1-§64數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用試題

§6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

—五年高考一

考點(diǎn)數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

1.（2021浙江,10,4分）已知數(shù)列｛對(duì)滿(mǎn)足a=1,“二號(hào)（gN）.記數(shù)列。｝的前〃項(xiàng)和為￡,

則（）

3

A—<5（00<3B.3Vsoo<4

_99

C.4Vs8V5D.5Vsm<5

答案A

2.（2017課標(biāo)〃,15,5分）等差數(shù)列⑸的前"項(xiàng)和為$,*3&二10,則Z.

林定至

口不n+1

3.（2020浙江,11,4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題如數(shù)

歹IJ｛亨｝就是二階等差數(shù)列.數(shù)歹IJ｛"羅｝（代N）的前3項(xiàng)和是.

答案10

O1

4.（2021全國(guó)乙,19,12分）記￡為數(shù)列｛觸的前"項(xiàng)和,A為數(shù)歹iJ｛S｝的前〃項(xiàng)積，已知￡+==2.

⑴證明:數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列；

⑵求｛劣｝的通項(xiàng)公式.

解析⑴證明:由bn=Si-S2??…Sc可得，

僅i,n=1,

bn>2由不+二二2知，

J-.H>Z.Snbn

o1

當(dāng)77=1時(shí)，力32,

S1力

即>5=2,所以

O\bl2

當(dāng)詭2時(shí)，言+柞，

即2a=26mI+L即bn-bni=^,

故數(shù)歹lj｛h，｝是首項(xiàng)為之公差為;的等差數(shù)列.

⑵由⑴知,〃=,+("-l)x|=-^-,

故當(dāng)淪2時(shí),S二擋■二譽(yù)6也符合該式，

?n-ln+1

即S=富(*N),從而3尸S§,

當(dāng)n>2時(shí)，3"二$3」二等-手■二-花不符合該式，

(3.

=1,

所以品二91

/n(n+l),n-2-

5.(2021新高考/,17,10分)已知數(shù)列⑸滿(mǎn)足a尸1,50n+1'?鱉'

an+2,九為偶數(shù).

(1)記"二的，寫(xiě)出匕，仇并求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛a｝的前20項(xiàng)和.

解題指導(dǎo)⑴由已知條件求出｛分｝的遞推式，從而得出｛h｝的遞推式，再由已知條件求出A從

而求出數(shù)列｛A｝的通項(xiàng)公式⑵根據(jù)題目條件把⑸的前20項(xiàng)分成兩組,并用其中偶數(shù)項(xiàng)的和

表示前20項(xiàng)的和，再用數(shù)列｛〃｝的前10項(xiàng)的和表示，根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出結(jié)果.

6.(2021浙江20,15分汜知數(shù)列⑸的前。項(xiàng)和為$?二-：,且4S,尸3$?9(g2.

(1)求數(shù)歹女對(duì)的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛〃｝滿(mǎn)足3A+(/>4)品=0(*N),記｛〃｝的前"項(xiàng)和為小若仁入)對(duì)任意KN.恒成立,

求實(shí)數(shù)久的取值范圍.

解析本題主要考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)

算和邏輯推理等素養(yǎng).

⑴由4s,i=3￡-9,得4s“二3S」-9(成2),

則4a小戶(hù)3金(/侖2),

9

又4(31+次)=3己-9,鼻二-下所以4次二3a,

所以⑸是以《為首項(xiàng)尚為公比的等比數(shù)列，

因此a=-3x(m.

(2)由題意得"二(〃-4)x(gn

則父.力沁2N(滬??+(/⑷唔廣

%=G3)x(滬")*(滬+("一4)"(滬：

兩式相減得小_3)*(丁+伊++()34)唔廣，

所以由題意得_4小停)"，(止4”停丫恒成立，所以(a3)〃⑷沁

記X〃)=(a+3)/7-4/l(A7eN),

所以能)瑟°，解得-3m

7.(2020課標(biāo)/,17,12分)設(shè)｛*是公比不為1的等比數(shù)列,a為%&的等差中項(xiàng).

⑴求｛3〃｝的公此

⑵若己二1,求數(shù)列｛/7小｝的前77項(xiàng)和.

解析⑴設(shè)｛d｝的公比為g,由題設(shè)得23尸a+a,即2a=aq+aq2所以d+。-2=0,解得g二1(舍

去)0二-2.

