2023-2024學(xué)年廣東省深圳市名校聯(lián)考高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第二章2.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.已知向量，則（）A. B. C. D.3.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.4.在長方體中，（）A. B. C. D.5.若直線斜率大于1，則的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.6.在直三棱柱中，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.7.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.8.在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，為上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的重心，則到直線的距離為（）A.2 B.1 C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線的傾斜角為，則的方向向量可能為（）A. B.C. D.10.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B.C D.11.如圖，在圓臺中，分別為圓的直徑，，圓臺的體積為為內(nèi)側(cè)上更靠近的三等分點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，下底面垂直于的直線為軸，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A.的坐標(biāo)為B.C.平面一個(gè)法向量為D.到平面的距離為12.在正四面體中，分別是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.異面直線與所成的角為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知分別是平面的法向量，且，則__________.14.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為直角三角形，請寫出的一個(gè)坐標(biāo)：________．15.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，則的最大值為________．16.在三棱錐中，底面為正三角形，平面，，G為的外心，D為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若的傾斜角互余，求的值．18.在空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為．（1）求的坐標(biāo)；（2）求四邊形的面積．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，且．（1）證明：．（2）若，求二面角的余弦值．20.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點(diǎn)，．（1）設(shè)，，，用，，表示；（2）若求．21.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)（1）證明：平面.（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請指出的位置；若不存在.請說明理由.22.如圖，為圓柱底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn)，分別為半圓柱的三條母線，且是的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若是上動(dòng)點(diǎn)（含弧的端點(diǎn)），求與平面所成角的正弦值的最大值.高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第二章2.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，即可求出B的坐標(biāo).【詳解】由題意在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則B的坐標(biāo)為，故選：C2.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)線性運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】.故選：D3.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線上任意兩點(diǎn)可求出斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A4.在長方體中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法法則計(jì)算出答案.【詳解】.故選：A5.若直線的斜率大于1，則的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)傾斜角為，易得，由，且得．故選：B6.在直三棱柱中，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何關(guān)系作出向量在向量上的投影即可.【詳解】如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，連接．因?yàn)樵谥比庵?，，平面，所以平面，且平面，所以．又平面，，所以平面，又平面，則．所以向量在向量上的投影向量為，由，，得，，所以則，即，即向量在向量上的投影向量為.故選：D7.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)的傾斜角為，由，即，解得或，因?yàn)?，所以，所以，易得的傾斜角為銳角，所以的斜率為3．故選:B.8.在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，為上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的重心，則到直線的距離為（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的方法求距離即可.【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，得，，取，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線的傾斜角為，則的方向向量可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】由題意得的斜率為，對A，對應(yīng)的斜率為，A正確；對B，對應(yīng)的斜率為，B錯(cuò)誤；對C，對應(yīng)的斜率為，C正確；對D，對應(yīng)的斜率為，D錯(cuò)誤；故選:AC.10.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理知基底需不共面，從而進(jìn)行求解.【詳解】對于A：因?yàn)?，所以共面，故不符題意；對于B：假設(shè)存在，使得，即，此方程組無解，即不存在，所以假設(shè)不成立，所以不共面，故符合題意；對于C：假設(shè)存在，使得，即，此方程組無解，即不存在所以假設(shè)不成立，所以不共面，故符合題意；對于D：因?yàn)?，所以共面，故不符合題意；故選：BC.11.