廣東省深圳市羅湖區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

廣東省深圳市羅湖區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．已知集合A={(x，y)|x?y=0}，B={(x，A．0 B．1 C．2 D．無(wú)窮多個(gè)2．已知復(fù)數(shù)ω=?12+A．ω B．?ω C．ω?1 D．ω+13．已知向量a=(2，k)，b=(2，A．6 B．5 C．4 D．34．某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本ω(x)萬(wàn)元.其中ω(x)=xA．720萬(wàn)元 B．800萬(wàn)元 C．875萬(wàn)元 D．900萬(wàn)元5．圓O1：xA．5 B．10 C．25 D．6．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x3?x，則曲線(xiàn)y=f(x)A．2x?y?2=0 B．4x?y?4=0 C．2x+y?2=0 D．4x+y?4=07．某批產(chǎn)品來(lái)自A，B兩條生產(chǎn)線(xiàn)，A生產(chǎn)線(xiàn)占60%，次品率為4%；B生產(chǎn)線(xiàn)占40%，次品率為5%，現(xiàn)隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，若抽到的是次品，則它來(lái)自A生產(chǎn)線(xiàn)的概率是（）A．12 B．611 C．358．正四面體S?ABC中，M是側(cè)棱SA上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線(xiàn)MB與直線(xiàn)AC所成的角為α，直線(xiàn)MB與平面ABC所成的角為β，二面角M?BC?A的平面角為γ，則（）A．α<β<γ B．β<α<γ C．β<γ<α D．γ<α<β二、多選題9．等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為SA．{aB．?dāng)?shù)列a11+a12，C．若q>1，則{aD．若q>0，則{S10．已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2A．當(dāng)x=μ時(shí)，f(x)取得最大值1B．曲線(xiàn)y=f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng)C．x軸是曲線(xiàn)y=f(x)的漸近線(xiàn)D．曲線(xiàn)y=f(x)與x軸之間的面積小于111．已知A，B為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)(c，0)為C的右焦點(diǎn)，M是C的上頂點(diǎn)，N(a2A．|FN|=a B．C的離心率為5C．點(diǎn)N到直線(xiàn)MF的距離為b2c D．直線(xiàn)DA，DB12．已知x∈[?π，π]，函數(shù)A．f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．f(x)有四個(gè)極值點(diǎn)C．f(x)在[?π4，π4]三、填空題13．若α是第三象限角，且tanα=3，則sinα?cosα=.14．已知0＜x＜1，則函數(shù)y=4x+11?x的最小值為15．若正方形ABCD的頂點(diǎn)均在半徑為1的球O上，則四棱錐O?ABCD體積的最大值為.16．已知△ABC的頂點(diǎn)A(?2，1)，點(diǎn)B，C均在拋物線(xiàn)H：y2=4x上.若AB，AC的中點(diǎn)也在H上，BC的中點(diǎn)為D，則AD=四、解答題17．已知數(shù)列{an}中，a（1）求數(shù)列{a（2）設(shè)bn=a18．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且asinBcos（1）求cosB；（2）若c=3，AC邊上中線(xiàn)BD=3，求△ABC19．快到采摘季節(jié)了，某農(nóng)民發(fā)現(xiàn)自家果園里的某種果實(shí)每顆的重量有一定的差別，故隨機(jī)采摘了100顆，分別稱(chēng)出它們的重量（單位：克），并以每10克為一組進(jìn)行分組，發(fā)現(xiàn)它們分布在區(qū)間[5，15]，(15，25]，注意：把頻率分布直方圖中的頻率視為概率.（1）求a的值，并據(jù)此估計(jì)這批果實(shí)的第70百分位數(shù)；（2）若重量在[5，15]（單位：克）的果實(shí)不為此次采摘對(duì)象，則從果園里隨機(jī)選擇3顆果實(shí)，其中不是此次采摘對(duì)象的顆數(shù)為X，求20．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的正方形，（1）證明：MN∥平面ACC（2）若∠ABC=90°，再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為條件，求直線(xiàn)AC與平面AMN所成角條件①：異面直線(xiàn)AC與MN所成的角為45°；條件②：△AMN是等腰三角形.21．點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系xOy上一動(dòng)點(diǎn)，兩直線(xiàn)l1：y=x，l2：y=?x，已知MA⊥l1于點(diǎn)A，A位于第一象限；（1）若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，求C的方程.（2）設(shè)M(s，t)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線(xiàn)MP，MQ交C于點(diǎn)P，Q.若MP與MQ的傾斜角互補(bǔ)，證明直線(xiàn)22．已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+ax，其中a是非零實(shí)數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≤xex?a恒成立，求

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)榧螦={(x，y)|x?y=0}，由x?y=0x+y+1=0可得x=?所以A∩B={(?1所以，A∩B的子集個(gè)數(shù)為2.故答案為：C

【分析】求出A∩B，根據(jù)A∩B元素個(gè)數(shù)，即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)棣??12+故答案為：A

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)ω23．【答案】B【解析】【解答】∵a⊥b故答案為：B.

