（寒假）人教版數(shù)學七年級寒假精講精練08 平方根+隨堂檢測（原卷版）

第頁08平方根知識點一知識點一算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)◆1、算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記作：，讀作:“根號a”.即x2=a(x>0)

x叫做a的算術(shù)平方根，記作：x=.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.記作:=0.◆2、算術(shù)平方根的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有雙重非負性.①被開方數(shù)一定是非負數(shù)，即a≥0.②一個非負數(shù)的算術(shù)平方根也是非負數(shù)，即≥0.◆3、求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個正數(shù)的平方恰好是互逆的兩種運算，◆4、被開方數(shù)越大，對應的算術(shù)平方根也越大.讀作：“二次根號a”.知識點二知識點二算術(shù)平方根的估算◆求一個正數(shù)（非完全平方數(shù)）的算術(shù)平方根的近似值，一般采用逼近法，是指從兩邊確定取值范圍，一點一點加強限制，使其所處范圍越來越小，從而達到理想的精確程度.知識點三知識點三用計算器求算術(shù)平方根◆1、在求某些數(shù)的算術(shù)平方根時，有些數(shù)很大或很小，或不易求出算術(shù)平方根，為了提高計算速度，我們可以利用計算器，按照一定的按鍵順序直接快速地求出這個數(shù)的算術(shù)平方根.◆2、大多數(shù)計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數(shù)的算術(shù)平方根(或其近似值).知識點四知識點四平方根的定義和性質(zhì)◆1、平方根的定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.開平方與平方互為逆運算，運用這種關(guān)系可以求一個數(shù)的平方根.◆3、平方根的表示方法：正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為，正數(shù)a的負的平方根，可以表示為-.

正數(shù)a的平方根可以用±表示，讀作“正、負根號a”．◆4、算術(shù)平方根與平方根的聯(lián)系和區(qū)別：聯(lián)系：（1）包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一種.（2）只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.（3）0的平方根是0，算術(shù)平方根也是0.區(qū)別：（1）個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但正數(shù)算術(shù)平方根只有一個.（2）表示方法不同：正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為，正數(shù)a的平方根表示為；◆5、平方根的性質(zhì)：①正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負數(shù)沒有平方根.題型一求一個數(shù)的算術(shù)平方根題型一求一個數(shù)的算術(shù)平方根【例題1】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（?32解題技巧提煉根據(jù)算術(shù)平方根的概念求一個數(shù)的算術(shù)平方根，（1）當遇到求帶分數(shù)的算術(shù)平方根的題目時，應先將帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算；（2）求一個數(shù)的算術(shù)平方根是多少，首先要知道哪個非負數(shù)的平方等于這個數(shù).【變式1-1】9的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5【變式1-2】16的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【變式1-3】36的算術(shù)平方根是（）A．±6 B．6 C．±6 D．【變式1-4】若a=5，則aA．10 B．5 C．25 D．±25【變式1-5】設(shè)x＝﹣22，y=(?3)2A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【變式1-6】求下列各式的值：（1）144；（2）2549；（3）10000；（4）0.0049題型二算術(shù)平方根的非負性題型二算術(shù)平方根的非負性【例題2】已知a，b滿足（a﹣1）2+b+2=0，則a+A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0解題技巧提煉算術(shù)平方根a具有雙重非負性,即被開方數(shù)a≥0且a≥0，a中隱含條件a≥0要靈活運用.2、幾個非負數(shù)的和為0，其中的每一個非負數(shù)都必須等于0.