第五章 三角函數(shù)（壓軸題專練）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第五章三角函數(shù)（壓軸題專練）題型一：三角函數(shù)中與有關(guān)的問題1．（2024·福建龍巖·三模）已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，且在上有且僅有1個零點(diǎn)，則的最大值為（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】B【分析】根據(jù)對稱性可得，即可分別取和，代入求解，進(jìn)而整體法驗證是否符合一個零點(diǎn)求解.【詳解】為的零點(diǎn),為圖象的對稱軸，

又當(dāng)時，,，當(dāng)時，，故有2個零點(diǎn)，不符合，舍去.當(dāng)時，,當(dāng)時，，此時有且僅有1個零點(diǎn)，符合故選：B.2．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】確定，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求出的范圍可得答案.【詳解】當(dāng)時，不具備單調(diào)性，當(dāng)時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因為在上是單調(diào)遞增的，所以在上不可能單調(diào)遞減，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因為，所以時，，綜上所述，.故答案為：.3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定區(qū)間，求出相位所在區(qū)間，再借助單調(diào)性列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，而當(dāng)時，，因此，而，解得，所以的取值范圍是．故答案為：4．（23-24高一下·山東臨沂·期中）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則.【答案】3【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合單調(diào)性列不等式即可求解.【詳解】由題意知的圖象關(guān)于軸對稱，因此，解出，因為在上單調(diào)遞減，，所以，解得.又，所以，即.故答案為：35．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及零點(diǎn)個數(shù)求出周期的范圍，即可解得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)函數(shù)的周期為，因為在區(qū)間上單調(diào)，可得，解得；又，可得且，解得；又在區(qū)間上恰有5個零點(diǎn)，所以，解得綜上可得，所以，解得，即的取值范圍為.故答案為：6．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)的對稱性的單調(diào)性的性質(zhì)求出的取值范圍，進(jìn)行求解即可.【詳解】因為函數(shù)關(guān)于對稱，所以，解得：，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得：，綜上，當(dāng)時，，故答案為：題型二：三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題1．（多選）（2024·山東淄博·二模）已知函數(shù)，滿足：，成立，且在上有且僅有個零點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的一個對稱中心為D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】BCD【分析】依題意可得為最大值，則得，再由在上有且僅有個零點(diǎn)，可得，再結(jié)合的范圍可出的值，從而可求出的解析式，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因為，恒成立，所以的最大值為，所以，即，當(dāng)時，，又，因為在上有且僅有個零點(diǎn)，所以，所以，即，得，所以，因為，所以，所以；對于A：函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；對于C：因為，所以函數(shù)的一個對稱中心為，故C正確；對于D：因為，為奇函數(shù)，故D正確.故選：BCD2．（多選）（23-24高一下·山東臨沂·期中）已知，則（

）A．是奇函數(shù)B．的最小正周期是C．圖象的一個對稱中心是D．上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】由三角恒等變換化簡解析式，由定義判斷A；由周期公式判斷B；由性質(zhì)判斷CD.【詳解】，對于A：，即是奇函數(shù)，故A正確；對于B：的最小正周期是，故B錯誤；對于C：令，當(dāng)時，圖象的對稱中心是，故C正確；對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：AC3．（多選）（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，其中的圖象與軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）

A．的最小正周期為π B．，C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】由函數(shù)圖像可確定函數(shù)最小正周期和值，判斷AB；代入驗證即可判斷選項C；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對AB，由圖，知，∴，∴，因為，，則，∴，∵，∴，故AB正確；對C，因為，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C錯誤，對D，當(dāng)時，，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD.4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)對任意，都有fx+2+fx=0成立，且函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，B．函數(shù)的最小正周期為2C．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)（）中心對稱D．函數(shù)在（）上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】由賦值運(yùn)算求出的周期為4，可得出，再結(jié)合圖象求解．【詳解】因為函數(shù)對任意x∈R都有fx+2+fx=0即，所以，所以，即恒成立，所以的周期為4.函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，.故時，.任取，則，因為函數(shù)對任意x∈R都有fx+2+f即，所以.所以，作出y=fx

對于A.由前面的推導(dǎo)可得：當(dāng)時，.故A正確；對于B.函數(shù)的圖象可以看成y=fx的圖象軸上方的圖象保留，把軸上方的圖象軸下方的圖象翻折到軸上方，所以函數(shù)的最小正周期為2，故B正確；

對于C.由圖象可知：函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)（）中心對稱，故C錯誤；對于D.作出的圖像如圖所示，在上函數(shù)單調(diào)遞增.故D錯誤.

