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文檔簡介
江西名校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,則()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.4.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.5.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20176.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.7.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.109.將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論:①它的圖象關(guān)于直線x=對稱;②它的最小正周期為;③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對稱;④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④10.己知,,,則()A. B. C. D.11.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對稱軸是③的一個(gè)對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.412.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則______.14.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.15.已知集合,,則_________.16.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺(tái))的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬臺(tái))1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度:以(單位:萬臺(tái))表示日銷售,當(dāng)時(shí),不設(shè)獎(jiǎng);當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬臺(tái))服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請你估計(jì)每位員工該月(按30天計(jì)算)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.18.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.19.(12分)在銳角三角形中,角的對邊分別為.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.(1)求的值;(2)若的面積為求的值.20.(12分)已知分別是內(nèi)角的對邊,滿足(1)求內(nèi)角的大?。?)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.21.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)時(shí),若對一切恒成立,求a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?,所?所以,所以,因?yàn)?,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.2、A【解析】
根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因?yàn)?,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導(dǎo)數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.6、C【解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.7、C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因?yàn)閳A心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.8、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值,可通過構(gòu)建和的方程組求通項(xiàng)公式.9、B【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故②正確;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是對稱軸,故①錯(cuò)誤;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對稱,故③正確;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型10、B【解析】
先將三個(gè)數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.12、C【解析】
設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計(jì)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意的兩種情況.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.15、【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻浚?,故填【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),通過賦值,求得,再對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故的極大值為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點(diǎn)是要通過賦值,求出未知量.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】
(Ⅰ)由題意計(jì)算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;(Ⅱ)由題意計(jì)算平均數(shù)μ,得出z~N(μ,),求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率,計(jì)算獎(jiǎng)金總數(shù)是多少.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,所以;(Ⅱ)因?yàn)椋?,故即,日銷量的概率為,日銷量的概率為,日銷量的概率為,所以獎(jiǎng)金總數(shù)大約為:(元).【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,還考查了利用正態(tài)分布計(jì)算概率,進(jìn)而估計(jì)總體情況,屬于中檔題.18、(1);(2)680元.【解析】
(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計(jì)算出相應(yīng)的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問題,屬于基礎(chǔ)題19、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解:成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡得,因?yàn)?故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得(負(fù)的舍去),可得銳角;由可得,由為銳角,解得,因?yàn)闉殇J角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比中項(xiàng)的運(yùn)用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時(shí)也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本關(guān)系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理可得:,則,得到,再利用輔助角公式化簡,最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值;【詳解】解:(1)由,,,,,,,;(2)由(1)知,是正三角形,設(shè),由余弦定理得:,,,所以當(dāng)時(shí)有最大值【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,三角恒等變換公式的應(yīng)用,三角形面積公式的應(yīng)用,以及正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.21、(1)見解析;
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