如圖，在圓臺中，分別為圓的直徑，，圓臺的體積為為內(nèi)側(cè)上更靠近的三等分點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，下底面垂直于的直線為軸，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A.的坐標(biāo)為B.C.平面的一個(gè)法向量為D.到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓臺的體積為可求得，可知A正確；由點(diǎn)位置可求得，即可知B正確；利用法向量的定義可知平面的一個(gè)法向量為，即C錯(cuò)誤；由點(diǎn)到平面距離的向量公式可得到平面的距離為，可知D正確.【詳解】由圓臺的體積為，可得，解得，則，即A正確．連接，設(shè)在下底面的射影為點(diǎn)，連接，如下圖所示：易得，則，因?yàn)椋?，即B正確．設(shè)平面的法向量為，由可知，則，解得，令，可得，所以，可知C錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以到平面的距離為，D正確．故選：ABD12.在正四面體中，分別是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.異面直線與所成的角為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，判斷A，B；根據(jù)向量的夾角公式可求的值，判斷范圍，可判斷C；根據(jù)平移法作出異面直線與所成的角，解三角形求得該角大小，判斷D.【詳解】由題意，如圖正四面體，，A錯(cuò)誤，B正確.在正四面體中，設(shè)的中點(diǎn)為F，連接，則，而平面，故平面，平面，故，故，又為正三角形，M為AD的中點(diǎn)，故,則，則，且,所以，C正確.取的中點(diǎn)為，連接，則，且，則即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，由證明方法同理可證，所以，所以是以為直角的等腰直角三角形，所以，D錯(cuò)誤.，故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知分別是平面的法向量，且，則__________.【答案】【解析】【分析】利用平面法向量的定義以及面面平行的性質(zhì)可知，再由向量平行的坐標(biāo)表示即可得.【詳解】根據(jù)題意可知，若則可知，又可得，即可得.故答案為：14.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為直角三角形，請寫出的一個(gè)坐標(biāo)：________．【答案】（答案不唯一，任意一個(gè)都可以）【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，再對直角進(jìn)行分類討論并利用直線垂直的斜率關(guān)系可求得的一個(gè)坐標(biāo)為.【詳解】設(shè)，易知當(dāng)或時(shí)，不合題意，因此當(dāng)且時(shí)，可得，，當(dāng)為直角時(shí)，，得的坐標(biāo)為．當(dāng)為直角時(shí)，，得的坐標(biāo)為．當(dāng)為直角時(shí)，，化簡得，該方程無解．故答案為：（答案不唯一，任意一個(gè)都可以）.15.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算求得正確答案.【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，，，要使同向，可取，，即，.所以的最大值為．故答案為：16.在三棱錐中，底面為正三角形，平面，，G為的外心，D為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求出的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由題意得G為的中點(diǎn)，所以．設(shè)，，得，則，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，得．綜上，，由得．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若的傾斜角互余，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，再結(jié)合斜率公式即可得解；（2）設(shè)的傾斜角為，則直線的傾斜角為，再結(jié)合斜率公式即可得解.【小問1詳解】，因?yàn)椋?，得，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；【小問2詳解】因?yàn)榈膬A斜角互余，設(shè)的傾斜角為，則直線的傾斜角為，所以，得．18.在空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為．（1）求的坐標(biāo)；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，利用向量的夾角公式，求得，得到，結(jié)合面積公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，可得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，可得，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解：由題意得，則，所以，可得，故四邊形的面積為．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，且．（1）證明：．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值．【小問1詳解】四邊形為正方形，．底面平面．又平面平面．平面．【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由（1）知平面，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，由圖可知二面角是銳角，故二面角的余弦值為．20.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點(diǎn)，．（1）設(shè)，，，用，，表示；（2）若求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，，由向量的運(yùn)算表示；（2）用表示，再由數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問1詳解】解：連接，．．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，，．又，所以，即?1.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請指出的位置；若不存在.請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在，滿足，理由見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系出，利用向量垂直的坐標(biāo)表示及線面垂直判定定理求證；（2）根據(jù)向量法判斷線面是否平行即可.【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，則，，，，，，，即，，又，平面，平面.【小問2詳解】假設(shè)存在，使平面，設(shè)，則，由（1）知，是平面的一個(gè)法向量，則，解得，故存在，滿足，使平面.22.如圖，為圓柱底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn)，分別為半圓柱的三條母線，且是的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若