故選：AB.5．（多選）（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（

）A．圖像對稱中心為B．的最小正周期為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，則【答案】BD【分析】由正切型函數(shù)的對稱中心、周期、單調(diào)性判斷ABC三個選項，解正切函數(shù)不等式得到D選項.【詳解】對于A，令，則，A錯誤；對于B，的最小正周期為，B正確；對于C，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，只有遞增區(qū)間，則只有遞減區(qū)間，C錯誤；對于D，由題意可知，所以解得，所以，D正確.故選：BD.題型三：五點(diǎn)法作一個周期圖象1．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫在一個周期上的簡圖時，列表如下：00100（1）因不慎將墨汁潑在表格陰影部分，請你將缺失數(shù)據(jù)補(bǔ)在答題卡上表格的相應(yīng)位置，并在坐標(biāo)系中畫出在上的簡圖；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）答案見解析；（2），.【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)得到周期，根據(jù)周期公式可得答案；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）因為為一個周期的區(qū)間，所以，所以，解得，所以，簡圖如下0010-10（2）因為，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的周期、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.2．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：（1）求函數(shù)的解析式，并補(bǔ)全表中其它的數(shù)據(jù)；（2）在給定的坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；（3）寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】(1)見解析；(2)圖象見解析；（3）單調(diào)減區(qū)間，.【分析】（1）根據(jù)最大值求得，利用已知條件列方程組，求得的值.由此求得的表達(dá)式，并將表格補(bǔ)全.（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的圖像.（3）根據(jù)圖像可知，函數(shù)的一個減區(qū)間是，加上函數(shù)的周期即得到函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】（1）因為當(dāng)時，，所以.由表中數(shù)據(jù)有：解得所以.表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全得表:（2）函數(shù)圖象見圖：（3）因為函數(shù)在一個周期內(nèi)的減區(qū)間為，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知三角函數(shù)圖像，求三角函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像的五點(diǎn)作圖法，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.題型四：五點(diǎn)法作指定周期圖象1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的值域；（2）用五點(diǎn)法在圖中作出在閉區(qū)間上的簡圖；（3）說明的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到？【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.【詳解】分析:(1)先利用三角恒等變換的知識化簡,再利用三角函數(shù)的圖像性質(zhì)求當(dāng)時求的值域.(2)利用五點(diǎn)法作出在閉區(qū)間上的簡圖.(3)利用圖像變換的知識寫出的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到.詳解：（1）∵∴∴（2）列表：作圖：（3）把的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象；再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可得函?shù)的圖象；再把所得圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，可得函圖象．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查三角恒等變換，考查五點(diǎn)法作三角函數(shù)的圖像，考查三角函數(shù)圖像變換，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)對于復(fù)合函數(shù)的問題自然是利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)解答，求復(fù)合函數(shù)的最值，一般從復(fù)合函數(shù)的定義域入手，結(jié)合三角函數(shù)的圖像一步一步地推出函數(shù)的最值.2．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函數(shù)，．(1)用“五點(diǎn)法”在所給的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象；(2)求函數(shù)的最小正周期；(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)圖象詳見解析(2)(3)【分析】（1）利用五點(diǎn)作圖法畫出圖象.（2）由求得的最小正周期.（3）利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），列表如下：描點(diǎn)畫圖如下：（2）函數(shù)的最小正周期.（3）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.題型五：三角函數(shù)中零點(diǎn)個數(shù)問題1．（24-25高一·上?！るS堂練習(xí)）試對實數(shù)a的不同取值，討論方程在上的解的個數(shù)．【答案】當(dāng)或時，原方程無解；當(dāng)或時，原方程有兩個解；當(dāng)或時，原方程有唯一解．【分析】利用輔助角公式化簡方程，做函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求.【詳解】化簡得，，

