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文檔簡介
2024-2025學年第一學期福州第一中學第一次月考高一數(shù)學(完卷時間:120分鐘;滿分:150分)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。1.已知全集,則集合(
)A. B. C. D.2.某城新冠疫情封城前,某商品的市場需求量y1(萬件),市場供應量y2(萬件)與市場價格x(百元/件)分別近似地滿足下列關系:,,當時的需求量稱為平衡需求量,解封后,政府為盡快恢復經(jīng)濟,刺激消費,若要使平衡需求量增加6萬件,政府對每件商品應給予消費者發(fā)放的消費券補貼金額是(
)A.6百元 B.8百元 C.9百元 D.18百元3.設表示不超過的最大整數(shù),對任意實數(shù),下面式子正確的是(
)A.=|x| B.≥ C.> D.>4.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為(
)A. B. C. D.5.設函數(shù),若是f(x)的最小值,則實數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.6.已知函數(shù)的定義域為,且,,則(
)A. B.為奇函數(shù)C. D.的周期為37.函數(shù)的定義域均為,且,關于對稱,,則的值為(
)A. B. C. D.8.已知函數(shù),若有且僅有兩個整數(shù)、使得,,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。9.下列命題正確的是(
)A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.命題“”的否定是“,使得”D.設函數(shù)的導數(shù)為,則“”是“在處取得極值”的充要條件10.若函數(shù)的定義域為,且,,則(
)A. B.為偶函數(shù)C.的圖象關于點對稱 D.11.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),對于任意,都有成立,當時,,給出下列結論,其中正確的是(
)A.B.點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C.函數(shù)在上單調遞增D.函數(shù)在上有3個零點三、填空題:本大題共3小題,沒小題5分,共15分。12.設函數(shù),若為奇函數(shù),則.13.=14.設m為實數(shù),若,則m的最大值是.四、解答題:本題共5小題,共77分。15.(本題13分)閱讀下面題目及其解答過程.已知函數(shù),(1)求f(-2)與f(2)的值;(2)求f(x)的最大值.解:(1)因為-2<0,所以f(-2)=①.因為2>0,所以f(2)=②.(2)因為x≤0時,有f(x)=x+3≤3,而且f(0)=3,所以f(x)在上的最大值為③.又因為x>0時,有,而且④,所以f(x)在(0,+∞)上的最大值為1.綜上,f(x)的最大值為⑤.以上題目的解答過程中,設置了①~⑤五個空格,如下的表格中為每個空格給出了兩個選項,其中只有一個正確,請選出你認為正確的選項,并填寫在答題卡的指定位置(只需填寫“A”或“B”).空格序號選項①A.(-2)+3=1
B.②A.2+3=5
B.③A.3
B.0④A.f(1)=1
B.f(1)=0⑤A.1
B.316.(本題15分)如圖,某小區(qū)要在一個直角邊長為的等腰直角三角形空地上修建一個矩形花園.記空地為,花園為矩形.根據(jù)規(guī)劃需要,花園的頂點在三角形的斜邊上,邊在三角形的直角邊上,頂點到點的距離是頂點到點的距離的2倍.(1)設花園的面積為(單位:),的長為(單位:),寫出關于的函數(shù)解析式;(2)當?shù)拈L為多少時,花園的面積最大?并求出這個最大面積.17.(本題15分)已知定義在上的奇函數(shù)f(x)滿足:時,.(1)求的表達式;(2)若關于的不等式恒成立,求的取值范圍.18.(本題17分)已知,且.(1)請給出的一組值,使得成立;(2)證明不等式恒成立.19.(本題17分)對于非負整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍2024-2025學年第一學期福州第一中學第一次月考高一數(shù)學參考答案1.C【分析】集合運算可得,即可求出結果【詳解】,所以故選:C2.C【分析】求出封城前的平衡需求量,可計算出解封后的需求量,利用需求量計算價格差距即為補貼金額.【詳解】封城前平衡需求量時的市場價格x為,平衡需求量為30,平衡價格為20,解封后若要使平衡需求量增加6萬件,則,,則補貼金額為.故選:C.3.D【詳解】分析:表示不超過的最大整數(shù),表示向下取整,帶特殊值逐一排除.詳解:設,,,,,排除A、B,設,,,排除C.故選D點睛:比較大小,采用特殊值法是常見方法之一.4.B【解析】當時,無解,此時,無零點;當時,根據(jù)為增函數(shù),且可得函數(shù)的零點為的零點,根據(jù)零點存在性定理可得結果.【詳解】當時,,無解,此時,無零點;當時,為增函數(shù),且.令,得,即,令,則函數(shù)的零點就是的零點,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的零點問題,考查了根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在的區(qū)間,考查了根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調性,屬于中檔題.5.C【分析】由,求得的范圍;再求得的單調性,討論,時函數(shù)在的最小值,即可得到所求范圍.【詳解】解:函數(shù),若,可得,由是的最小值,由于可得在單調遞增,在單調遞減,若,,則在處取得最小值,不符題意;若,,則在處取得最小值,且,解得,綜上可得的范圍是,.故選:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值的求法,注意運用分類討論思想方法,以及指數(shù)函數(shù)的單調性,考查運算能力,屬于中檔題.6.C【分析】令,則得,再令即可得到奇偶性,再令則得到其周期性,最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到的值.【詳解】令,得得或,當時,令得不合題意,故,所以A錯誤;令得,且的定義域為,故為偶函數(shù),所以B錯誤;令,得,所以,所以,則,則,所以的周期為6,所以D錯誤;令,得,因為所以,所以,故C正確.故選:C.【點睛】關鍵點點睛:本題的關鍵是利用賦值法得到其奇偶性和周期性,并依此性質求出函數(shù)值即可.7.C【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對稱性、周期性進行計算求解.【詳解】因為,
