借助模型轉(zhuǎn)化 凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型的建立，可以讓學(xué)生感受到很多生活問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表達(dá)和解釋，從而更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。一、建構(gòu)模型，建立數(shù)學(xué)與外界的關(guān)聯(lián)（一）數(shù)學(xué)的本質(zhì)與作用數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。它是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的抽象化，具體包括數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象。這些抽象化的概念形成了數(shù)學(xué)的探究目標(biāo)。建立在抽象結(jié)構(gòu)之上，通過(guò)對(duì)研究目標(biāo)進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，生成數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和途徑，它能協(xié)助我們理解、識(shí)別并描述現(xiàn)實(shí)生活中的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律性質(zhì)。新課標(biāo)將“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個(gè)主題進(jìn)行了重新組織，以便更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的六個(gè)主題整合為“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題；在“圖形與幾何”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的四個(gè)主題整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題[1]。例如，通過(guò)對(duì)數(shù)量的抽象，可以更好地理解自然數(shù)的大小關(guān)系，而通過(guò)對(duì)角的概念的介紹，可以更好地理解角的大小關(guān)系。可以看到，這樣的整合有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。（二）數(shù)學(xué)建模的意義研究數(shù)學(xué)就是探討現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)一些具有普遍適用性的規(guī)律，將這些規(guī)律運(yùn)用到其他領(lǐng)域或日常生活中，從而形成多種多樣的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的一種基本思想。一套完備的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建步驟涵蓋了從現(xiàn)實(shí)狀況中用數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、創(chuàng)建模型、解決問(wèn)題、檢驗(yàn)結(jié)果、對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化的過(guò)程，最后成功處理實(shí)際問(wèn)題。這一過(guò)程比較充分地反映了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá)。正因?yàn)槿绱?，許多國(guó)家和國(guó)際組織提煉數(shù)學(xué)素養(yǎng)的依據(jù)就是數(shù)學(xué)建模過(guò)程[2]。以數(shù)量關(guān)系這一部分為例，數(shù)與運(yùn)算包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算，是按照加、減、乘、除數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的。數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系圖體現(xiàn)了數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，從中可以看出加法是四則運(yùn)算的核心（見(jiàn)圖1）。數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)融合進(jìn)“＋”的主題，討論數(shù)量關(guān)系涉及到數(shù)學(xué)模型的使用。利用這些模型，人們會(huì)采用數(shù)學(xué)創(chuàng)造的語(yǔ)言、符號(hào)和方法來(lái)解讀真實(shí)世界中的故事，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)活動(dòng)中較為復(fù)雜的內(nèi)容，構(gòu)建模型的過(guò)程中難度相對(duì)較大。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該更關(guān)注學(xué)生的生活體驗(yàn)，利用一些簡(jiǎn)單的日常環(huán)境以及現(xiàn)有的模型，重視數(shù)學(xué)化的過(guò)程。二、立足教材，落實(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)之一是“模型意識(shí)”。教學(xué)前教師要對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有深入的了解，抓住知識(shí)本質(zhì)巧妙設(shè)計(jì)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)思考方向，提出建構(gòu)模型的問(wèn)題，這樣在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)就有了方向，學(xué)生的思考就有了目標(biāo)，為推導(dǎo)模型的建立指明了方向。下面以“乘法的初步認(rèn)識(shí)”為例進(jìn)行解讀。（一）整體解讀，直指單元本質(zhì)新課標(biāo)指出：通過(guò)感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！俺朔ǖ某醪秸J(rèn)識(shí)”一課，學(xué)生通過(guò)在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟乘法模型的意義，形成模型意識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到乘法是一種簡(jiǎn)化的加法運(yùn)算。感受乘法和加法內(nèi)在的一致性，是求幾個(gè)相同加數(shù)的和是多少。所以本課核心素養(yǎng)聚焦在“推理意識(shí)”“模型意識(shí)”兩個(gè)核心詞上?！俺朔ǖ某醪秸J(rèn)識(shí)”這個(gè)部分，是學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算概念的首次觸碰和理解，是學(xué)習(xí)乘法、除法以及多位數(shù)的乘除法的基石，同時(shí)也是增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要步驟。在教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)豐富且生動(dòng)的直觀表象，輔助學(xué)生構(gòu)筑乘法模型的理解。我們將一連串的同加數(shù)相加的運(yùn)算抽象為“幾個(gè)幾”的表述方式，進(jìn)而構(gòu)建起加法運(yùn)算式與乘法運(yùn)算式之間的聯(lián)系。