2024-2025學(xué)年上學(xué)期上海高一數(shù)學(xué)期末典型卷2

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期上海高一數(shù)學(xué)期末典型卷2一．填空題（共12小題，滿分36分，每小題3分）1．（3分）（2019?江蘇模擬）已知集合A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，則A∩B＝．2．（3分）（2016秋?長陽縣校級期末）已知5x＝3，，則2x﹣y的值為．3．（3分）（2020秋?峨山縣校級期中）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是臺．4．（3分）（2019秋?浦東新區(qū)校級期末）已知a，b為非零實數(shù)，且3a＝12b＝6ab，則a+b的值為．5．（3分）命題“每個二次函數(shù)的圖象都開口向下”的否定為．6．（3分）（2021?浙江開學(xué)）已知冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3），則該冪函數(shù)的定義域為．7．（3分）（2023秋?濟寧月考）已知指數(shù)函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（3，27），則f（2log32）＝．8．（3分）（2019秋?赤峰期末）若函數(shù)，則f（f（1））＝．9．（3分）（2020?寧德模擬）已知函數(shù)若存在實數(shù)m，使得方程f（x）﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．10．（3分）若關(guān)于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集為?，則實數(shù)a的取值范圍為．11．（3分）（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）記號min{a，b}表示a，b中取較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，，若對任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），則實數(shù)t的取值范圍是．12．（3分）（2020秋?海淀區(qū)校級期末）某種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效的治療作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量y（克）隨著時間x（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝m?f（x），其中f（x）．（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達小時．（2）若病人第一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用m個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療，則m的最小值為．二．選擇題（共4小題，滿分12分，每小題3分）13．（3分）（2021?饒陽縣校級模擬）已知x＞0，y＞0，a≥1，若a?（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，則（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0 C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥014．（3分）（2023秋?玉州區(qū)校級月考）函數(shù)y＝﹣x2+x+2的零點是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣215．（3分）（2021秋?佛山期末）為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出VL用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出后用水補滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）A．5 B．10 C．15 D．2016．（3分）（2024?歷城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件三．解答題（共5小題，滿分52分）17．（8分）（2023?吉安一模）已a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝4，證明：（1）；（2）．18．（10分）（2016?上海）對于函數(shù)f（x），g（x），記集合Df＞g＝{x|f（x）＞g（x）}．（1）設(shè)f（x）＝2|x|，g（x）＝x+3，求Df＞g；（2）設(shè)f1（x）＝x﹣1，，h（x）＝0，如果．求實數(shù)a的取值范圍．19．（10分）（2020秋?平房區(qū)校級期末）進入21世紀以來，南康區(qū)家具產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，為廣大市民提供了數(shù)十萬就業(yè)崗位，提高了廣大市民的收入，也帶動南康和周邊縣市的經(jīng)濟快速發(fā)展．同時，由于生產(chǎn)設(shè)備相對落后，生產(chǎn)過程中產(chǎn)生大量粉塵、廢氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，工業(yè)廢氣、粉塵等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要原因，治理污染刻不容緩．為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣、粉塵處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣、粉塵經(jīng)過過濾后再排放，以降低對空氣的污染．已知過濾過程中廢氣粉塵污染物的數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：h）間的關(guān)系為P（t）（P0，k均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）其中P0為t＝0時的污染物數(shù)量．若過濾5h后還剩余90%的污染物．（1）求常數(shù)k的值．（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間（精確到1h．參考數(shù)據(jù)：ln0.2≈﹣1.61，ln0.3≈﹣1.20，ln0.4≈﹣0.92，ln0.5≈﹣0.69，ln0.9≈﹣0.11）20．（10分）（2023秋?青浦區(qū)期末）已知函數(shù)y＝f（x），其中．（1）當(dāng)k≥1時，證明：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，0]上是嚴格減函數(shù)；（2）討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．21．（14分）（2023?黃浦區(qū)校級三模）定義如果函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的圖像上分別存在點M和N關(guān)于x軸對稱，則稱函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）具有C關(guān)系．