2025屆華中師大一附中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆華中師大一附中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、2．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．3．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．4．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．5．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．6．已知集合，則等于（）A． B． C． D．7．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度8．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．9．已知，，，，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．11．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．12．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是__________.14．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.15．若，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_______.16．某校名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級(jí)別連續(xù)的個(gè)不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學(xué)生，將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲，則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．18．（12分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點(diǎn)為1；（2）若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.22．（10分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺(tái)）按季度（一年四個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計(jì)銷量的中位數(shù)；（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.2、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．3、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題4、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.5、B【解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.6、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度得到故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進(jìn)而可知，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因?yàn)椋云矫?，所以，?dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.9、D【解析】

令，求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時(shí)，令，求導(dǎo)，，故單調(diào)遞增：∴，當(dāng)，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時(shí)，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯(cuò)誤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.11、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，最大，且，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)，，，，由，，，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，，如圖所示：因?yàn)椋?，，所以A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.15、【解析】

首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】，根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)：，令，解得，所以含的項(xiàng)的系數(shù).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查定積分，二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意，名學(xué)生分成組，則一定是個(gè)人組和個(gè)人組.①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這個(gè)人分組如下；名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱性可知也可以是司令；②若新加入的學(xué)生是排長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；連長、營長、團(tuán)長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名排長.所以新加入的學(xué)生可以是排長，由對(duì)稱性可知也可以是軍長；③若新加入的學(xué)生是連長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團(tuán)長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長，由對(duì)稱性可知也可以是師長；④若新加入的學(xué)生是營長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長，由對(duì)稱性可知也可以是旅長；⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名團(tuán)長.所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長.綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演種角色.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，②當(dāng)時(shí)，，顯然成立，所以，③當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因?yàn)?，因?yàn)椋谐闪?，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．18、（1）當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為；（2）見解析.【解析】

（1）將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大．（2）n＝1時(shí)，X的所有可能的取值為0，1，2，3，1．分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可．【詳解】（1）對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大，只需，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為.（2）由已知，的可能取值為0，1，2，3，1.，所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡單的計(jì)算，屬于中檔題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點(diǎn)得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.20、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．則，，且.．【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可