【分析】利用向量垂直的性質(zhì)求出k，進(jìn)而得到a→4．【答案】C【解析】【解答】該企業(yè)每年利潤(rùn)為f(x)=當(dāng)0<x≤40時(shí)，f(x)=?在x=30時(shí)，f(x)取得最大值875；當(dāng)x>40時(shí)，f(x)=920?(x+（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號(hào)成立），即在x=100時(shí)，f(x)取得最大值720；由875>720，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為875.故答案為：C

【分析】該企業(yè)每年利潤(rùn)為f(x)=70x?(5．【答案】C【解析】【解答】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程x2兩式相減可得公共弦方程x?2y?1=0，圓O1：x2+圓心O1(0，公共弦長(zhǎng)為d=2r故答案為：C.

【分析】?jī)蓤A作差，得到公共弦方程，化簡(jiǎn)圓O1，求出圓心和半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】設(shè)x>0，則?x<0，由f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x可得f(x)=f(?x)=(?x)則f'則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，0)處的切線(xiàn)方程是y=?2故答案為：C

【分析】由已知函數(shù)的奇偶性求出x>0時(shí)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f'7．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)槌榈降拇纹房赡軄?lái)自于A(yíng)，B兩條生產(chǎn)線(xiàn)，設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自A生產(chǎn)線(xiàn)”，B=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自B生產(chǎn)線(xiàn)”，C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，則P(由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.所以它來(lái)自A生產(chǎn)線(xiàn)的概率是P(A|C)=P(AC)故答案為：B

【分析】設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自A生產(chǎn)線(xiàn)”，B=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自B生產(chǎn)線(xiàn)”，C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式求得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)，再根據(jù)據(jù)條件概率公式可求得答案.8．【答案】C【解析】【解答】正四面體S?ABC中，取BC中點(diǎn)D，連接AD，MD，SD過(guò)M作MH⊥AD于H，連接HB，MB，過(guò)M作AC的平行線(xiàn)交SC于N，則∠BMN=α，由SD⊥BC，AD⊥BC，SD∩AD=D，SD?平面SAD，AD?平面SAD可得BC⊥平面SAD，則MD⊥BC，則∠MDH=γ由BC⊥平面SAD，可得平面ABC⊥平面SAD，又平面ABC∩平面SAD=AD，MH?平面SAD，MH⊥AD，則MH⊥平面ABC，則∠MBH=β，因?yàn)閟inβ=MHMB<MHMD設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為1，AM=λ(0<λ<1)，有SM=MN=1?λ.cosα=MN2因?yàn)镠D=所以cosγ>cosα，又α，γ∈(0，π綜上：β<γ<α故答案為：C

【分析】分別根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義，線(xiàn)面角的定義，以及二面角的定義確定a，β，γ的大小即可得答案.9．【答案】A,B【解析】【解答】由題意，an=a對(duì)于A(yíng)，an2=a12(對(duì)于B，因?yàn)閝≠?1，a11(a∴(a12對(duì)于C，若a1<0，q＞1，則an+1對(duì)于D，Sn+1?Sn=a11?q(1?qn+1故答案為：AB.

【分析】由{an}的通項(xiàng)公式可以得到an2=a12(q2)n?1，再根據(jù)等比數(shù)列的定義得10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(μ，σ2所以f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=μ，且當(dāng)x=μ時(shí)，f(x)取最大值為1σA，B符合題意；根據(jù)正態(tài)分布的曲線(xiàn)可得，x軸是漸近線(xiàn)，且曲線(xiàn)y=f(x)與x軸之間的面積等于1，C符合題意，D不符合題意.故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的曲線(xiàn)的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由題知A(?a，0)，B(a，0)，所以，kMN=b?a所以，MN的垂直平分線(xiàn)DE的方程為y?b因?yàn)镈，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，所以?b2=所以(a2所以，|FN|=|a所以c2?ac?a2=0，即e所以，橢圓的離心率為e=5因?yàn)橹本€(xiàn)MF的方程為y=?bcx+b所以，點(diǎn)N(a2c，0)設(shè)D(x0，y0由于A(yíng)(?a，所以kAD故答案為：ABD

【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合橢圓的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.12．【答案】A,C【解析】【解答】對(duì)于A(yíng)，f(?x)=sin對(duì)于B，f'(x)=(則g'當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，g'(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)最多只有2個(gè)零點(diǎn)，即f'對(duì)于C，g(?π4)=(g(π4)=232(π?4)2f(x)是單調(diào)遞增的，正確；對(duì)于D，f(π故答案為：AC.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷A；令g(x)=(x2+1)cosx?2xsinx，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷B；由B的分析知：x∈[?π413．【答案】?【解析】【解答】解：因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，且tanα=3，所以sinα=3因?yàn)閟i所以sinα=?所以sinα?cosα=?故答案為：?