（1）判斷函數(shù)f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C關(guān)系；（2）若函數(shù)f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C關(guān)系，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在區(qū)間（0，π）上具有C關(guān)系，求實數(shù)m的取值范圍．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期上海高一數(shù)學(xué)期末典型卷2參考答案與試題解析一．填空題（共12小題，滿分36分，每小題3分）1．（3分）（2019?江蘇模擬）已知集合A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，則A∩B＝{3}．【考點】求集合的交集．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】進行交集的運算即可．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{﹣1，0，3}，∴A∩B＝{3}．故答案為：{3}．【點評】本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（3分）（2016秋?長陽縣校級期末）已知5x＝3，，則2x﹣y的值為2．【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵5x＝3，∴x＝log53．又，則2x﹣y＝2log53log525＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了指數(shù)式化為對數(shù)式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）（2020秋?峨山縣校級期中）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是150臺．【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先應(yīng)該仔細審題分析成本y與產(chǎn)量x的關(guān)系以及以及獲利與產(chǎn)量的關(guān)系，再結(jié)合企業(yè)不虧本即收入要大于等于支出即可得到關(guān)于x的一元二次不等式解之．【解答】解：由題意可知：要使企業(yè)不虧本則有總收入要大于等于總支出，又因為總收入為：25x，總支出為：3000+20x﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1?x2解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案為：150．【點評】本題考查的是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了審題在應(yīng)用問題中的重要性，關(guān)鍵時將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．4．（3分）（2019秋?浦東新區(qū)校級期末）已知a，b為非零實數(shù)，且3a＝12b＝6ab，則a+b的值為2．【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)3a＝12b＝6ab＝k，把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：設(shè)3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴2logk6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案為：2．【點評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題．5．（3分）命題“每個二次函數(shù)的圖象都開口向下”的否定為有的二次函數(shù)的圖象開口不向下．【考點】命題的否定．【專題】對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】有的二次函數(shù)的圖象開口不向下．【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，求解即可．【解答】解：根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題知，“每個二次函數(shù)的圖象都開口向下”的否定為：有的二次函數(shù)的圖象開口不向下．故答案為：有的二次函數(shù)的圖象開口不向下．【點評】本題考查了全稱量詞命題的否定問題，是基礎(chǔ)題．6．（3分）（2021?浙江開學(xué)）已知冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3），則該冪函數(shù)的定義域為（0，+∞）．【考點】求冪函數(shù)的定義域．【專題】方程思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】（0，+∞）．【分析】根據(jù)冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3），可求出α，然后根據(jù)偶次方根被開發(fā)數(shù)大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定義域．【解答】解：因為冪函數(shù)f（x）＝xα滿足f（3），所以f（3）＝3α，解得α，所以f（x），該冪函數(shù)的定義域為（0，+∞）．故答案為：（0，+∞）．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義域，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）（2023秋?濟寧月考）已知指數(shù)函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（3，27），則f（2log32）＝4．【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】4．【分析】設(shè)f（x）＝ax，然后根據(jù)f（x）的圖象過點（3，27）即可求出a的值，然后根據(jù)對數(shù)的運算即可求出答案．【解答】解：設(shè)f（x）＝ax，f（x）的圖象經(jīng)過點（3，27），∴a3＝27，∴a＝3，∴f（x）＝3x，∴．故答案為：4．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的定義，對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．8．（3分）（2019秋?赤峰期末）若函數(shù)，則f（f（1））＝﹣1．【考點】函數(shù)的值．【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】推導(dǎo)出f（1）＝1﹣3＝﹣2，從而f（f（1））＝f（﹣2）＝sin（）＝﹣sin，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)，∴f（1）＝1﹣3＝﹣2，f（f（1））＝f（﹣2）＝sin（）＝﹣sin1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（3分）（2020?寧德模擬）已知函數(shù)若存在實數(shù)m，使得方程f（x）﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）．