人注目（如圖①，而奇妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點，，兩動點，，且，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為．設(shè)函數(shù)，，其中，，隨著的改變，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點的軌跡（考慮蝴蝶的朝向）最有可能為A． B． C． D．【解答】解：本題比較抽象，考慮特別狀況．先考慮與共線的蝴蝶身方向，令，，要滿意，故解除，；再考慮與垂直的方向，令，要滿意，故解除，故選：．【點評】本題考查的學(xué)問要點：信息題，實際問題的處理，賦值法，主要考查學(xué)生的運算實力和數(shù)學(xué)思維實力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?上高縣校級月考）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)探討發(fā)覺全部的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則A． B． C．8084 D．8088【解答】解：因為函數(shù)，則，，令，解得，且（1），由題意可知，的拐點為，故的對稱中心為，所以，所以．故選：．【點評】本題考查了函數(shù)的新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答即可，考查了邏輯推理實力與轉(zhuǎn)化化歸實力，屬于中檔題．6．（2024春?齊齊哈爾期末）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點，為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)覺：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)，則A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：，，，令，得，又（1），所以的對稱中心為，所以，所以，故選：．【點評】本題考查函數(shù)新定義，解題中須要理清思路，屬于中檔題．7．（2024?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由已知可得，方程在上有兩解，即在上有解．設(shè)，則，令，得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，取得最小值（1），時，，時，，實數(shù)的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，屬于中檔題．8．（2024春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在兩組關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．【解答】解：依據(jù)題意，若函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則方程，即方程在區(qū)間上有兩組解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，在有唯一的極值點．分析可得：當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值（1），又由，（e），比較可得（e），故函數(shù)有最大值（e）．故函數(shù)在區(qū)間上的值域為，；若方程在區(qū)間上有兩組解，必有，則有，則的取值范圍是，．故選：．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題型．9．函數(shù)定義在上，已知的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)后不變，則關(guān)于方程的根，下列說法正確的是A．沒有實根 B．有且僅有一個實根 C．有兩個實根 D．有兩個以上的實根【解答】解：函數(shù)定義在上，的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)后不變，與其反函數(shù)是同一個函數(shù)，關(guān)于對稱，原點是它的對稱點，當時，，，解得，是唯一解．方程有且僅有一個實數(shù)根．故選：．【點評】本題考查實數(shù)的根的推斷，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）10．（2024?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)的圖象繞坐標原點順時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍舊是一個函數(shù)的圖象，則的可能取值為A． B． C． D．【解答】解：要使曲線仍舊是一個函數(shù)的圖象，則需滿意在旋轉(zhuǎn)過程中，曲線的隨意切線的傾斜角小于等于，由，則，，當且僅當時，取得最小值，即在時出的切線的斜率最小，此時傾斜角為，故，，故選：．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．11．（2024秋?蒼南縣校級月考）取整函數(shù)：不超過的最大整數(shù)，如，，，取整函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，如停車收費、出租車收費等等都是依據(jù)“取整函數(shù)”進行計費的，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題有A．， B．， C．，，，則 D．，，【解答】解：依據(jù)題意：對于選項：當時，，，故選項錯誤．對于選項：當時，．故選項正確．對于選項：只要滿意的整數(shù)或所取的整數(shù)相同，則，故選項正確．對于選項：當，，所以，，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查的學(xué)問要點：數(shù)的取整問題，賦值法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，且，函數(shù)，的圖象繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中可以取隨意正整數(shù)，則的值不行能為A．0 B． C． D．【解答】解：若，則通過連續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，依次可得,，此時對應(yīng),不符合函數(shù)概念，所以選項不行能對，同理選項也不行能對，而有可能成立，故選：．【點評】本題考查函數(shù)的概念，一個只能對應(yīng)一個，考查的方式比較創(chuàng)新，屬于難題．三．填空題（共8小題）13．（2024秋?天心區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)．（1）該函數(shù)的最小值為2；（2）將該函數(shù)的圖象繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖象，則的取值范圍是．【解答】解：（1）先畫出函數(shù)的圖象由圖可知，該函數(shù)的最小值為2．（2）由圖可知，當圖象繞坐標原點順時針方向旋轉(zhuǎn)角大于等于時，曲線都不是一個函數(shù)的圖象則的取值范圍是：，．故答案為：2；，．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想和分析問題解決問題的實力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?岳麓區(qū)校級期中）設(shè)，，為實數(shù)，，．記集合，，，，若，分別為集合元素，的元素個數(shù)，則下列結(jié)論可能的是①②③①且②且③且④且．【解答】解：方程若有實數(shù)根，則方程也有實數(shù)根，且相應(yīng)的互為倒數(shù)，且若，則方程與方程的根也互為倒數(shù)．若，則滿意且，故①正確；若，，，則滿意且，故②正確；若，，，則滿意且，故③正確；若．則方程有三個不同的實根，則他們的倒數(shù)也不同，故，則④錯誤．故答案為①②③．【點評】本題考查了集合中元素的個數(shù)及集合元素的特征，同時考查了二次方程的解，屬于中檔題．15．（2024秋?西城區(qū)校級期中）設(shè)是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)．（1）若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則（1）是（填是或否）可能為1．（2）若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則（1）可能取值只能是．①②③④0【解答】解：（1）由題意得到：問題相當于圓上由4個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當（1）（2）通過代入，當（1），，0時此時得到的圓心角為，，0，然而此時或者時，都有2個與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個只能對應(yīng)一個，因此只有當，此時旋轉(zhuǎn)，此時滿意一個只會對應(yīng)一個，因此答案就選：②．故答案為：1；②．【點評】本題考查的學(xué)問要點：定義性函數(shù)的應(yīng)用．16．（2024?香洲區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則8；的最大值為．【解答】解：由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則且（1），所以，解得，，所以，則，令，可得，當或時，，則單調(diào)遞增，當或時，，則單調(diào)遞減，因為，所以函數(shù)的最大值為16．故答案為：8；16．【點評】本題考查了函數(shù)對稱性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查了學(xué)生邏輯思維實力與轉(zhuǎn)化化歸實力，屬于中檔題．17．（2024?云南模擬）已知函數(shù)，，若函數(shù)與，的圖象上至少存在一對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：函數(shù)與，的圖象上至少存在一對關(guān)于軸對稱的點，等價于在，有零點，令，則，所以在，上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，則（1），又（1），，（4），因為（4），所以（4），則（4），所以（4）①，（1）②，解得，即的取值范圍是，．故答案為：，．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)探討閉區(qū)間上函數(shù)的最值，綜合性很強，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于中檔題．18．（2024春?大同期中）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為，．【解答】解：函數(shù)關(guān)于軸對稱的函數(shù)為，若函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，只須要方程有解，方程可化為，令，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且（1），可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，當時，，，，可得函數(shù)的值域為，，故實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是難題．19．（2024?景德鎮(zhèn)模擬）對于定義域為的函數(shù)，若滿意（1）；（2）當，且時，都有；（3）當，且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù)：①；②；③；④，則“偏對稱函數(shù)”有1個．【解答】解：由（2）可知，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以在上不單調(diào)，故不滿意條件（2），所以不是“偏對稱函數(shù)”；，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，故不滿意條件（2），所以不是“偏對稱函數(shù)”；對于，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，取，，則，但，不滿意條件（3），故不滿意條件（3），所以不是“偏對稱函數(shù)”；對于，，滿意條件（1），在上，為減函數(shù)，在上，為增函