，方程在的解的個數(shù)與函數(shù)，的圖像和函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的個數(shù)相同，作函數(shù)，的圖象，結(jié)合圖像可得，或，原方程無解；或時，原方程有兩個解；或，原方程有唯一解．故：當(dāng)或時，原方程無解；當(dāng)或時，原方程有兩個解；當(dāng)或時，原方程有唯一解．2．（23-24高一上·江西上饒·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作.(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最小值；(3)若函數(shù)在內(nèi)恰有6個零點(diǎn)，求的值.【答案】(1)，；；(2)(3)或.【分析】（1）根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，再列出關(guān)于x的不等式即可得解；（2）由（1）結(jié)合給定圖象變換求出的解析式，再求出并作變形即可得解；（3）求出并令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解.【詳解】（1）觀察圖象得，最小正周期為T，，則，而，則，，又，于是得，所以，由，，得，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由題意得，，當(dāng)，即時，取最小值，所以的最小值為；（3）依題意，，令，可得，令，得，由于，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，，且，，由知、異號，不妨設(shè)，，①若，則，，無解，而在內(nèi)有四個零點(diǎn)，不符題意；②若，則，在內(nèi)有2個零點(diǎn)，而在內(nèi)有4個零點(diǎn)，即在內(nèi)有6個零點(diǎn)，符合題意，此時，得；③若，，在有4個零點(diǎn)，則在內(nèi)應(yīng)恰有2個零點(diǎn)，必有，此時，，解得，綜上所述有或．題型六：三角函數(shù)中零點(diǎn)代數(shù)和問題1．（23-24高一下·河北張家口·期末）如圖是函數(shù)圖象的一部分．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，(3)，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得，由周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意可得，由的取值范圍求出的取值范圍，令，，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及對稱性計算可得.【詳解】（1）由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，又，則，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，則，則，解得，因為，所以，所以．（2）令，，解得，，令，，解得，．因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（3）方程，即，即，因為，所以，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有個解，即，又的對稱軸為，不妨設(shè)個解從小到大依次為，則關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，，，即，，，解得，，．所以，所以，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的解的個數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及對稱性計算得解.2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(3)對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，分別求出和，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得解；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得解；（3）由（2）得的解析式，從而得到解的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解根的對稱關(guān)系，可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，因為，所以，所以函數(shù)，令，解得，可得函數(shù)的遞減區(qū)間為，再結(jié)合，可得函數(shù)的減區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域；（3）由（2）得函數(shù)的圖象，由方程，即，即，因為，可得，設(shè)，其中，即，而，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，

可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為，且在時取得最大值2．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，若方程恰有三個根，分別記為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)條件分別求出，即得的解析式；（2）通過換元，將問題轉(zhuǎn)化成方程在恰有三個根，結(jié)合函數(shù)的圖象，利用其對稱特征可得的范圍，再轉(zhuǎn)化成的范圍即得.【詳解】（1）由題意得，，則，由，函數(shù)在處取最大值，，又，．（2）令，由可得：，依題可知方程在恰有三個根，記為，則，畫出與在上的圖象.

由圖象易知關(guān)于直線對稱，則又由圖知，則.又則得：，解得.故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題的思路即是先將三角函數(shù)中的看成整體，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與直線在上的交點(diǎn)問題，利用圖象對稱性先求出的范圍，再轉(zhuǎn)化成求的范圍.題型七：三角函數(shù)中恒成立問題1．（23-24高一下·山東日照·期中）將函數(shù)（其中）的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式和對稱中心；(2)若對，當(dāng)時，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，對稱中心為(2)【分析】（1）借助函數(shù)平移與偶函數(shù)的性質(zhì)計算即可得，即可得的解析式，結(jié)合余弦型函數(shù)的對稱性即可得解；（2）由題意可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的單調(diào)性計算即可得解.【詳解】（1）將向左平移后得，由為偶函數(shù)，故，又，故，即，，令，解得，即的對稱中心為；（2）由，故，即，即，令，由題意可知在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，則有，解得.2．（23-24高一下·湖北·期中）已知函數(shù).(1)求的對稱中心；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向下平行移動個單位長度，然后保持各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象.（i）求的值域；（ii）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）將化為，則由余弦函數(shù)的對稱中心，可得的對稱中心；（2）（i）由（1）和已知得，則，利用換元法，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的值域；（ii）原不等式等價于，可化為恒成立，利用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，分時，時，時，三種情況討論不等式恒成立的條件，即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），

令，得，所以的對稱中心為.（2）由，將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向下平行移動個單位長度，然后保持各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得，

（i），令，，則，其對稱軸為，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為.