（二）前后勾連，形成整體模型構(gòu)架在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握“加法”及“100以內(nèi)加減法”的基礎(chǔ)之上，開(kāi)始深入研究“乘法的初步認(rèn)識(shí)”?，F(xiàn)階段，學(xué)生已經(jīng)成功地建立了加法模型，即幾個(gè)數(shù)相加就是把幾個(gè)數(shù)合起來(lái)，且他們能準(zhǔn)確地完成基礎(chǔ)的加法運(yùn)算。在接觸這節(jié)課之前，有一部分學(xué)生已經(jīng)通過(guò)多種途徑對(duì)乘法有了直觀的理解，還有一些學(xué)生已經(jīng)通過(guò)各種方法記住了乘法表。然而，他們對(duì)乘法含義的理解相對(duì)寬泛，需要借助直觀表象，以及連加的加法表達(dá)式，初步了解乘法模型。建立模型的過(guò)程包含：從實(shí)際生活或特定情境中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建等式來(lái)描繪數(shù)量關(guān)系，推導(dǎo)答案并剖析答案的意義。這些步驟能幫助學(xué)生開(kāi)始形成模型思維，提升他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和實(shí)踐觀念。教材應(yīng)遵循課程內(nèi)容，排列出利用現(xiàn)存知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決問(wèn)題的任務(wù)。這類(lèi)任務(wù)應(yīng)以“問(wèn)題情境——建?！鉀Q驗(yàn)證”作為流程，這一流程有助于理解和掌握相關(guān)知識(shí)技能，感受數(shù)學(xué)思維，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。三、圍繞本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型學(xué)生對(duì)于乘法其實(shí)并不陌生，那么，怎么讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從加法過(guò)渡到乘法，在思考中真正掌握知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”？這是我們每一位教師在用新課標(biāo)指引下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)都應(yīng)該思考的問(wèn)題。選擇學(xué)生熟悉的生活素材，讓他們體會(huì)乘法的由來(lái)。通過(guò)多元的表征方法，幫助學(xué)生理解加法與乘法的關(guān)系，初步感受乘法的意義，體會(huì)乘法的簡(jiǎn)便性。（一）問(wèn)題引領(lǐng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程教師可直接出示教材游樂(lè)園主題圖（見(jiàn)圖2），并引導(dǎo)學(xué)生從圖中找到數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。從問(wèn)題“小飛機(jī)里面一共有多少人？”入手，預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種方法。方法一：每架小飛機(jī)里的人數(shù)相同，都是3人。于是3個(gè)3個(gè)數(shù)，并且把每3人圈了起來(lái)，數(shù)出15人。方法二：列出連加法算式求出一共有多少人。3+3+3+3+3=15。此時(shí)，可借助學(xué)生匯報(bào)的契機(jī)進(jìn)行追問(wèn)：你能用一句話讓我一聽(tīng)就明白嗎？學(xué)生會(huì)總結(jié)出——5個(gè)3相加。利用加數(shù)數(shù)量多的特點(diǎn)，巧妙地在讀法中鋪墊乘法的意義，5個(gè)3相加是15。這為學(xué)生塑造了關(guān)于幾個(gè)幾相加的表象，為之后深化乘法含義提煉打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。接下來(lái)按此方法將學(xué)生提出的問(wèn)題依次進(jìn)行分析，列式計(jì)算?！斑^(guò)山車(chē)有多少人？”學(xué)生已經(jīng)建立了幾個(gè)幾的表象，發(fā)現(xiàn)圖中有7個(gè)2，直接列出連加法算式：2+2+2+2+2+2+2=14。此時(shí)，讓學(xué)生的思維進(jìn)一步延伸：如果過(guò)山車(chē)增加一排座位呢？那就是8個(gè)2相加，如果增加到20排座位呢？那就是20個(gè)2相加?；蛘咴黾痈嗟淖?，你還想繼續(xù)列出連加算式嗎？學(xué)生會(huì)提出不想，因?yàn)樘闊胗脦讉€(gè)2來(lái)表示，或者直接有學(xué)生提出可以用乘法。由此揭示乘法，幫助學(xué)生初步建立乘法模型。（二）結(jié)果解釋，感悟建模的意義我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，就是靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維并再創(chuàng)造的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，既需要正向的、發(fā)散的思維，又需要逆向的、收斂的思維，正逆向思維的結(jié)合處，就是問(wèn)題得以解決的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。加深學(xué)生對(duì)乘法含義的把握，根據(jù)乘法的含義構(gòu)建“乘法模型”，嘗試多種方法理解乘法的本質(zhì)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的累積過(guò)程中，充實(shí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。進(jìn)一步理解乘法算式中2和7的含義?？稍O(shè)計(jì)這樣幾個(gè)核心問(wèn)題。1.乘法算式會(huì)讀了，那算式中的2在圖中表示什么，能找到嗎？2.能從加法算式中找到2嗎？3.能在圖中找到7嗎？4.能在加法算式中找到7嗎？深刻理解7是2的個(gè)數(shù)。7在圖中表示7節(jié)車(chē)廂，在加法算式中是2的個(gè)數(shù)。引領(lǐng)和深入的問(wèn)題使乘法算式的每個(gè)部分變得更細(xì)致，逐步揭示“2”和“7”，為理解創(chuàng)建基礎(chǔ)。目標(biāo)在于加強(qiáng)“相同加數(shù)”的概念以及它們?cè)诔朔ㄋ闶街械臄?shù)量的理解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到乘法其實(shí)是加法的延伸，含義相同，只是更加簡(jiǎn)潔明了，突出了乘法意義的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。（三）多種維度，驗(yàn)證乘法模型數(shù)學(xué)建模要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中探尋知識(shí)的根本，利用數(shù)形結(jié)合去理解數(shù)量關(guān)系，同時(shí)在多元表征中拓展概念的形象。理清學(xué)生的思路，深化學(xué)生對(duì)乘法意義的理解：一個(gè)乘法算式可以表示兩層含義。出示方格圖（見(jiàn)圖3），每個(gè)方格站一人，一共有多少人？分別列出加法算式和乘法算式。經(jīng)過(guò)對(duì)比和研究，學(xué)生察覺(jué)到同一情境可以被表述為不同的加法算式以及相同的乘法算式。比如，以橫向視角觀察，每行有5個(gè)，有這樣的4行，此時(shí)可以用加法表達(dá)為：5+5+5+5，或者乘法表達(dá)為：4×5或5×4。而從豎向?qū)Ρ?，可以視為每列含?個(gè)，有這樣的5列，加法的表達(dá)形式是：4+4+4+4+4，而乘法仍舊