【考點】由方程根的分布求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先畫出函數(shù)y＝log2x和函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象，易求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)為（1，0）和（2，1），利用數(shù)形結(jié)合法觀察圖象，即可求出a的取值范圍．【解答】解：畫出函數(shù)y＝log2x和函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象，如圖所示：，兩個函數(shù)有兩個交點，坐標(biāo)為（1，0）和（2，1），∵存在實數(shù)m，使得方程f（x）﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴觀察圖象可知，當(dāng)0＜a＜1時符合題意．當(dāng)1＜a＜2時符合題意，∴a的取值范圍是：（0，1）∪（1，2），故答案為：（0，1）∪（1，2）．【點評】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合法，作圖是關(guān)鍵，是中檔題．10．（3分）若關(guān)于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集為?，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，6]．【考點】絕對值不等式的解法．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解．【答案】（﹣∞，6]【分析】由絕對值三角不等式可得|3x+4|+|3x﹣2|的最小值，由不等式的解集為空集，即可得a的取值范圍．【解答】解：由絕對值三角不等式可得|3x+4|+|3x﹣2|≥|（3x+4）﹣（3x﹣2）|＝6，若關(guān)于x的不等式|3x+4|+|3x﹣2|＜a的解集為?，則a≤6，即實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，6]．【點評】本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（3分）（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）記號min{a，b}表示a，b中取較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，，若對任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），則實數(shù)t的取值范圍是．【考點】函數(shù)的奇偶性．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】．【分析】根據(jù)題意求出f（x）解析式，然后畫出f（x）的圖象，再由對任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），可得將f（x）的圖象向右平移2個單位后，圖象在y＝f（x）的非下方，結(jié)合圖象得4t2﹣（﹣4t2）≤2且t≠0，從而可求得結(jié)果．【解答】解：因為函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，當(dāng)x＞0時，由，解得，所以f（x），因為f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時，，當(dāng)時，由f（x）＝0，得x＝4t2，當(dāng)時，由f（x）＝0，得x＝﹣4t2，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，因為對任意x∈R，都有f（x﹣2）≥f（x），所以將f（x）的圖象向右平移2個單位后，圖象在y＝f（x）的非下方，所以4t2﹣（﹣4t2）≤2且t≠0，解得，且t≠0，即實數(shù)t的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題．12．（3分）（2020秋?海淀區(qū)校級期末）某種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效的治療作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量y（克）隨著時間x（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝m?f（x），其中f（x）．（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達小時．（2）若病人第一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用m個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療，則m的最小值為．【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】；【分析】（1）由題意可得m＝3，則可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治療末端時間點，由此列出滿足再服用m個單位藥劑后，接下來2個小時能?持續(xù)有效的不等式，利用恒成立求得m的范圍，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則m＝3，所以當(dāng)0≤x＜6時，，當(dāng)6≤x≤8時，令，解得，當(dāng)6≤x≤8時，令，解得，所以若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達小時．（2）若病人第一次服用2個單位的藥劑，則m＝2，所以，此時，所以治療時間末端為第6小時結(jié)束，因為在治療時間末端再服用m個單位藥劑，所以6≤x≤8，所以，所以對于任意x∈[6，8]恒成立，所以對于任意x∈[6，8]恒成立，設(shè)，為開口向上，對稱軸為x＝4的拋物線，所以g（x）在[6，8]上單調(diào)遞增，所以，故，所以m的最小值為．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題，滿分12分，每小題3分）13．（3分）（2021?饒陽縣校級模擬）已知x＞0，y＞0，a≥1，若a?（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，則（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0 C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥0【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】先利用指數(shù)、對數(shù)運算對已知式子進行變形，然后利用放縮法得到不等關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)，借助其單調(diào)性進行求解．【解答】解：由題意可知，a?（）3y+log2x＝log2y，∴，令f（x），則f（x）＜f（3y），易知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，由f（x）＜f（3y）得：x＜3y，∴3y﹣x＞0，∴1+3y﹣x＞1，∴l(xiāng)n（1+3y﹣x）＞ln1＝0，故選：C．【點評】本題主要考查了指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了構(gòu)造函數(shù)的思想，同時考查了學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力，是中檔題．14．（3分）（2023秋?玉州區(qū)校級月考）函數(shù)y＝﹣x2+x+2的零點是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣2【考點】求解函數(shù)零點所在區(qū)間．