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinα14．【答案】9【解析】【解答】解：∵0＜x＜1，則函數(shù)f′（x）=﹣4x2+1(1?x)當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得23＜x＜1；當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得又f'∴當(dāng)且僅當(dāng)x=23f(23)=4故答案為：9．【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．15．【答案】4【解析】【解答】設(shè)正方形ABCD的中心為E，連接OE，由球的性質(zhì)可知OE⊥平面ABCD，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，因?yàn)檎叫蜛BCD的頂點(diǎn)均在半徑為1的球O上，且不在大圓上，所以x∈(0，所以，OE=O所以，四棱錐O?ABCD體積為V=令x2=t∈(0，令y=t2?12t3，則所以，當(dāng)t∈(0，43)時(shí)，當(dāng)t∈(43，2)時(shí)，所以，當(dāng)t=43時(shí)y=t所以，V=13t2?故答案為：4【分析】由正方形ABCD的頂點(diǎn)均在半徑為1的球O上，且不在大圓上，根據(jù)勾股定理求出OE，再根據(jù)棱錐的體積公式求出四棱錐O?ABCD體積，令x2=t∈(0，2)，則V=116．【答案】274；【解析】【解答】不妨設(shè)B(y12則AB的中點(diǎn)(?1+y12所以(y1+1又AC的中點(diǎn)(?1+y22所以(y2+1所以y1，y2是方程y2?2y?17=0所以xD=y則|AD|=(△ABC的面積S=故答案為：274；

【分析】由題意可得AB的中點(diǎn)在H：y2=4x上，AC的中點(diǎn)在17．【答案】（1）解：∵na所以{an+1（2）解：由（1）知，{a由題意得b2n?1=a設(shè)數(shù)列{b2n?1}，{b2n所以T1=50(所以{bn}綜上，an=3n?1，{b【解析】【分析】(1)由nan+1?(n+1)an=1(n∈N*)得an+1n+1?ann18．【答案】（1）解：由正弦定理有sinA因?yàn)閟inB≠0，有sinA因?yàn)閏>b，故cosB>0，cos（2）解：法一：在△ABC和△ABD中，cosA=因?yàn)閏=3，BD=3，則b因?yàn)閏osB=a2所以S△ABC法二：因?yàn)閏os∠ADB+有b2因?yàn)閏osB=a2所以S△ABC法三：如圖，作DE//BC交AB于E，則E是AB的中點(diǎn)，所以BE=c2=32即(32)所以S△ABC【解析】【分析】(1)由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)已知等式可得sinB=223，由于cosB>0，進(jìn)而可求出cosB19．【答案】（1）解：因?yàn)轭l率分布直方圖的組距為10，所以，落在區(qū)間[5，15]，(15，所以，a=1?0因?yàn)槁湓趨^(qū)間[5，25]上的頻率為而落在區(qū)間[5，35]上的頻率為所以第70百分位數(shù)落在區(qū)間[25，35]之間，設(shè)為則0.52+(x?25)×0.所以估計(jì)第70百分位數(shù)為31.（2）解：由（1）知，重量落在[5，因?yàn)閄可取0，1，2，3，且X～B(3，則P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以X的分布列為：X0123P6448121所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+48125+【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1，可以求得a的值，分別求出落在區(qū)間[5，25]上的頻率和落在區(qū)間[5，35]上的頻率，可求出這批果實(shí)的第70百分位數(shù)；20．【答案】（1）證明：取AC的中點(diǎn)為O，連接A1O，ON，因?yàn)镹是所以O(shè)N∥AB且ON=1又因?yàn)锳1M∥AB且所以A1M∥ON且所以四邊形A1即MN∥A1O，而A1O?平面ACC1A（2）解：因?yàn)锳A1⊥AB，AA1⊥BC，且所以AA又因?yàn)椤螦BC=90°，所以分別以BC，BA，BB1所在的直線(xiàn)為x，選擇條件①，因?yàn)椤螦A1O為異面直線(xiàn)AC與MN所以O(shè)A=AA1=2設(shè)BN=m，則MN=5+解得m=3所以A(0，2，M(0，1，所以AC=(23，?2，設(shè)平面AMN的法向量n=(x，令y=2，則x=43，z=1，即所以sinθ=|cos?AC選擇條件②，設(shè)BN=m，則AN=4+m2，MN=因?yàn)椤鰽MN是等腰三角形，所以上式中只能AM=AN，即m=1，所以A(0，2，0)，C(2，所以AC=(2，?2，0)設(shè)平面AMN的法向量為n=(x，令y=2，則x=4，z=1，即n=(4所以sinθ=|cos?AC【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)為O，連接A1O，ON，因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，可得四邊形A1MNO是平行四邊形，即MN∥A1O，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可得MN∥平面ACC1A1；

（2）分別以BC，BA，BB1所在的直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，選擇條件①，∠AA1O為異面直線(xiàn)AC與MN所成的角，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面AMN的法向量，利用向量法可求出直線(xiàn)AC與平面21．【答案】（1）解：設(shè)M(x，y)，依題意得x>0且即x?y>0且x+y>0，設(shè)A(n，n)，則因?yàn)橹本€(xiàn)l1的方向向量為(1，1)，所以MA?(1，所以|OA|所以四邊形OAMB的面積為|OA即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2（2）證明：設(shè)直線(xiàn)MP：y?t=k(x?s)（k<?1或則MQ：聯(lián)立x2?y整理得(1?k所以s+xP=所以yP同