【變式2-1】若m+2+(n?3)2=0，則mn的值是【變式2-2】已知實數(shù)x，y滿足|x+3|+y?2=0，則代數(shù)式（x+y）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018【變式2-3】已知a，b為實數(shù)，且1+a+1?b=0，則a2022﹣b2023＝【變式2-4】若a?1與|b+2|互為相反數(shù)，則a+bA．1?2 B．2?1 C．2+1【變式2-5】若x，y滿足(x?5)2+y+2=0，則x【變式2-6】已知a、b、c都是實數(shù)，若a?2+|2b?12A．1 B．?23 C．2 D．題型三估算算術(shù)平方根題型三估算算術(shù)平方根【例題3】已知：x＜21＜y（x，y是兩個連續(xù)整數(shù)），則x，A．x＝2，y＝3 B．x＝3，y＝4 C．x＝4，y＝5 D．x＝5，y＝6解題技巧提煉估算a（a≥0）時，首先要確定a的整數(shù)部分，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，得出a在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，從而確定a的整數(shù)部分和小數(shù)部分.【變式3-1】估計40的值應在（）A．4與5之間 B．5與6之間 C．6與7之間 D．7與8之間【變式3-2】如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-3】若x、y為兩個連續(xù)的整數(shù)，且x＜39＜y，則x+y＝【變式3-4】已知x，y為兩個連續(xù)的整數(shù)，且x＜20＜y，則5x+y的值為題型四利用估算比較大小題型四利用估算比較大小【例題4】通過估算，比較下列各組數(shù)的大?。海?）635；（2）810；（3）5?121；（4）3+12解題技巧提煉利用估算比較大小的常用方法有：（1）平方法：兩數(shù)平方后再比較大小；（2）作差法：通過相減判斷得到的差的正負來比較大小；（3）用中間量法比較大小，先找個中間量幫助比較出兩個同分母的分數(shù)的分子的大小，從而確定它們的大小.【變式4-1】比較下列各組數(shù)的大?。海?）120與11．（2）5+1【變式4-2】比較下列各組數(shù)的大?。?）8與10；（2）65與8；（3）5?12與0.5；（4）題型五利用計算器進行規(guī)律探究題型五利用計算器進行規(guī)律探究【例題5】若51.11≈7.149，511.1≈22.608，則A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8解題技巧提煉1、利用計算器探究發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點相應向左（右）移動一位.2、解決此類規(guī)律題，需從兩個方向進行比較，即把被開方數(shù)進行比較，把它們的結(jié)果進行比較，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.【變式5-1】已知2≈1.414，20≈4.472，那么A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2【變式5-2】已知2021≈44.96，202.1≈14.22A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2【變式5-3】已知4.3≈2.0736，43A．0.43≈0.65574 B．430≈C．4300≈20.736 D．43000【變式5-4】（1）觀察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向移動位；（2）應用：已知5≈2.236，則0.05≈，500≈（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，計算240和【變式5-5】根據(jù)下表回答下列問題：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算術(shù)平方根是，268.96=（2）±256=，275.56的平方根是（3）1.5921=，28224=（4）若x=a（x＞0），則100x=（用含題型六算術(shù)平方根的實際應用題型六算術(shù)平方根的實際應用【例題6】某學校有一塊長、寬分別為38m和16m的長方形空地，計劃沿邊建造一個長寬之比為5：3且面積為540m2的長方形標準籃球場，請判斷該學校能否用這塊長方形空地建造符合要求的籃球場？并說明理由．解題技巧提煉算術(shù)平方根在計算幾何圖形的面積問題中應用比較頻繁，利用圖形結(jié)合有關(guān)公式或者數(shù)量關(guān)系列出算式，求出算術(shù)平方根，由所得結(jié)果進行說明.【變式6-1】交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計車輛行駛的速度，他們總結(jié)了一個經(jīng)驗公式：v＝16df，其中v表示車速（單位：千米/時），d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦因數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中，測得d＝25米，f＝1.44，而該路段的限速為80千米/時，肇事汽車當時的車速大約是多少？