,對于②式有:,由①+有:,即,又關于對稱,所以,由④⑤有:,即,,兩式相減得:,即,即,因為函數(shù)的定義域為,所以的周期為8,又,所以,由④式有:,所以,由,有:,所以,由⑤式有:,又,所以,由②式有:,所以,故A,B,D錯誤.故選:C.8.A【分析】由題意可知,滿足不等式的解中有且只有兩個整數(shù),即函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標為整數(shù)的點,然后利用數(shù)形結合思想得出以及,由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由,得.由題意可知,滿足不等式的解中有且只有兩個整數(shù),即函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標為整數(shù)的點.如下圖所示:
由圖象可知,由于,該直線過定點.要使得函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標為整數(shù)的點,則有,即,解得,又,所以,,因此,實數(shù)的取值范圍是.故選A.【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解,解題的關鍵利用數(shù)形結合思想找到一些關鍵點來得出不等關系,考查數(shù)形結合思想的應用,屬于難題.9.AB【解析】根據(jù)定義法判斷是否為充分、必要條件,由全稱命題的否定是,否定結論,即可知正確的選項.【詳解】A選項中,,但或,故A正確;B選項中,當時有,而必有,故B正確;C選項中,否定命題為“,使得”,故C錯誤;D選項中,不一定有在處取得極值,而在處取得極值則,故D錯誤;故選:AB【點睛】本題考查了充分、必要條件的判斷以及含特稱量詞命題的否定,屬于簡單題.10.BCD【分析】對于A,令,可得;對于B,令,可得,即可判斷;對于C,令得f1=0,再令即可判斷;對于D,根據(jù)條件可得,繼而,進一步分析可得函數(shù)周期為4,分析求值即可.【詳解】對于A,令,則,因為,所以,則,故A錯誤;對于B,令,則,則,故B正確;對于C,令得,,所以f1令得,,則的圖象關于點對稱,故C正確;對于D,由得,又,所以,則,,所以,則函數(shù)的周期為,又f1=0,則,,則f1所以,故D正確,故選:BCD.11.AB【分析】由,賦值,可得,故A正確;進而可得是對稱中心,故B正確;作出函數(shù)圖象,可得CD不正確.【詳解】在中,令,得,又函數(shù)是R上的奇函數(shù),所以,,故是一個周期為4的奇函數(shù),因是的對稱中心,所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心,故A、B正確;作出函數(shù)的部分圖象如圖所示,易知函數(shù)在上不具單調性,故C不正確;函數(shù)在上有7個零點,故D不正確.故選:AB【點睛】本題考查了函數(shù)的性質,考查了邏輯推理能力,屬于基礎題目.12.-1【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù),由奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則,即,即對任意的恒成立,則,得.故答案為:-1【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用,需掌握奇偶性的定義,屬于基礎題.13.【分析】利用指數(shù)冪的運算性質和對數(shù)的運算性質計算即可求解.【詳解】原式==.故答案為:.14.【分析】設,,將兩個點集用平面區(qū)域表示,因為,故表示的平面區(qū)域在的內(nèi)部,根據(jù)這一條件得出的最大值.【詳解】解:設,,顯然點集表示以原點為圓心,5為半徑的圓及圓的內(nèi)部,點集是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,作圖可知,邊界交圓于點,邊界恒過原點,要求的最大值,故直線必須單調遞減,因為,所以當過圖中B點時,取得最大,聯(lián)立方程組,解得,故,即.【點睛】本題表面上考查了集合的運算問題,實質是考查了二元一次不等組表示的平面區(qū)域和二元二次不等式對應平面區(qū)域的畫法,還考查了動態(tài)分析問題的能力,屬于中等偏難題.15.(1)①A
;
②B;(2)③A
;④A
;⑤B.【分析】依題意按照步驟寫出完整的解答步驟,即可得解;【詳解】解:因為,(1)因為,所以,因為,所以(2)因為時,有,而且,所以在上的最大值為.又因為時,有,而且,所以在0,+∞上的最大值為1.綜上,的最大值為.16.(1)(2)當?shù)拈L為5m時,花園的面積最大,最大面積為150.【分析】(1)根據(jù)矩形面積即可求解,(2)根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】(1)則,,所以(2),當且僅當,即時等號成立,故當?shù)拈L為5m時,花園的面積最大,最大面積為150.17.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得當時的解析式,即可得到結果;(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調遞增,然后再結合是定義在上的奇函數(shù),化簡不等式,求解即可得到結果.【詳解】(1)設,則,因為時,,所以又因為是定義在上的奇函數(shù),即所以當時,綜上,的表達式為(2)由(1)可知,,設在上任取兩個自變量,令則因為,則,所以所以函數(shù)在上單調遞增.即,由是定義在上的奇函數(shù),可得即,由函數(shù)在上單調遞增,可得恒成立,當時,即,滿足;當時,即,解得綜上,的取值范圍為18.(1)(答案不唯一)(2)證明見解析【解析】(1)找到一組符合條件的值即可;(2)由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時加可得,即可得證.【詳解】解析:(1)(答案不唯一)(2)證明:由題意可知,,因為,所以.所以,即.因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質的應用.19.(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結果;
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