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解方程即可．【解答】解：令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝2．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的零點的求法，是基礎(chǔ)題．15．（3分）（2021秋?佛山期末）為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出VL用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出后用水補滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）A．5 B．10 C．15 D．20【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得第二次稀釋后，桶中藥液含量為40﹣V，所以40﹣V60%V，從而解出V的取值范圍，得到V的最小值．【解答】解：第一次稀釋后，桶中藥液含量為40﹣V，第二次稀釋后，桶中藥液含量為40﹣V，∵第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，∴40﹣V60%×40，化簡得V2﹣90V+800≤0，解得10≤V≤80，∴V的最小值為10，故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題．16．（3分）（2024?歷城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】抽象函數(shù)的周期性；充分條件與必要條件；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析f（x）的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析“a2＜b2”和“f（a）＞f（b）”的關(guān)系，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）﹣f（x）＝0，則f（x）為偶函數(shù)，若a2＜b2，則有|a|＜|b|，而f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（|a|）＞f（|b|），又由f（x）為偶函數(shù)，則有f（a）＞f（b），反之，若f（a）＞f（b），f（x）為偶函數(shù)，則有f（|a|）＞f（|b|），又由f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則有|a|＜|b|，變形可得a2＜b2，故“a2＜b2”是“f（a）＞f（b）”的充要條件．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題，滿分52分）17．（8分）（2023?吉安一模）已a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝4，證明：（1）；（2）．【考點】不等式的證明．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）利用題意構(gòu)造基本不等式，再利用柯西不等式，即可證明結(jié)論；（2）構(gòu)造基本不等式，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，∴；（2）∵a+b+c＝4，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴．【點評】本題考查不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（10分）（2016?上海）對于函數(shù)f（x），g（x），記集合Df＞g＝{x|f（x）＞g（x）}．（1）設(shè)f（x）＝2|x|，g（x）＝x+3，求Df＞g；（2）設(shè)f1（x）＝x﹣1，，h（x）＝0，如果．求實數(shù)a的取值范圍．【考點】其他不等式的解法；集合的表示法．【專題】壓軸題；函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接根據(jù)新定義解不等式即可，（2）方法一：由題意可得則在R上恒成立，分類討論，即可求出a的取值范圍，方法二：夠造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得Df＞g＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）方法一：，，由，則在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0時成立．以下只討論a＜0的情況對于，t＞0，t2+t+a＞0，解得t或t，（a＜0）又t＞0，所以，∴綜上所述：方法二（2），，由a≥0．顯然恒成立，即x∈Ra＜0時，，在x≤1上恒成立令，，所以，綜上所述：．【點評】本題考查了新定義和恒成立的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力，分析分析問題的能力，轉(zhuǎn)換能力，屬于難題．19．（10分）（2020秋?平房區(qū)校級期末）進入21世紀以來，南康區(qū)家具產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，為廣大市民提供了數(shù)十萬就業(yè)崗位，提高了廣大市民的收入，也帶動南康和周邊縣市的經(jīng)濟快速發(fā)展．同時，由于生產(chǎn)設(shè)備相對落后，生產(chǎn)過程中產(chǎn)生大量粉塵、廢氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，工業(yè)廢氣、粉塵等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要原因，治理污染刻不容緩．為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣、粉塵處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣、粉塵經(jīng)過過濾后再排放，以降低對空氣的污染．已知過濾過程中廢氣粉塵污染物的數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：h）間的關(guān)系為P（t）（P0，k均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）其中P0為t＝0時的污染物數(shù)量．若過濾5h后還剩余90%的污染物．（1）求常數(shù)k的值．（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間（精確到1h．參考數(shù)據(jù)：ln0.2≈﹣1.61，ln0.3≈﹣1.20，ln0.4≈﹣0.92，ln0.5≈﹣0.69，ln0.9≈﹣0.11）【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可得e﹣5k＝0.9，兩邊取對數(shù)可得k的值；（2）令e﹣kt＝0.4，即0.4，兩邊取對數(shù)即可求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知P0e﹣5k＝0.9P0，故e﹣5k＝0.9，兩邊取對數(shù)可得：﹣5k＝ln0.9，即k0.022．（2）令P0e﹣kt＝0.4P0，e﹣kt＝0.4，故0.4，即0.4，∴l(xiāng)og0.90.4，∴t42．∴污染物減少到40%至少需要42小時．【點評】本題考查了函數(shù)值的計算，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．