遼寧省六校協(xié)作體2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源-2023（下）六校協(xié)作體高二期中考試數(shù)學試題考試時間：120分鐘滿分：150分第一命題校；葫蘆島市一高中第二命題校：北鎮(zhèn)高中一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.22 B.33 C.44 D.66【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質，以及前項和公式，即可列式求值.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質可知，，即，所以.故選：B2.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.32 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】由題設寫出展開式通項，進而確定值，即可求其系數(shù).【詳解】由題設，展開式通項，∴時，的系數(shù)為.故選：A3.世界數(shù)學三大猜想：“費馬猜想”?“四色猜想”?“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”.281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1+2"由我國數(shù)學家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質數(shù)之和．在不超過10的質數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出基本事件總數(shù)，再求出和為奇數(shù)事件所包含基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】不超過10的質數(shù)有：2，3，5，7共4個，隨機選取兩個不同的數(shù)，基本事件為：共6種，其和為奇數(shù)包含的基本事件有：，共3個，所以.故選：D.4.某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質量（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種大束10000個，估計單果質量在范圍內的大棗個數(shù)約為（）附：若，A.8400 B.8185 C.9974 D.9987【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結合題中所給的公式進行求解即可.【詳解】由，數(shù)學期望，方差，由公式可知：，，，所以單果質量在范圍內的大棗個數(shù)約為，故選：B5.的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，，，即排除B，D，結合特殊值即可得出答案.【詳解】由題知，根據(jù)，，，則，排除B，D，當時，沒有意義，排除A.故選：C6.由組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）個A.360 B.192 C.312 D.240【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為和個位數(shù)數(shù)字為或，結合排列、組合數(shù)的公式，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為和個位數(shù)數(shù)字為或，當個位數(shù)字為時，小于的偶數(shù)有個；當個位數(shù)字為或時，小于的偶數(shù)有個，所以小于的偶數(shù)共有個.故選：D.7.2023年3月24日是第28個“世界防治結核病日”，我國的宣傳主題是“你我共同努力，終結結核流行”，呼吁社會各界廣泛參與，共同終結結核流行，維護人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性的概率為（）A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.068【答案】D【解析】【分析】應用全概率公式求解即可.

