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文檔簡介
廣東省深圳市羅湖區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名:__________班級:__________考號:__________題號一二三四總分評分一、單選題1.已知集合A={(x,y)|x?y=0},B={(x,A.0 B.1 C.2 D.無窮多個2.已知復(fù)數(shù)ω=?12+A.ω B.?ω C.ω?1 D.ω+13.已知向量a=(2,k),b=(2,A.6 B.5 C.4 D.34.某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇,開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品,該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元,每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品,需另投入成本ω(x)萬元.其中ω(x)=xA.720萬元 B.800萬元 C.875萬元 D.900萬元5.圓O1:xA.5 B.10 C.25 D.6.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=x3?x,則曲線y=f(x)A.2x?y?2=0 B.4x?y?4=0 C.2x+y?2=0 D.4x+y?4=07.某批產(chǎn)品來自A,B兩條生產(chǎn)線,A生產(chǎn)線占60%,次品率為4%;B生產(chǎn)線占40%,次品率為5%,現(xiàn)隨機抽取一件進(jìn)行檢測,若抽到的是次品,則它來自A生產(chǎn)線的概率是()A.12 B.611 C.358.正四面體S?ABC中,M是側(cè)棱SA上(端點除外)的一點,若異面直線MB與直線AC所成的角為α,直線MB與平面ABC所成的角為β,二面角M?BC?A的平面角為γ,則()A.α<β<γ B.β<α<γ C.β<γ<α D.γ<α<β二、多選題9.等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為SA.{aB.?dāng)?shù)列a11+a12,C.若q>1,則{aD.若q>0,則{S10.已知隨機變量X~N(μ,σ2A.當(dāng)x=μ時,f(x)取得最大值1B.曲線y=f(x)關(guān)于直線x=μ對稱C.x軸是曲線y=f(x)的漸近線D.曲線y=f(x)與x軸之間的面積小于111.已知A,B為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右頂點,F(xiàn)(c,0)為C的右焦點,M是C的上頂點,N(a2A.|FN|=a B.C的離心率為5C.點N到直線MF的距離為b2c D.直線DA,DB12.已知x∈[?π,π],函數(shù)A.f(x)的圖像關(guān)于原點對稱 B.f(x)有四個極值點C.f(x)在[?π4,π4]三、填空題13.若α是第三象限角,且tanα=3,則sinα?cosα=.14.已知0<x<1,則函數(shù)y=4x+11?x的最小值為15.若正方形ABCD的頂點均在半徑為1的球O上,則四棱錐O?ABCD體積的最大值為.16.已知△ABC的頂點A(?2,1),點B,C均在拋物線H:y2=4x上.若AB,AC的中點也在H上,BC的中點為D,則AD=四、解答題17.已知數(shù)列{an}中,a(1)求數(shù)列{a(2)設(shè)bn=a18.在△ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c,且asinBcos(1)求cosB;(2)若c=3,AC邊上中線BD=3,求△ABC19.快到采摘季節(jié)了,某農(nóng)民發(fā)現(xiàn)自家果園里的某種果實每顆的重量有一定的差別,故隨機采摘了100顆,分別稱出它們的重量(單位:克),并以每10克為一組進(jìn)行分組,發(fā)現(xiàn)它們分布在區(qū)間[5,15],(15,25],注意:把頻率分布直方圖中的頻率視為概率.(1)求a的值,并據(jù)此估計這批果實的第70百分位數(shù);(2)若重量在[5,15](單位:克)的果實不為此次采摘對象,則從果園里隨機選擇3顆果實,其中不是此次采摘對象的顆數(shù)為X,求20.如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形,(1)證明:MN∥平面ACC(2)若∠ABC=90°,再從條件①、條件②中選擇一個作為條件,求直線AC與平面AMN所成角條件①:異面直線AC與MN所成的角為45°;條件②:△AMN是等腰三角形.21.點M是平面直角坐標(biāo)系xOy上一動點,兩直線l1:y=x,l2:y=?x,已知MA⊥l1于點A,A位于第一象限;(1)若動點M的軌跡為C,求C的方程.(2)設(shè)M(s,t),過點M分別作直線MP,MQ交C于點P,Q.若MP與MQ的傾斜角互補,證明直線22.已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+ax,其中a是非零實數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤xex?a恒成立,求
答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:因為集合A={(x,y)|x?y=0},由x?y=0x+y+1=0可得x=?所以A∩B={(?1所以,A∩B的子集個數(shù)為2.故答案為:C
【分析】求出A∩B,根據(jù)A∩B元素個數(shù),即可求出答案.2.【答案】A【解析】【解答】因為ω=?12+故答案為:A
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡ω23.【答案】B【解析】【解答】∵a⊥b故答案為:B.