20．（10分）（2023秋?青浦區(qū)期末）已知函數(shù)y＝f（x），其中．（1）當(dāng)k≥1時，證明：函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，0]上是嚴格減函數(shù)；（2）討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．【考點】函數(shù)的奇偶性；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】（1）詳見解答過程；（2）k＝1時，f（﹣x）＝f（x），即f（x）為偶函數(shù)，k≠1時，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．【分析】（1）任意取x1x2∈（﹣x，0]，且x1＞x2，k≥1，利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，檢驗f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即可判斷．【解答】（1）證明：任意取x1x2∈（﹣x，0]，且x1＞x2，k≥1，所以0，01≤k，則f（x1）﹣f（x2）（）（）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，0]上是嚴格減函數(shù)；（2）解：函數(shù)定義域為R，∵，∴f（x）不是奇函數(shù)，∵f（﹣x）2x﹣1，f（x）1，當(dāng)k＝1時，f（﹣x）＝f（x），即f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)k≠1時，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于中檔題．21．（14分）（2023?黃浦區(qū)校級三模）定義如果函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的圖像上分別存在點M和N關(guān)于x軸對稱，則稱函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）具有C關(guān)系．（1）判斷函數(shù)f（x）＝log2（8x2）和x是否具有C關(guān)系；（2）若函數(shù)f（x）＝a和g（x）＝﹣x﹣1不具有C關(guān)系，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）在區(qū)間（0，π）上具有C關(guān)系，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1）f（x），g（x）具有C關(guān)系；（2）（﹣∞，2）；（3）（﹣∞，﹣1）．【分析】（1）即判斷當(dāng)x＞0時，f（x）＝﹣g（x）是否有解；（2）即當(dāng)x≥1時，f（x）＝﹣g（x）沒解，求a的范圍；（3）即研究當(dāng)xex＝﹣msinx在（0，π）上有解時，求m的范圍，可分離參數(shù)求解．【解答】解：（1）由已知得，化簡得log2x＝﹣3，解得，故此時函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）具有C關(guān)系；（2）由已知得ax+1在[1，+∞）上無解，x＝1顯然不滿足上式，故2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時取等號），故時，原方程無解，即函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）不具有C關(guān)系，即所求a的范圍是（﹣∞，2）；（3）由已知得xex＝﹣msinx（m＜0）在（0，π）上有解，即﹣m在（0，π）上有解，令h（x），x∈（0，π），h′（x），x∈（0，π），再令φ（x）＝（x+1）sinx﹣xcosx＝x（sinx﹣cosx）+sinx，當(dāng)x時，sinx＞cosx，且sinx＞0，故此時h′（x）＞0，當(dāng)時，易知x→0時，φ（x）→0，此時φ′（x）＝sinx+x（sinx+cosx）＞0，故φ（x）在（0，）上遞增，故φ（x）＞0在（0，）上恒成立，即h′（x）＞0在（0，π）上恒成立，故h（x）在（0，π）單調(diào)遞增，而1，且x→π時，h（x）→+∞，故h（x）＞1，即﹣m＞1，解得m＜﹣1即為所求，故所求m的范圍是（﹣∞，﹣1）．【點評】本題考查新定義問題，函數(shù)零點的存在性問題，以及利用二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而解決函數(shù)值域問題的思路，屬于較難的題目．

考點卡片1．集合的表示法【知識點的認識】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點的坐標(biāo)．【命題方向】本考點是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．2．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．3．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．4．命題的否定【知識點的認識】命題的否定就是對這個命題的結(jié)論進行否認．（命題的否定與原命題真假性相反）命題的否命題就是對這個命題的條件和結(jié)論進行否認．（否命題與原命題的真假性沒有必然聯(lián)系）．?P不是命題P的否命題，而是命題P的否定形式．對命題“若P則Q“來說，?P是“若P則非Q”；P的否命題是“若非P則非Q”注意兩個否定：“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解題方法點撥】若p則q，那么它的否命題是：若?p則?q，命題的否定是：若p則?q．注意兩者的區(qū)別．全（特）稱命題的否定命題的格式和方法；要注意兩點：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對結(jié)論進行否定．將量詞“?”與“?”互換，同時結(jié)論否定．【命題方向】命題存在中學(xué)數(shù)學(xué)的任意位置，因此命題的范圍比較廣，涉及知識點多，多以小題形式出現(xiàn)，是課改地區(qū)?？碱}型．5．其他不等式的解法【知識點的認識】指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解．【解題方法點撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點其實是大家的計算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點其實主要是學(xué)會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學(xué)生的運算能力，也是一個比較重要的考點，希望大家好好學(xué)習(xí)．6．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：0?f（x）?g（x）＞0；0?f（x）?g（x）＜0；0?；0?．7．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)【知識點的認識】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．8．函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．9．抽象函數(shù)的周期性【知識點的認識】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．10．函數(shù)的值【知識點的認識】函數(shù)的值是指在某一自變量取值下，函數(shù)對應(yīng)的輸出值．