【詳解】設隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性為事件A,

設隨機抽取一人實際患病為事件B,隨機抽取一人非患為事件，

則.故選:D.8.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)研究其單調性來比較，構造函數(shù)研究其單調性來比較即可.【詳解】由，設，，∴，當時，∴在上單調遞減，∴，即所以；由設，則，所以，當時，，所以，所以在單調遞減，又，所以，因為，所以，即，所以，故選：C.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多個選項符合題目要求，全部選對得5分，有錯選得零分，部分選對得2分）9.下列說法中，正確的有（）A.已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列的通項，若為單調遞增數(shù)列，則C.已知正項等比數(shù)列，則有D.已知等差數(shù)列的前項和為，則【答案】AD【解析】【分析】由，可判定A正確；恒成立，可判定B錯誤；根據(jù)，，得到，可判定C錯誤；由構成等差數(shù)列，列出方程求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以A正確；對于B中，若數(shù)列的通項，則恒成立，所以，所以B錯誤；對于C中，正項遞增的等比數(shù)列，若，可得，此時，所以C不正確；對于D中，等差數(shù)列的前項和為且，根據(jù)構成等差數(shù)列，即構成等差數(shù)列，可得，解得，所以D正確.故選：AD.10.下列命題正確的是（）A.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為0.66和-0.85，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關性更強B.已知樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的標準差是36C.對具有線性相關關系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實數(shù)的值是D.在檢驗與是否有關的過程中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)算得，則有的把握認為和有關附：0.0500.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩個隨機變量的線性相關性，即可判斷A，根據(jù)方差與標準差，即可判斷B，根據(jù)線性回歸方程，即可判斷C，根據(jù)獨立性檢驗，即可判斷D.【詳解】兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；B中樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的方差為，標準差為，故B錯誤；C中，，由，得，故C正確；D中由，沒有的把握判斷認為和有關，故D不正確.故選：AC11.下列不等式恒成立是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A選項，構造函數(shù)，及，，由導函數(shù)得到其單調性，證明出結論；BC選項，可舉出反例；D選項，放縮后，只需證明，構造，，由隱零點結合基本不等式證明出結論.【詳解】A選項，令，，，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，令，，，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，故，A正確；B選項，，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，當時，，故不滿足，B錯誤；C選項，令，，，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，當且僅當時，等號成立，C錯誤；D選項，由題意得，令，，，令，則恒成立，故在上單調遞增，因為，，所以存在使得，即，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，當且僅當時，即時，等號成立，又，故等號取不到，所以，故，，D正確.故選：AD【點睛】隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結合函數(shù)單調性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.12.設一個正方體，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個相鄰頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由，可判定A正確；再由，得到，得出數(shù)列為等比數(shù)列，求得，可判定B、D不正確；結合等比數(shù)列的求和公式，可判定C正確.【詳解】解：由題意得，所以A正確；螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：①本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率為，如果爬上來，其概率應為，所以，整理得，即，所以數(shù)列構成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以B、D不正確；因為數(shù)列構成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以C正確.故選：AC.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則__________．【答案】【解析】【分析】由，求得，結合，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，可得，可得，所以故答案為：.14.某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為__________．【答案】【解析】【分析】設事件表示“男生甲被選中”，事件表示“女生乙被選中”，分別求得，結合條件概率的計算公式求解即可.【詳解】設事件表示“男生甲被選中”，事件表示“女生乙被選中”，則，所以，即男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.故答案為：.15.數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，得出數(shù)列構成等差數(shù)列，求得，結合，再求出數(shù)列的通項公式.【詳解】由，可得，即，又由，可得，所以數(shù)列構成首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，當時，；當時,不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.16.函數(shù)（e為自然常數(shù)），方程恰有1個不等實根，則取值范圍是__________．【答案】或【解析】【分析】求導得，分析的單調性，進而可得極大值、極小值與最值，方程恰有1個不等實根，可轉化為與的交點有1個，結合圖像即可判斷.【詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，的極小值為，當時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖像為：由圖像可得當或時，有1個實數(shù)根，故答案為:或四?解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.某校從學生會宣傳部6名成員（其中女生4人，男生2人）中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．（1）選拔前6個人站成一排拍照，其中2個男生不能相鄰，共有多少種不同的站法（2）設所選3人中女生人數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）480（2）的概率分布列見詳解，數(shù)學期望為：2.【解析】【分析】（1）要使男生不相鄰，先排女生，再讓男生排在女生之間的空隙中；（2）根據(jù)題意可得的所有可能取值為1,2,3，再求出取每一個值的概率,可得的分布.【小問1詳解】先4個女生站成一排有種站法，這4個女生之間共有5個“空檔”，在這5個“空檔”中選取2個排男生，共有種，所以6個人站成一排拍照，其中2個男生不能相鄰，共有種不同的站法.【小問2詳解】的所有可能取值為1,2,3，依題意得:，，.∴的分布列為:123P的數(shù)學期望為：.18.已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，且成等差數(shù)列．數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式（2）求數(shù)列的前項和【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由，求得，進而得到，再由，，得到是從第二項起，以3為公差的等差數(shù)列求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：設數(shù)列的公比為q，因為，且成等差數(shù)列，所以，，解得，則，即，即，解得或（舍去），此時，所以；所以，，又，所以是從第二項起，，3為公差的等差數(shù)列，所以，綜上：；【小問2詳解】由（1）知：，則，所以，兩式相減得：，所以.19.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)題意得到，求得，結合函數(shù)極值點的定義進行驗證，即可求解；（2）求得，求得函數(shù)的單調性，再分、和，三種情況討論，結合函數(shù)的極值和的值的比較大小，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得因為函數(shù)在處取得極值，可得，解得或（舍去），當時，可得，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，符合題意；【小問2詳解】解：由，其中，令，解得或，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，①當時，可得且，可得函數(shù)在單調遞增，在上單調遞減，因為，可得，所以；②當時，可得且，可得函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，因，當時，可得取得最小值，最小值為，所以，即，所以；③當時，可得且，此時函數(shù)在區(qū)間單調遞減，函數(shù).20.第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦亞運會．為迎接這場體育盛會，浙江某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知社區(qū)甲?乙?丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設他們之間通過與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人通過市知識競賽的概率（2）某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎勵方案：方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎勵600元：方案二：只參加了初賽的選手獎勵100元，參加了決賽的選手獎勵400元．若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好【解析】【分析】（1）計算出人都沒有通過初賽的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用二項分布及期望的性質求出方案一獎金總額的期望，對方案二，列出獎金總額為隨機變量的所有可能取值，并求出對應的概率，求出其期望，比較大小作答.【小問1詳解】人都沒有通過初賽的概率為，所以，這3人中至少有1人通過市知識競賽的概率為.【小問2詳解】方案一：設三人中獎人數(shù)為，所獲獎金總額為元，則，且，所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為元，則的所有可能取值為、、、，則，，，，所以，.所以，，所以從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度