故3｝的公比為-2.

(2)記￡為｛。對(duì)的前〃項(xiàng)和.由⑴及題設(shè)可得0=(-2)~

所以5>l+2x(-2)+-+/?x(-2)fl-1,

-2S=-2+2x(-2)2+「+("-l)x(-2廣】+/7x(-2)；

可得3$二1+(-2)+(-2)2+…(-2)”L〃X(-2)"

/小_2)”.所以S鏟平紅

8.(2020天津,19,15分汜知｛a｝為等差數(shù)列,｛4｝為等比數(shù)列,鼻=力=1,金=53-金),6=4(&-甸.

⑴求｛同和｛〃｝的通項(xiàng)公式;

⑵記｛員｝的前〃項(xiàng)和為S.,求證5SG2<SMI(/TGN);

2.（2012課標(biāo)文,12,5分）數(shù)列⑸滿(mǎn)足加汗（」）⑸=2止1則｛品｝的前60項(xiàng)和為（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

答案D當(dāng)。二24時(shí)，協(xié)1+9=4k1,

當(dāng)n=2k-l時(shí)?一1二4々-3,

=2,賓*??1+如.3=2,

??a?h1=a2K3，

-?a二比二…二次L

?'?a+&+a++小二（2+a）+（a+&）+",+（歆+麗）=3+7+11+

+（2x60-1）二空第6二30x61=1830.

3.（2019浙江,10,4分）設(shè)aZ）eR,數(shù)歹ij｛a，｝滿(mǎn)足品二aa,，i=成+b,/7sN'，則（）

A.當(dāng)H口寸,施＞10B.當(dāng)b］時(shí),外＞10

C當(dāng)b=-2時(shí),赤＞10D.當(dāng)b=-4時(shí),4。＞10

答案A本題以已知遞推關(guān)系式判斷指定項(xiàng)范圍為載體，考查學(xué)生挖掘事物本質(zhì)以及推理

運(yùn)算能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算;體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，創(chuàng)新思維的應(yīng)用.

令尸斗,即。工+匕=a,即Q〉a"+b=0,若有解，

貝IJ/二1-4辰0,即

???當(dāng)其時(shí)自二坦苧亞小N；

即存在尾，且3二呼生或誓”使數(shù)列⑸為常數(shù)列，

B、C、U選項(xiàng)中，居（成立:故存在a二筆運(yùn)＜10,

使多二駕至（KN）,排除B、C、D.

對(duì)于A(yíng),???丹,「?合二a吟*0殲黑聲界3啕飛老，

3（濟(jì)決＞（三2＞（軟，

642

而年）64二（1+^）=l+Q4x±+C24x（±）+...=l+4+f+-＞10.&A0＞10.

4（2018江蘇,14,5分）已知集合/二伊后2"-1展|\11,族｛4廠(chǎng)21大1\1｝.將加8的所有元素從小

到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛a｝.記S為數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和,則使得S.>12az成立的〃的最小

值為.

答案27

解析本題考查數(shù)列的插項(xiàng)問(wèn)題.

設(shè)4=2〃-1,&二21KN；

當(dāng)4<8<4"（左定N'）時(shí)，

2hl<2'<24+1,有得<2'"<々+瓢k=*

設(shè)「二4+4**—n/lzLi+81+笈+…+8,

則共有4+7=2"+/個(gè)數(shù)，即7；=S2L1+/1

而4+4+…=2xi一；2'-1*2-=22代

3+8+…+8=”學(xué)二2修-2.

則上220+2"-2,則的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

/T,n3^112az

132336

2104560

33079108

4941217204

53182133396

611503865780

觀(guān)察到上5時(shí),7^S】〈12刎片6,4SB>12加

則?。?2,38）,/7eN,時(shí)，存在〃，使5212多人

此時(shí)"=4+4+…+46+8+4+83+A+&

則當(dāng)值［22,38）,獷N.時(shí),*石+.22+1）（：22-5+4-5）二層10C+87

12^I=12[2(/7-4)-1]=24Z?-108,

S.-12a^i=/72-34z?+195=(/?-17)2-94,

貝IJ能27時(shí),S-12&n>0,即/7mn=27.

5.(2014安徽理,12,5分)數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，若a+l,a+3,a+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則

0--

答案1

解析設(shè)｛a，｝的公差為4,貝IJ科+3=a+l+2d+2,京+5=a+l+4d+4,由題意可得

(a+3)J(a+D(次+5).