【解題方法點撥】﹣確定函數(shù)的解析式，代入自變量值，計算函數(shù)的值．﹣驗證計算結(jié)果的正確性，結(jié)合實際問題分析函數(shù)的值．﹣利用函數(shù)的值分析其性質(zhì)和應(yīng)用．【命題方向】題目包括計算函數(shù)的值，結(jié)合實際問題求解函數(shù)的值及其應(yīng)用．已知函數(shù)f（x）．求f（f（f（）））的值；解：，，，故f（f（f（）））．11．求冪函數(shù)的定義域【知識點的認識】冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．對于冪函數(shù)，我們只研究a＝1，2，3，，﹣1時的圖像與性質(zhì)．冪函數(shù)的定義域是指自變量x取值的范圍，對于冪函數(shù)y＝xa，定義域與指數(shù)a的取值有關(guān)．【解題方法點撥】﹣當(dāng)a為正整數(shù)時，定義域為全體實數(shù)，即x∈（﹣∞，+∞）．﹣當(dāng)a為負整數(shù)時，定義域為x≠0的全體實數(shù)，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．﹣當(dāng)a為分數(shù)時，若分母為偶數(shù)，則定義域為x≥0；若分母為奇數(shù)，則定義域為x∈（﹣∞，+∞）．【命題方向】常見題型包括直接求解冪函數(shù)的定義域，結(jié)合具體題目條件分析定義域．若冪函數(shù)f（x）圖象經(jīng)過點P（2，），則其定義域為_____．解：設(shè)f（x）＝xα，冪函數(shù)f（x）圖象經(jīng)過點P（2，），則，解得，故f（x），x＞0，故函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．故答案為：（0，+∞）．12．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1）（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負分數(shù)指數(shù)冪：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點撥】例1：下列計算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aC、3D、\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì)．13．指數(shù)函數(shù)的值域【知識點的認識】指數(shù)函數(shù)的解析式、定義、定義域、值域1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個問題：①因為a＞0，x是任意一個實數(shù)時，ax是一個確定的實數(shù)，所以函數(shù)的定義域為實數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當(dāng)x＞0時，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時，ax無意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時對于x，x在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一個常量，對它就沒有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．14．指數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認識】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過定點（0，1）當(dāng)x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1當(dāng)x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)a＞l時，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當(dāng)0＜a＜l時，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對函數(shù)值的影響如圖．③當(dāng)a＞0，且a≠l時，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y的圖象關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。喝舻讛?shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時要注意結(jié)合圖象及特殊值．15．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；logalogaM．16．求解函數(shù)零點所在區(qū)間【知識點的認識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A.B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因為函數(shù)，在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，又因為f（e）＝10，f（e2）＝20，所以f（x）的零點位于（e，e2）．故選：C．17．由方程根的分布求解函數(shù)或參數(shù)【知識點的認識】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】通過已知方程根的分布情況，反向求解函數(shù)的表達式或參數(shù)值．常見題型包括通過根的分布情況求解二次函數(shù)、多項式函數(shù)、分段函數(shù)的參數(shù)值．已知關(guān)于x的方程4x+（a+2）?2x+3＝0在x∈（﹣∞，0]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是_____．解：令t＝2x，∵x∈（﹣∞，0]，∴0＜t≤1，∴關(guān)于x的方程4x+（a+2）?2x+3＝0在x∈（﹣∞，0]上有解，即y＝a+2與g（t）在（0，1]上有交點，g（t）（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，且g（1）＝﹣4，∴a+2≤﹣4，解得a≤﹣6，故答案為：（﹣∞，﹣6]．18．函數(shù)與方程的綜合運用【知識點的認識】函數(shù)與方程的綜合運用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問題．【解題方法點撥】﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)．﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．﹣綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實際問題．【命題方向】常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．19．分段函數(shù)的應(yīng)用【知識點的認識】分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當(dāng)稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關(guān)．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．20．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足