鞍山市鐵西區(qū)2024年八年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/22鞍山市鐵西區(qū)2024年八年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、單項選擇題在各小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確的答案字母代號涂在答題卡上，每小題2分，10小題，共20分。1．（2分）計算（﹣2m3n2）2的結(jié)果是（）A．﹣2m6n4 B．4m6n4 C．4m5n4 D．﹣4m6n4【分析】利用積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（﹣2m3n6）2＝4m8n4．故選：B．【點評】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．2．（2分）下列說法正確的是（）A．三角形的一個外角大于三角形的任何一個內(nèi)角 B．三角形三條角平分線的交點叫做三角形的重心 C．三角形一個頂點處取一個外角，這三個外角中，鈍角的個數(shù)最多是3個 D．一個三角形的三條中線、三條角平分線，三條高都在三角形的內(nèi)部【分析】根據(jù)三角形的外角定理可對選項A進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形重心的定義可對選項B進(jìn)行判斷；分別討論銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形在一個頂點處取一個外角，這三外角的大小即可對選項C進(jìn)行判斷；根據(jù)直角三角形的兩條高與直角邊重合，鈍角三角形有兩條高在三角形的外部可對選項D進(jìn)行判斷．【解答】解：因為三角形的一個外角大于和它不相鄰的內(nèi)角，所以選項A不正確；因為三角形三條角平分線的交點是三角形的內(nèi)心，三角形三條中線的交點是三角形的重心，所以選項B不正確；因為在銳角三角形每一個頂點處取一個外角，這三個外角都是鈍角，這三個外角中有兩個鈍角，在鈍角三角形每一個頂點處取一個外角，所以在三角形每一個頂點處取一個外角，這三個外角中．所以選項C正確；因為直角三角形的兩條高與直角邊重合，鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，所以選項D不正確．故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分線、中線和高是解決問題的關(guān)鍵．3．（2分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．6a6﹣2a3＝3a3【分析】利用合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、a2與a3不屬于同類項，不能合并；B、（a2）3＝a6，故B符合題意；C、a3?a3＝a5，故C不符合題意；D、5a6與2a7不屬于同類項，不能合并；故選：B．4．（2分）如圖是用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根據(jù)作圖過程可得，兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，所以可得兩個三角形全等．【解答】解：由作圖過程可得：AE＝AF，DE＝DF，所以△ADF≌△ADE（SSS），所以∠CAD＝∠DAB，故選：D．【點評】本題考查了作角平分線，三角形全等判定定理：三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等（簡稱SSS或“邊邊邊”），掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2分）在下列各式中，應(yīng)填入“（﹣y）”的是（）A．﹣y3?______＝﹣y B．﹣2y3?______＝2y4 C．（﹣2y）3?______＝﹣8y4 D．（﹣y）12?______＝﹣3y13【分析】根據(jù)單項式乘單項式，冪的乘方與積的乘方運(yùn)算分別判斷即可．【解答】解：﹣y3?y﹣2＝﹣y，故A選項不符合題意；﹣2y3?（﹣y）＝2y5，故B符合題意；（﹣2y）3?y＝﹣5y4，故C不符合題意；（﹣y）12?（﹣3y）＝﹣7y13，故D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了單項式乘單項式，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖，OD平分∠AOB，DE⊥AO于點E，F(xiàn)是射線OB上的任一點，則DF的長度不可能是（）A．2.8 B．3 C．4.2 D．5【分析】過點D作DH⊥OB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明DE＝DH，再根據(jù)已知條件和垂線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖所示：過點D作DH⊥OB于H，因為OD平分∠AOB，DE⊥AO，所以DE＝DH＝3，因為F是射線OB上的任一點，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點到這條直線的垂線段最短，所以DF的長度不可能小于3，所以DF的長度不可能是2.8，故選：A．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)．7．（2分）下列計算正確的是（）A．2a3+2a＝2a4 B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2 C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5b D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3【分析】各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式不能合并；B、原式＝a2﹣4ab+3b2，不符合題意；C、原式＝﹣10a+5b；D、原式＝﹣5a6b3，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了完全平方公式，合并同類項，去括號與添括號，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，線段BC的延長線過點E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．28° B．36°C．38° D．42°【分析】由△ACB的內(nèi)角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．則結(jié)合已知條件易求∠EAB的度數(shù)；最后利用△AEB的內(nèi)角和是180度和圖形來求∠DEF的度數(shù)．【解答】解：因為∠ACB＝108°，∠B＝48°，所以∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．又因為△ABC≌△ADE，所以∠EAD＝∠CAB＝24°．又因為∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，所以∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，所以∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，所以∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．