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安徽省黃山市屯溪一中2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.5.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.6.()A. B. C. D.7.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm38.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實(shí)數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.11.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.12.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為_(kāi)_____.14.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積是___________15.在面積為的中,,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的最大值是______.16.某外商計(jì)劃在個(gè)候選城市中投資個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)個(gè),則該外商不同的投資方案有____種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試,每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率;(2)若已知甲同學(xué)特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機(jī)選1所;而同學(xué)乙和丙對(duì)五所高校沒(méi)有偏愛(ài),因此他們每人在五所高校中隨機(jī)選2所.(i)求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).19.(12分)已知,如圖,曲線由曲線:和曲線:組成,其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).(Ⅰ)若,求曲線的方程;(Ⅱ)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點(diǎn),求證:弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上;(Ⅲ)對(duì)于(Ⅰ)中的曲線,若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn),求面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù).⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知橢圓,點(diǎn),點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).且與圓相切.的周長(zhǎng)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個(gè)有序集合組,其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí),求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
通過(guò)分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因?yàn)闀r(shí),恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),所以,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查不等式的恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.3、A【解析】
先通過(guò)降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.4、C【解析】
幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5、A【解析】
首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長(zhǎng)方體,下面是四棱柱;長(zhǎng)方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.8、B【解析】
根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)?,所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為,用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.9、B【解析】
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10、B【解析】
畫(huà)出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時(shí),x在點(diǎn)B處取得最大值,即,得;當(dāng)時(shí),z在點(diǎn)C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)時(shí),可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)正數(shù)越來(lái)越小,趨近于0時(shí),,所以函數(shù),故排除選項(xiàng)B,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識(shí)別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.12、C【解析】
首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.14、【解析】
先還原幾何體,再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個(gè)棱柱,如圖,底面為邊長(zhǎng)為的直角三角形,高為的棱柱,所以體積為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題15、【解析】
由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值是為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量,進(jìn)而由重要不等式求最值,屬于中檔題.16、60【解析】試題分析:每個(gè)城市投資1個(gè)項(xiàng)目有種,有一個(gè)城市投資2個(gè)有種,投資方案共種.考點(diǎn):排列組合.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)(i)(ii)分布列見(jiàn)解析,【解析】
(1)先計(jì)算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率,利用事件的獨(dú)立性即得解;(2)(i)分別計(jì)算每個(gè)事件的概率,再利用事件的獨(dú)立性即得解;(ii),利用事件的獨(dú)立性,分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得解.【詳解】(1)甲從五所高校中任選2所,共有共10種情況,甲、乙、丙同學(xué)都選高校,共有四種情況,甲同學(xué)選高校的概率為,因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立,所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為.(2)(i)甲同學(xué)必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立,所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率為.(ii),因此,.即的分布列為0123因此數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查了事件獨(dú)立性的應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列和期望,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,實(shí)際應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析,.【解析】
(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計(jì)算得到答案.(2)先排除斜率為0時(shí)的情況,設(shè),,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,,根據(jù)化簡(jiǎn)得到,代入直線方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得,解得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱,則直線與直線的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率不為0.設(shè),,直線的方程為聯(lián)立,整理得則,.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線的方程為.故直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,計(jì)算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、(Ⅰ)和.;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由,可得,解出即可;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立可得:,利用,根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,證明即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線,且,設(shè)直線的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立可得:,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面釈計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意:,,解得,則曲線的方程為:和.(Ⅱ)證明:由題意曲線的漸近線為:,設(shè)直線,則聯(lián)立,得,,解得:,又由數(shù)形結(jié)合知.設(shè)點(diǎn),則,,,,,即點(diǎn)在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線,點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,得:,,設(shè),,,,面積,令,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理論證能力與運(yùn)算求解能力,屬于難題.20、(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值為,無(wú)極大值;(2)【解析】試題分析:(1),通過(guò)求導(dǎo)分析,得函數(shù)取得極小值為,無(wú)極大值;(2),所以,通過(guò)求導(dǎo)討論,得到的取值范圍是.試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值為,無(wú)極大值;(2)設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同,則所以所以,代入得:設(shè),則不妨設(shè)則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,代入可得:設(shè),則對(duì)恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又所以當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),又當(dāng)時(shí)因此當(dāng)時(shí),函數(shù)必有零點(diǎn);即當(dāng)時(shí),必存在使得成立;即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同.又由得:所以單調(diào)遞減,因此所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、(1)(2)是,【解析】
(1)設(shè),根據(jù)條件可求出的坐標(biāo),再利用在橢圓上,代入橢圓方程求出即可;(2)設(shè)運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程,求出,,再利用焦半徑公式表示出,進(jìn)而求出周長(zhǎng)為定值.【詳解】(1)設(shè),因?yàn)?即則,即,因?yàn)榫谏?代入得,解得,所以橢圓的方程為;(2)由(1)得,作
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