（ii）原不等式等價于，也即，即恒成立，①當(dāng)時，恒成立，顯然成立，故符合題意，

②當(dāng)時，令，由可得，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且即時等號成立，

所以的最小值為，若要滿足不等式恒成立則，得，則，

③當(dāng)時，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)且即時等號成立，所以的最小值為，若要滿足不等式恒成立則，得，則，

綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，，利用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，討論時，時，時，三種情況不等式恒成立的條件.3．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的周期及對稱中心；(2)若，且，求的值；(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，最后使圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，對稱中心為；(2)；(3)．【分析】（1）先倍角公式和輔助角公式化簡，再根據(jù)周期的計算公式以及對稱中心的求法即可求解；（2）先求得、，再將所求轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合正弦兩角差公式即可求解；（3）先求解析式，然后將恒成立問題，參變量分離后，轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】（1）．，令．對稱中心為；（2）由（1）知，，，又，，．（3）由（1）知，，由題意，，當(dāng)時，，恒成立恒成立．．題型八：三角函數(shù)中問題1．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，直接寫出的單調(diào)區(qū)間（不要求證明），并求出的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，總有，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和；值域是(2)【分析】（1）利用對勾函數(shù)性質(zhì)結(jié)合奇偶性判斷單調(diào)區(qū)間，利用基本不等式求值域；（2）求出的值域并將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是的值域的子集，分情況討論t的范圍，求的最值列不等式求解.【詳解】（1）當(dāng)時，,易知，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為奇函數(shù)；結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：的單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以的值域是；（2），因為，所以，所以，，所以，那么的值域為．當(dāng)時，總有，使得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是的值域的子集，即當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，可得，，所以；當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，對任意的，，顯然，所以，對任意的恒成立，可得．當(dāng)時，，，此時．綜上可得，實數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，則的值域是值域的子集．2．（23-24高一上·河南許昌·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可；（2）分離參數(shù)得在上恒成立，令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解最值即可；（3）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域為函數(shù)值域的子集，利用函數(shù)單調(diào)性求解其值域，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，分類討論求解函數(shù)的值域，列不等式組求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，則，所以，故在上恒成立，令，則，且，所以，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.（3）若，使得成立，則函數(shù)的值域為函數(shù)值域的子集，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以.因為，所以，所以，當(dāng)時，，則，所以，所以；當(dāng)時，，則，所以，所以；當(dāng)時，，顯然成立.綜上可知.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.3．（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).且當(dāng)時，的最大值為.(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得.求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2)【分析】（1）整理可得，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）先求值域，根據(jù)題意可得值域是值域的子集，分類討論運(yùn)算求解.【詳解】（1）因為因為，令，所以，當(dāng)時，此時當(dāng)時，與題意不符；當(dāng)時，若時，即，此時當(dāng)時，，解得或（舍去）若時，即，此時當(dāng)時，，解得，不合題意；當(dāng)時，此時當(dāng)時，，解得，不合題意；綜上，實數(shù)的值為2.（2）由（1）可知，因為，令，所以，對稱軸，當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上的值域為，當(dāng)時，，所以，設(shè)在上的值域為B，若對任意的，總存在，使得，則,當(dāng)時,顯然不合題意；當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，則，解得，綜上：實數(shù)b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)值域(最值)的三種求法：（1）直接法：利用的有界性直接求．（2）單調(diào)性法：化為的形式，采用整體思想，求出的范圍，根據(jù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域(最值)．（3）換元法：對于和型常用到換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)的最值問題．題型九：三角函數(shù)中新定義題1．（23-24高一下·山東青島·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”(1)判斷，是否為，的“4重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；(2)若，是，的“3重覆蓋函數(shù)”，求的范圍；(3)若，，是，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析(2)(3)【分析】（1）利用給定定義判斷即可.（2）利用給定定義建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.（3）利用給定定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可.【詳解】（1），，，，故的值域為，當(dāng)時，，此時，不是的“4