【分析】利用向量垂直的性質(zhì)求出k,進(jìn)而得到a→4.【答案】C【解析】【解答】該企業(yè)每年利潤為f(x)=當(dāng)0<x≤40時,f(x)=?在x=30時,f(x)取得最大值875;當(dāng)x>40時,f(x)=920?(x+(當(dāng)且僅當(dāng)x=100時等號成立),即在x=100時,f(x)取得最大值720;由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.故答案為:C
【分析】該企業(yè)每年利潤為f(x)=70x?(5.【答案】C【解析】【解答】聯(lián)立兩個圓的方程x2兩式相減可得公共弦方程x?2y?1=0,圓O1:x2+圓心O1(0,公共弦長為d=2r故答案為:C.
【分析】兩圓作差,得到公共弦方程,化簡圓O1,求出圓心和半徑,結(jié)合弦長公式求解即可得答案.6.【答案】C【解析】【解答】設(shè)x>0,則?x<0,由f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=x可得f(x)=f(?x)=(?x)則f'則曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線方程是y=?2故答案為:C
【分析】由已知函數(shù)的奇偶性求出x>0時的解析式,求出導(dǎo)函數(shù),得到f'7.【答案】B【解析】【解答】因為抽到的次品可能來自于A,B兩條生產(chǎn)線,設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來自A生產(chǎn)線”,B=“抽到的產(chǎn)品來自B生產(chǎn)線”,C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”,則P(由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.所以它來自A生產(chǎn)線的概率是P(A|C)=P(AC)故答案為:B
【分析】設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來自A生產(chǎn)線”,B=“抽到的產(chǎn)品來自B生產(chǎn)線”,C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”,根據(jù)全概率公式求得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),再根據(jù)據(jù)條件概率公式可求得答案.8.【答案】C【解析】【解答】正四面體S?ABC中,取BC中點D,連接AD,MD,SD過M作MH⊥AD于H,連接HB,MB,過M作AC的平行線交SC于N,則∠BMN=α,由SD⊥BC,AD⊥BC,SD∩AD=D,SD?平面SAD,AD?平面SAD可得BC⊥平面SAD,則MD⊥BC,則∠MDH=γ由BC⊥平面SAD,可得平面ABC⊥平面SAD,又平面ABC∩平面SAD=AD,MH?平面SAD,MH⊥AD,則MH⊥平面ABC,則∠MBH=β,因為sinβ=MHMB<MHMD設(shè)正四面體邊長為1,AM=λ(0<λ<1),有SM=MN=1?λ.cosα=MN2因為HD=所以cosγ>cosα,又α,γ∈(0,π綜上:β<γ<α故答案為:C
【分析】分別根據(jù)異面直線所成角的定義,線面角的定義,以及二面角的定義確定a,β,γ的大小即可得答案.9.【答案】A,B【解析】【解答】由題意,an=a對于A,an2=a12(對于B,因為q≠?1,a11(a∴(a12對于C,若a1<0,q>1,則an+1對于D,Sn+1?Sn=a11?q(1?qn+1故答案為:AB.
【分析】由{an}的通項公式可以得到an2=a12(q2)n?1,再根據(jù)等比數(shù)列的定義得10.【答案】A,B,C【解析】【解答】解:因為隨機變量X~N(μ,σ2所以f(x)的對稱軸為x=μ,且當(dāng)x=μ時,f(x)取最大值為1σA,B符合題意;根據(jù)正態(tài)分布的曲線可得,x軸是漸近線,且曲線y=f(x)與x軸之間的面積等于1,C符合題意,D不符合題意.故答案為:ABC.
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的曲線的性質(zhì),逐項進(jìn)行判斷,可得答案.11.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:由題知A(?a,0),B(a,0),所以,kMN=b?a所以,MN的垂直平分線DE的方程為y?b因為D,E,F(xiàn)三點共線,所以?b2=所以(a2所以,|FN|=|a所以c2?ac?a2=0,即e所以,橢圓的離心率為e=5因為直線MF的方程為y=?bcx+b所以,點N(a2c,0)設(shè)D(x0,y0由于A(?a,所以kAD故答案為:ABD
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合橢圓的性質(zhì),逐項進(jìn)行判斷,可得答案.12.【答案】A,C【解析】【解答】對于A,f(?x)=sin對于B,f'(x)=(則g'當(dāng)x∈(0,π]時,g'(x)≤0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)最多只有2個零點,即f'對于C,g(?π4)=(g(π4)=232(π?4)2f(x)是單調(diào)遞增的,正確;對于D,f(π故答案為:AC.
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,可判斷A;令g(x)=(x2+1)cosx?2xsinx,求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而可判斷B;由B的分析知:x∈[?π413.【答案】?【解析】【解答】解:因為α是第三象限角,且tanα=3,所以sinα=3因為si所以sinα=?所以sinα?cosα=?故答案為:?