???[(a+l)+2(d+l)r=(a+D[(a】+l)+4(d+l)],

(a+l)2+4(d+l)(a+1)+[2(d+l)]J(a+iy+4(a+l)(d+l),cf=-l,^a+3=a+1,公比

6.(2020江蘇,11,5分)設(shè)｛觸是公差為d的等差數(shù)列,｛h｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列

3+4｝的前。項(xiàng)和S=rf-r?+2'-1(neN'),IjlIJd+q的值是.

答案4

解析設(shè)數(shù)列⑸的首項(xiàng)為a,數(shù)歹ij｛〃｝的首項(xiàng)為A易知0*1,則｛a+h)的前n項(xiàng)和

Sn=nai+d+33標(biāo)普/3=/72-^+2'?-1,g二L產(chǎn)2,則

zi-q2\1-Qi-q2

片2,<7=2,."+q=4.

7.(2020課標(biāo)/文,16,5分)數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足a2+(-1)⑵二3Q1,前16項(xiàng)和為540,則a尸.

答案7

解析令/?二2《住N),則有&奸2+生產(chǎn)6hl(AeN),

「?比+a=5,分+用=17,aio+6i2=29,ai4+816=41,

???前16項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶=5+17+29+41=92,

前16項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇二540-92=448,

令/?二2卜1(住2),則有取一1-的」二6七4(住1\1)

勃?Ldi=(a-a)+(,-㈤+(4-次)+…物-1)=2+8+:4+…+64-4二惚等速=M3h1)(Rw

N),

?二二川3hl)+a(AeN),

.,.(^=2+51,<^=10+ai,a；=24+<?i,(^=44+ai,^n=70+ai,ai3=102+^i,ai5=140+51,

???前16項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)和5奇=a+&+…

+315=8a+2+10+24+44+70+102+140=8a+392=448.二.a=7.

8.(2015江蘇理,11,5分)設(shè)數(shù)列⑸滿(mǎn)足a=l,且a,.La=，+l(/7eN)測(cè)數(shù)列｛J前10項(xiàng)的和

為.

答案n

解析由已知得,52-51=1+1,33-52=2+1,34-a3=3+1,......,3n-3n.i=n-l+l(nN2),則有

a?a=1+2+3+…+/?-1+(〃-1)(屬2),因?yàn)閍=L所以品=1+2+3+…+/X廬2),即品二叱2),又

當(dāng)n=l時(shí)所1也適合上式，故含二空(〃cN),所以臺(tái)島二2&-左),從而為》扛…

+i=2x(14)+2x(rl)-2x(r5)+,+2x(^-H)=2x(1-H)=iT-

9.(2017課標(biāo)/〃文,17,12分)設(shè)數(shù)列?｝滿(mǎn)足a+3/+??+(2/7-l)a二2〃

(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹|J｛磊｝的前〃項(xiàng)和.

解析(1)因?yàn)榈?32+…+(2〃-1)①=2。,故當(dāng)點(diǎn)2時(shí)，

ai+3a>+-+(2/7-3)a?.i=2(/7-l).

兩式相減得(2〃-l)a尸2.

所以/二/(松2).

又由題設(shè)可得3尸2,

從而3｝的通項(xiàng)公式為

ZH-1

⑵記｛磊｝的前〃項(xiàng)和為￡.

由⑴知2n：i=（2n+lX2n-l廣^T2n+1

111

則+11_2n

3-3-5-

+-2?i-l2?i+l2?i+r

思路分析（1）條件a+3a+...+（2〃/）/二2〃的實(shí)質(zhì)就是數(shù)列｛（2止1）品｝的前c項(xiàng)和，故可利用

a與$的關(guān)系求解.⑵利用⑴求得的｛aj的通項(xiàng)公式然后用裂項(xiàng)相消法求和.

易錯(cuò)警示（1）要注意。二1時(shí)，是否符合所求得的通項(xiàng)公式;（2）裂項(xiàng)相消后,注意留下了哪些項(xiàng),

避免遺漏.

10.（2016課標(biāo)〃文17,12分）等差數(shù)列⑸中向+a尸4自一行6.

⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)"=［編,求數(shù)列｛〃｝的前10項(xiàng)和，其中［乂表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如［0.9］=0,［2.6］=2.