此車是否超速行駛？【變式6-2】球從空中落到地面所用的時間t（秒）和球的起始高度h（米）之間有關(guān)系式，t=?A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒【變式6-3】將尺寸如圖的4塊完全相同的長方形薄木塊（厚度忽略不計）進行拼擺，恰好可以不重疊地擺放在如圖的甲、乙兩個方框內(nèi)．已知小木塊的寬為2，圖甲中陰影部分面積為19，則圖乙中AD的長為（）A．219+2 B．19+4 C．2【變式6-4】如圖，用兩個邊長為18cm的小正方形紙片剪拼成一個大的正方形，（1）則大正方形的邊長是cm；（2）若將此大正方形紙片的局部剪掉，能否剩下一個長寬之比為3：2且面積為30cm2的長方形紙片，若能，求出剩下的長方形紙片的長和寬；若不能，請說明理由．【變式6-5】閱讀下面對話，然后解答問題：你同意小明的說法嗎？小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的紙片呢？請你通過計算說明．題型七平方根及算術(shù)平方根的認識題型七平方根及算術(shù)平方根的認識【例題7】下列說法正確的是（）A．125的平方根是15 B．﹣C．（﹣5）2的平方根是﹣5 D．0的平方根和算術(shù)平方根都是0解題技巧提煉±a（a≥0）表示非負數(shù)的a的平方根，a（a≥0）表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根.【變式7-1】144的平方根是±12的數(shù)學表達式是（）A．144=12 B．144=±12 C．±144【變式7-2】下列語句中，錯誤的是（）A．14的平方根是±12 B．9的平方根是C．?12是14的一個平方根 【變式7-3】平方根是±13A．13 B．16 C．19 【變式7-4】（﹣6）2的平方根是（）A．6 B．±6 C．±6 【變式7-5】若x+4是4的一個平方根，則x的值為（）A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2【變式7-6】一個自然數(shù)的一個平方根是a，則與它相鄰的上一個自然數(shù)的平方根是（）A．±a?1 B．a(chǎn)﹣1 C．a(chǎn)2﹣1 D．±a題型八求一個數(shù)的平方根題型八求一個數(shù)的平方根【例題8】求下列各數(shù)的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）解題技巧提煉本題運用了定義法，求一個數(shù)的平方根，先把被開方數(shù)化成x2=a的形式，再根據(jù)定義即可求出它的平方根.【變式8-1】求下列各數(shù)的平方根：（1）121；（2）279；（3）（﹣13）2；（4）﹣（﹣4）【變式8-2】求下列各式的值：（1）?196；（2）±254；（3）2?1.75；（4）±題型九利用平方根或算術(shù)平方根的定義求值題型九利用平方根或算術(shù)平方根的定義求值【例題9】若a是（﹣4）2的平方根，b的一個平方根是2，則代數(shù)式a+b的值為（）A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4解題技巧提煉運用平方根及算術(shù)平方根的定義列方程求解，運用方程的思想求相關(guān)待定字母的值是數(shù)學中常用的方法.【變式9-1】已知a的平方根是2m﹣2和4﹣m，a是（）A．36 B．4 C．36或4 D．2【變式9-2】若﹣3xmy和5x3yn的和是單項式，則（m+n）3的平方根是（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8【變式9-3】已知2a﹣1的平方根是±3，b，c滿足|b﹣1|+c+4=0，求a+3b+【變式9-4】若x，y均為實數(shù)，且x?1+1?x+2y﹣【變式9-5】已知3b+3的平方根為±3，3a+b的算術(shù)平方根為5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【變式9-6】已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是6，求a+4b題型十利用平方根解方程題型十利用平方根解方程【例題10】求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．解題技巧提煉先將方程化為ax2=b的形式，再利用平方根的定義求未知數(shù)的值.【變式10-1】求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2【變式10-2】求下列式子中的x：（1）25（x?35）2＝49；（2）12（x【變式10-3】已知a，b滿足|a﹣4|+b?7=0，解關(guān)于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝508平方根隨堂檢測1．3的平方根是（）A．±3 B．±3 C．3