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinα14.【答案】9【解析】【解答】解:∵0<x<1,則函數(shù)f′(x)=﹣4x2+1(1?x)當(dāng)f′(x)>0時,解得23<x<1;當(dāng)f′(x)<0時,解得又f'∴當(dāng)且僅當(dāng)x=23f(23)=4故答案為:9.【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.15.【答案】4【解析】【解答】設(shè)正方形ABCD的中心為E,連接OE,由球的性質(zhì)可知OE⊥平面ABCD,
設(shè)正方形ABCD的邊長為x,因為正方形ABCD的頂點均在半徑為1的球O上,且不在大圓上,所以x∈(0,所以,OE=O所以,四棱錐O?ABCD體積為V=令x2=t∈(0,令y=t2?12t3,則所以,當(dāng)t∈(0,43)時,當(dāng)t∈(43,2)時,所以,當(dāng)t=43時y=t所以,V=13t2?故答案為:4【分析】由正方形ABCD的頂點均在半徑為1的球O上,且不在大圓上,根據(jù)勾股定理求出OE,再根據(jù)棱錐的體積公式求出四棱錐O?ABCD體積,令x2=t∈(0,2),則V=116.【答案】274;【解析】【解答】不妨設(shè)B(y12則AB的中點(?1+y12所以(y1+1又AC的中點(?1+y22所以(y2+1所以y1,y2是方程y2?2y?17=0所以xD=y則|AD|=(△ABC的面積S=故答案為:274;
【分析】由題意可得AB的中點在H:y2=4x上,AC的中點在17.【答案】(1)解:∵na所以{an+1(2)解:由(1)知,{a由題意得b2n?1=a設(shè)數(shù)列{b2n?1},{b2n所以T1=50(所以{bn}綜上,an=3n?1,{b【解析】【分析】(1)由nan+1?(n+1)an=1(n∈N*)得an+1n+1?ann18.【答案】(1)解:由正弦定理有sinA因為sinB≠0,有sinA因為c>b,故cosB>0,cos(2)解:法一:在△ABC和△ABD中,cosA=因為c=3,BD=3,則b因為cosB=a2所以S△ABC法二:因為cos∠ADB+有b2因為cosB=a2所以S△ABC法三:如圖,作DE//BC交AB于E,則E是AB的中點,所以BE=c2=32即(32)所以S△ABC【解析】【分析】(1)由正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,化簡已知等式可得sinB=223,由于cosB>0,進(jìn)而可求出cosB19.【答案】(1)解:因為頻率分布直方圖的組距為10,所以,落在區(qū)間[5,15],(15,所以,a=1?0因為落在區(qū)間[5,25]上的頻率為而落在區(qū)間[5,35]上的頻率為所以第70百分位數(shù)落在區(qū)間[25,35]之間,設(shè)為則0.52+(x?25)×0.所以估計第70百分位數(shù)為31.(2)解:由(1)知,重量落在[5,因為X可取0,1,2,3,且X~B(3,則P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以X的分布列為:X0123P6448121所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+48125+【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1,可以求得a的值,分別求出落在區(qū)間[5,25]上的頻率和落在區(qū)間[5,35]上的頻率,可求出這批果實的第70百分位數(shù);20.【答案】(1)證明:取AC的中點為O,連接A1O,ON,因為N是所以O(shè)N∥AB且ON=1又因為A1M∥AB且所以A1M∥ON且所以四邊形A1即MN∥A1O,而A1O?平面ACC1A(2)解:因為AA1⊥AB,AA1⊥BC,且所以AA又因為∠ABC=90°,所以分別以BC,BA,BB1所在的直線為x,選擇條件①,因為∠AA1O為異面直線AC與MN所以O(shè)A=AA1=2設(shè)BN=m,則MN=5+解得m=3所以A(0,2,M(0,1,所以AC=(23,?2,設(shè)平面AMN的法向量n=(x,令y=2,則x=43,z=1,即所以sinθ=|cos?AC選擇條件②,設(shè)BN=m,則AN=4+m2,MN=因為△AMN是等腰三角形,所以上式中只能AM=AN,即m=1,所以A(0,2,0),C(2,所以AC=(2,?2,0)設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,令y=2,則x=4,z=1,即n=(4所以sinθ=|cos?AC【解析】【分析】(1)取AC的中點為O,連接A1O,ON,因為N是BC的中點,可得四邊形A1MNO是平行四邊形,即MN∥A1O,再根據(jù)線面平行的判定定理可得MN∥平面ACC1A1;
(2)分別以BC,BA,BB1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,選擇條件①,∠AA1O為異面直線AC與MN所成的角,求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),求出平面AMN的法向量,利用向量法可求出直線AC與平面21.【答案】(1)解:設(shè)M(x,y),依題意得x>0且即x?y>0且x+y>0,設(shè)A(n,n),則因為直線l1的方向向量為(1,1),所以MA?(1,所以|OA|所以四邊形OAMB的面積為|OA即動點M的軌跡方程為x2(2)證明:設(shè)直線MP:y?t=k(x?s)(k<?1或則MQ:聯(lián)立x2?y整理得(1?k所以s+xP=所以yP同
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