解析⑴設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為〃由題意有2a+5啟4,a+5q3.

解得鼻二1,片|?（3分）

所以3，｝的通項(xiàng)公式為劣二等.（5分）

（2）由（1）知,4二［誓斗.（6分）

當(dāng)"二1,2,3時(shí),14尊〈2,6尸1；

當(dāng)〃二4,5時(shí),24勺坦＜3,4=2；

當(dāng)〃二6,7,8時(shí),3〈誓＜4,&=3；

當(dāng)n=9,10時(shí),44喈＜5,2=4.（10分）

所以數(shù)列｛〃｝的前10項(xiàng)和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.（12分）

評(píng)析本題考查了等差數(shù)列，同時(shí)對(duì)考生的創(chuàng)新能力進(jìn)行了考查，充分理解3的意義是解題

的關(guān)鍵.

11.(2016浙江文,17,15分)設(shè)數(shù)列｛對(duì)的前〃項(xiàng)和為S.已知S=4,3X2S+1,/7GN：

⑴求通項(xiàng)公式3；

⑵求數(shù)列｛⑶-止2|｝的前77項(xiàng)和.

解析⑴由題意瞰;繆貝噫2

又當(dāng)Z7>2時(shí)，由a.】-a=(2S+l)-(2S/+l)=2a“

所以，數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a二3叱KN：

⑵設(shè)〃尸|3"匚/7-2|,后此則bi=2,bz=l.

當(dāng)?shù)?時(shí)，由于3日>〃+2,故A=3mLa-2,后3.

設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為九則5二2,而二3.

當(dāng)點(diǎn)3時(shí),匚二3+卡-史登二5普之

1-34L

(2,n=1,

所以〃斗3n.“2_5n+ll

(--------,n>2,n￡NA.

易錯(cuò)警示⑴當(dāng)慶2時(shí)彳導(dǎo)出a”i=3a,要注意a與a是否滿(mǎn)足此關(guān)系式.

⑵在去掉絕對(duì)值時(shí),要考慮n=l,2時(shí)的情形.在求和過(guò)程中，要注意項(xiàng)數(shù)，最后7、要寫(xiě)成分段函

數(shù)的形式.

12.(2016北京文,15,13分)已知｛小｝是等差數(shù)歹iJ,｛A｝是等比數(shù)歹IJ,且打二3公二9a二為加工兒

⑴求｛a,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)0)=3”+6”,求數(shù)列｛尋的前〃項(xiàng)和.

解析⑴等比數(shù)列｛△｝的公比啟智=3,(1分)

所以b巧二Lh二小干27.(3分)

設(shè)等差數(shù)列｛*的公差為d.

因?yàn)榱佣?二1,五戶(hù)八二27,

所以1+13片27,即片2.（5分）

所以<9n=2/7-l(/?=l,2,3,-).(6分)

(2)由(1)知，小二2〃-l,A二3領(lǐng)

因此G二品+4=2。-1+3"±(8分)

從而數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和

*1+3+…+（2〃-1）+1+3+-+3””

_n（l+2n-l）1-3”

-2+TT

二仔+?.（13分）

規(guī)范解答要規(guī)范解答過(guò)程，分步書(shū)寫(xiě)，這樣可按步得分.

13.（2016山東，理18,文19,12分）已知數(shù)列⑸的前〃項(xiàng)和Sx3k+8/7,｛h｝是等差數(shù)列，且

a?二Zz?+bn^i.

（1）求數(shù)列｛A｝的通項(xiàng)公式；

⑵令G二筌黑，求數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解析（1）由題意知，當(dāng)n>2時(shí)0=￡-SM=6小5.

當(dāng)/7=1時(shí)⑶=S=ll,所以為=6/7+5.

設(shè)數(shù)列｛〃｝的公差為d.

(a.=b.+b2(11=2b.+d,

=匕2+匕3，117=2bl+3d,

可解得)二4,43.所以匕產(chǎn)3/7+1.

⑵由⑴知Q二零票=3("+1>2-.

又〃=G+Q+…+Q,

23n+1

得T；=3x[2x2+3x2+-+(/7+l)x2],

27；=3x[2x23+3x24+--+(A7+l)x2n+2],

兩式作差，得-7；=3乂[2*22+2、2。-+2*(e1))<2力

=3x(4+與3-(n+l)x2n+2]=-3n-2"\

L1-Z

所以「二3斤2a

方法總結(jié)若某數(shù)列的通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)的積或商，則該數(shù)列的前〃項(xiàng)和可

以采用錯(cuò)位相減法求解，注意相減后的項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

評(píng)析本題主要考查了等差數(shù)列及前"項(xiàng)和，屬中檔題.

