（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測(cè)03 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（教師版）

第頁專題03平面向量基本定理及坐標(biāo)表示思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：平面向量基本定理考點(diǎn)二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問題考點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)四：平面向量平行的坐標(biāo)表示考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個(gè)向量、，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識(shí)點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量e1、e2互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．把=叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．知識(shí)點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法記，，實(shí)數(shù)與向量的乘積記，則=（，）2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．知識(shí)點(diǎn)四：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則∥，即，或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則∥不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?．2、三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個(gè)非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：平面向量基本定理例1．如圖，在中，，P是線段BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點(diǎn)共線，∴，∴.故選：A.例2．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕蔬x：B例3．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對(duì)于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對(duì)于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.變式1．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，故選：A變式2．如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．5【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.故選：A考點(diǎn)二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問題例4．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)，使和反向共線．【解析】（1），，、共線，又它們有公共點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線．（2）與反向共線，存在實(shí)數(shù)，使，即，．、是不共線的兩個(gè)非零向量，，，，，．例5．如圖，在中，．

(1)用，表示，；(2)若點(diǎn)滿足，證明：，，三點(diǎn)共線．【解析】（1）因?yàn)?，?（2）由，可得，所以，，即，所以，，三點(diǎn)共線.變式3．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè).

(1)用向量與表示向量；(2)若，求證：三點(diǎn)共線.【解析】（1）是的中點(diǎn)，；.（2），與平行，又與有公共點(diǎn)，三點(diǎn)共線.變式4．已知向量，不共線，，，.(1)若，，求x，y的值；(2)若A，P，Q三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)t的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以，解得，.（2），，由于A，P，Q三點(diǎn)共線，所以存在，使，則，整理，得.因?yàn)閍，b不共線，所以，解得故實(shí)數(shù)t的值為1.考點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例6．已知點(diǎn)，則與向量方向相同的單位向量為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則與向量方向相同的單位向量為.故答案為：.變式5．已知，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】點(diǎn)在線段的延長線上，與方向相反，由，則有，設(shè)，則，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：考點(diǎn)四：平面向量平行的坐標(biāo)表示例7．已知，，，，若存在非零實(shí)數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】若存在非零實(shí)數(shù)使得，即，又，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：B變式7．已知，，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,,由得，，解得，故選：C.考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算例8．已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【解析】向量，則，所以向量在方向上的投影向量為故答案為：例9．設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因?yàn)?，所?故答案為：變式6．已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角，且，不共線，則,解得：且，故答案為：.變式7．已知向量，且與的夾角為.(1)求及；(2)若與所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由于與的夾角為，所以，解得，則，所以（2），由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例10．已知直角梯形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，且．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，，則，，，在直角梯形中，，且，所以A，為直角，則，即，解得，，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，，所以，又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，所以，，則，所以例11．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是軸與軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為(1)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知，求(2)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知，，求的最大值.【解析】（1）由題意可知：

,,∴.（2）由題意可知,∴,由（1）可得：,令

,又因?yàn)?且，所以，，∴，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，即：時(shí)，函數(shù)取到最大值3，即，則有，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.變式8．已知，，，設(shè)是直線上的一點(diǎn)（其中為原點(diǎn)）．(1)若，，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求取最小值時(shí)向量的坐標(biāo)．【解析】（1）是直線上的一點(diǎn)，設(shè)，由得，，即，，解得，；（2）由（1）得，，時(shí)，取最小值，此時(shí)．變式9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)若為的中點(diǎn)，求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以；?）由題意可得，因?yàn)辄c(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，所以，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．已知向量，則（

）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C2．已知向量，，若與的夾角的余弦值為，且，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量，，若與的夾角的余弦值為，則有，解得，則有，設(shè)，由，則有，解得，B選項(xiàng)符合.故選：B3．已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】.故答案選：A.4．已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：用坐標(biāo)表示向量由題意可知，，由得，，整理得，，所以．則A對(duì)；法二：因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，所?故選：A．5．已知平行四邊形中，，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】在中，，即是的中點(diǎn)，則，又，即，因此，而，不共線，所以，.故選：D6．如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G稱為的重心，那么是（

）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3【答案】B【解析】因?yàn)闉榈闹芯€，所以，設(shè)，則，故，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可設(shè)，則，故，故，相加得，解得，故.故選：B7．已知邊長為2的菱形中，，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)椋裕獾?，故，則.故選：B8．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；故選：C.二、多選題9．已知向量則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，與垂直C．對(duì)任意，都有D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，若，則，不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則與垂直，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以對(duì)任意，都有，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以或，即或，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．已知為直角三角形，且，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無實(shí)解，綜上可得，或-1.故選：AC.11．下列命題正確的是（

）A．B．已知向量的夾角是鈍角，則的取值范圍是C．已知單位向量滿足，則D．若，則在上的投影向量為【答案】AD【解析】，故A正確；因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且和不反向共線，當(dāng)和反向共線時(shí)，，解得，，所以B錯(cuò)；由題意得，所以，故C錯(cuò)；若，在上的投影向量為，當(dāng)向量與同向或反向時(shí)都滿足，故D正確.故選：AD.12．已知向量，且則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．向量與向量的夾角是45°D．向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，則，解得：，所以，故A正確；，所以，故B錯(cuò)誤；，又因?yàn)椋氏蛄颗c向量的夾角是45°，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．已知點(diǎn)，若向量與的方向相反，則．【答案】【解析】由題意，點(diǎn)，則，∵向量與的方向相反，即與共線，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，與的方向相同，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，與的方向相反，所以，∴，，∴.故答案為：.14．已知在中，為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為.【答案】8【解析】如圖，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為8.故答案為：815．已知向量，滿足，，，則.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，滿足，，，所以，又，，所以.故答案為：.16．在中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，寫出使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為．

【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知，而，故,則，又點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，故,可取，則，故使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為，故答案為：（答案不唯一）.四、解答題17．如圖，在中，，E是AD的中點(diǎn)，設(shè)，．

(1)試用，表示，；(2)若，與的夾角為，求．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，與的夾角為，所以，由（1）知，，，所以.18．已知向量，向量．(1)若，求與的夾角；(2)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，與的夾角為.（2）因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，解得，當(dāng)與反向共線，即時(shí)，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．已知點(diǎn)及平面向量，，．(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【解析】（1）,因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以，解得.（2），，又因?yàn)?，所以，解?20．在中，D是的中點(diǎn)，E在邊上，，與交于點(diǎn)O，(1)設(shè)，求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）∵，∴；（2）因?yàn)镋，O，C三點(diǎn)共線，不妨設(shè),所以，再設(shè)，所以，所以，所以，，因?yàn)?，∴得，即．平面向量基本定理及坐?biāo)表示隨堂檢測(cè)1.若向量與是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對(duì)于A，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，A不選；對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，B不選；對(duì)于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C2.在中，已知為上的一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?所以.故選：C.3.在中，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，又∴.故選：B.4.已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椴怀^5，所以，解得：，故選：C.5.如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，，三點(diǎn)