故選：B．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．9．（2分）下列不能用平方差公式運(yùn)算的是（）A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（1+x）【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x8﹣1，故此選項不符合題意；B、（﹣x+1）（﹣x﹣5）＝x2﹣1，故此選項不符合題意；C、（x+4）（﹣x+1）＝1﹣x7，故此選項不符合題意；D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式計算；故選：D．【點評】此題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．10．（2分）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線交于點O，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD．【解答】解：因為∠1、∠2、∠3的外角的角度和為215°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，所以∠5+∠2+∠3+∠2＝505°，因為五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，所以∠5+∠2+∠3+∠5+∠BOD＝540°，所以∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故選：B．二、填空題共6小題，每小題3分，共18分。11．（3分）若矩形ABCD的面積為4a2b3，一邊長為2ab3，則另一邊長為2a．【分析】根據(jù)題意得另一邊長為4a2b3÷2ab3，計算即可．【解答】解：4a2b6÷2ab3＝6a．即另一邊長為2a．故答案為：2a．【點評】本題考查了整式的除法，解題的關(guān)鍵是掌握整式除法的運(yùn)算法則．單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．12．（3分）如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點O，OB＝2米，A、B間的距離可能是11．（寫出一個即可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長一定大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和，求得相應(yīng)范圍，看哪個數(shù)值不在范圍即可．【解答】解：因為10﹣2＜AB＜10+2，所以4＜AB＜12，所以A、B間的距離可能是11米．故答案為：11（答案不唯一）．【點評】此題考查了三角形三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．13．（3分）＝﹣．【分析】利用積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：＝（﹣）2023×（）2023×＝（﹣×）2023×＝（﹣1）2023×＝﹣．故答案為：﹣．14．（3分）如圖，是一副三角板拼成的圖形，邊EF和BC在同一條直線上75°．【分析】由題意可得∠DFE，∠C，∠D的度數(shù)，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度數(shù)，繼而可得∠DMN的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解答】解：由題意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，因為∠DFE＝∠CMF+∠C，所以∠CMF＝15°，所以∠DMN＝15°，所以∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故答案為：75°．【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．15．（3分）如圖，某區(qū)有一塊長為（3a+4b）米，寬為（2a+3b），規(guī)劃部門計劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間的邊長為（a+b），b的式子表示綠化總面積為（5a2+15ab+11b2）m2．【分析】外面大長方形的面積減去中間小正方形的面積．【解答】解：根據(jù)題意：綠化總面積為：（3a+4b）×（7a+3b）﹣（a+b）2＝8a2+9ab+8ab+12b2﹣a2﹣5ab﹣b2＝（5a6+15ab+11b2）（m2）．【點評】本題考查長方形和正方形的面積公式以及整式的乘法計算，理解題意是關(guān)鍵．16．（3分）如圖，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）1或cm/s時，△ACP與△BPQ有可能全等．【分析】根據(jù)題意可得：AP＝tcm，則BP＝（5﹣t）cm，然后根據(jù)已知∠CAB＝∠DBA，分兩種情況：當(dāng)AC＝BP＝3cm，AP＝BQ＝tcm時；當(dāng)AC＝BQ＝3cm，AP＝BP時，分別進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：AP＝tcm，因為AB＝5cm，所以BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，因為∠CAB＝∠DBA，所以①當(dāng)AC＝BP＝7cm，AP＝BQ＝tcm時，所以5﹣t＝3，所以t＝8，所以AP＝BQ＝2cm，所以點Q的運(yùn)動速度＝＝1（cm/s）；②當(dāng)AC＝BQ＝3cm，AP＝BP時，所以t＝7﹣t，所以t＝2.5，所以點Q的運(yùn)動速度＝＝（cm/s）；綜上所述：當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為1或cm/s時，故答案為：1或．【點評】本題考查了全等三角形的判定，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題17、18、19、20、21、題各8分，22題10分、23題12分，共62分。17．（8分）因式分解：（1）3ax2﹣6ax+3a．（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：（1）3ax2﹣3ax+3a＝3a（x6﹣2x+1）＝3a（x﹣1）2．（2）（x4+y2）2﹣4x2y2＝（x8+y2）2﹣（2xy）2＝（x2+y8+2xy）（x2+y6﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）8．18．（8分）如圖，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于點N．求證：PM＝PN．【分析】根據(jù)SSS證明△ABD≌△CBD，得出∠ADB＝∠CDB，又因為點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，推出結(jié)論．【解答】證明：在△ABD和△CBD中，，所以△CBD≌△ABD（SSS），所以∠ADB＝∠CDB，因為PM⊥AD于點M，PN⊥CD于點N，所以PM＝PN．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．19．（8分）回答下列問題：（1）計算：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6．③（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6；④（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6．（2）總結(jié)公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab（3）已知a，b，m均為整數(shù)，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式的法則計算①②③④這四個式子即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果總結(jié)公式即可；（3）運(yùn)用（2）中的結(jié)論計算等式的左邊，然后根據(jù)左右兩邊相等得到a+b＝m，ab＝5，再根據(jù)a，b，m均為整數(shù)，得出a＝1，b＝5或a＝﹣1，b＝﹣5或a＝5，b＝1或a＝﹣5，b＝﹣1，最后計算即可得出m的所有可能值．【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）＝x5+3x+2x+5＝x2+5x+5；②（x+2）（x﹣3）＝x5﹣3x+2x﹣3＝x2﹣x﹣6；③（x﹣8）（x+3）＝x2+8x﹣2x﹣6＝x5+x﹣6；④（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣3x﹣7x+6＝x2﹣5x+6；故答案為：x2+6x+6；x2﹣x﹣3；x2+x﹣6；x6﹣5x+6；（2）（x+a）（x+b）＝x4+（a+b）x+ab，故答案為：（a+b）；（3）（x+a）（x+b）＝x2+mx+5，所以x7+（a+b）x+ab＝x2+mx+5，所以a+b＝m，ab＝6，因為a，b，m均為整數(shù)，所以a＝1，b＝5或a＝﹣8，b＝1或a＝﹣5，當(dāng)a＝7，b＝5時；當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣8時；當(dāng)a＝5，b＝1時；當(dāng)a＝﹣6，b＝﹣1時；綜上，mm的所有可能值為6或﹣3．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，注意不要漏項，漏字母，有同類項的要合并同類項．20．（8分）如圖①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）求證：∠BAC＝∠B+2∠E；（2）如圖②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．（2）由CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，得出∠ACB＝60°和∠B＝36°，再由外角的性質(zhì)求出∠AFC＝∠B+∠BAF，繼而可得答案．【解答】（1）證明：因為CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE，因為∠DCE＝∠B+∠E，所以∠ACE＝∠B+∠E，因為∠BAC＝∠ACE+∠E，所以∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．（2）解：因為CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，所以∠ACD＝2∠ECD＝4×60°＝120°，所以∠ACB＝60°，因為∠ECD＝60°，∠E＝24°，∠B＝60°﹣24°＝36°，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝84°，因為AF平分∠BAC，所以∠BAF＝＝42°，所以∠AFC＝∠B+∠BAF＝36°+42°＝78°．【點評】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于中考常考題型．21．（8分）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；【分析】（1）將a3﹣3a2﹣4a+12變?yōu)閍2（a﹣3）﹣4（a﹣3）即可；（2）m2﹣n2+2m﹣2n變?yōu)椋╩+n）（m﹣n）+2（m﹣n）即可．【解答】解：（1）a3﹣3a8﹣4a+12＝a2（a﹣8）﹣4（a﹣3）＝（a﹣5）（a2﹣4）＝（a﹣4）（a﹣2）（a+2）；（2）m6﹣n2+2m﹣3n＝（m+n）（m﹣n+2）＝（m﹣n）（m+n+2）將m+n＝2，m﹣n＝1，原式＝（m﹣n）（m+n+2）＝7×（5+2）＝7．22．（10分）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處），艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)1.5小時后，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF），試求此時兩艦艇之間的距離．【分析】【初步探索】延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到結(jié)論；【探索延伸】延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則結(jié)論可求；【結(jié)論運(yùn)用】連接EF，延長AE、BF交于點C，利用已知條件得到：四邊形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具備的條件，則EF＝AE+BF．【解答】【初步探索】解：延長FD到G，使DG＝BE，如圖，在Rt△ABE和Rt△ADG中，所以△ABE≌△ADG（SAS），所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，因為∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，所以∠BAD＝∠EAG．因為∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝EAG，所以∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，所以△AEF≌△AGF（SAS），所以EF＝FG，因為GF＝GD+DF＝DF+BE，所以EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+FD；【探索延伸】結(jié)論仍然成立：EF＝BE+DF．證明：延長FD到G，使DG＝BE，如圖，因為∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，所以∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，所以△ABE≌△ADG（SAS），所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，因為∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，所以∠BAD＝∠EAG．因為∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝EAG，所以∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，所