14.(2016天津,18,13分汜知｛aj是等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為且#63.

。2。3

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵若對(duì)任意的是1叫必和1附加的等差中項(xiàng),求數(shù)列｛(?1)解｝的前2〃項(xiàng)和.

解析⑴設(shè)數(shù)列｛d｝的公比為0由已知，有?焉二品，解得尸2,或<7=-1.

1n61_?6

又由金二a?丁1-Q7=63,知所1-Z以a?不-二63,得a=1.所以&二2.

⑵由題意，得b”Wlog2a,+log2&T)=31叫2"i+log22')="-；,

即｛〃｝是首項(xiàng)為;,公差為1的等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛(-1)“星｝的前〃項(xiàng)和為心則

方”=(-皆+班)+(-園+*)+…+(-b泰.1+%)

評(píng)析本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基

本方法和運(yùn)算求解能力.

15.(2015福建文,17,12分)等差數(shù)列｛a｝中0=4屬+川15.

(1)求數(shù)列｛品｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)2=232+”,求《+⑤+%+…+/的值.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列3｝的公差為d

rhp知得+d=4,

由DN行〔(％+3d)+(%+6d)=15,

解得｛建;，

所以/二a+(〃-l)d=。+2.

(2)由(1)可得A=2"+〃

所以打+5+公+…+A)=(2-1)+(2,2)+(23+3)+-+(210+10)

=(2+2?+2、…+2。+(1+2+3+…+10)

_2(1-210)(14-10)X10

=~T2~+-2-

=(2n-2)+55

=2ll+53=2101.

評(píng)析本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

16.（2015課標(biāo)/理,17,12分）5為數(shù)列⑸的前。項(xiàng)和.已知劣＞0星+2%=4S.+3.

（1）求｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)以二士，求數(shù)歹如勾的前〃項(xiàng)和.

anfln+l

解析（1）由W+2a=4￡+3,可知a"”23ml=4$

可得忌+2(aMi-a)=4a?i,即

2(a?i+品)=a"1-W二(a-+a,)(a”1-a).

由于3c>0,可■(導(dǎo)3rt?1-a”二2.

又。什24二4a+3,解得a=-1（舍去）或a=3.

所以｛?。鞘醉?xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為》2。+1.（6分）

⑵由我二2〃+1可知

"一如演+1-(2"+1乂2?1+3)-2Q71+I2n+3)

設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為《則

Tn=+bn

=3(2n+3),(12分)

17.(2015安徽文,18,12分)已知數(shù)列｛小｝是遞增的等比數(shù)列，且a+a=9,生玲8.

⑴求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)￡為數(shù)列｛3〃｝的前〃項(xiàng)和,A二青求數(shù)歹iJ｛A｝的前。項(xiàng)和Tn.

月+1

解析⑴由題設(shè)知?金=8,

又』+*9,可解得域吃三'(舍去).

由a=a1得公比為Q=2,故/二2。'"二2"二

(2)$二^^二2〃-1，又二視-9，

所以*匕+&+???+"=集々)+售④+…+6-±)4-士

評(píng)析本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及等比數(shù)列性質(zhì)，等比數(shù)列求和.

18.(2015天津理,18,13分)已知數(shù)列｛a,｝滿(mǎn)足a,eqa,《q為實(shí)數(shù)，且(T*1),KN；8I=10=2,且

a+a,a+aq,2+a成等差數(shù)列.

⑴求°的值和｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)"二黑N相N；求數(shù)列｛〃｝的前77項(xiàng)和.

a2n-l

解析⑴由已知，有(a+a)-(a+a)=(a+a)-(a+a),即a-a二慶-我，

所以侖(q-1)二急(q-1).又因?yàn)樘?,故a二加2,

由a二aq,得7=2.

當(dāng)/7二2卜1(依2)時(shí),3”=32.尸2""二2亍;

當(dāng)/?二24AeN)時(shí),a二注戶(hù)2二22

（n-1

所以，⑸的通項(xiàng)公式為品=]2；，n為奇數(shù)

2'n為偶數(shù).

log2a2n_

(2)由(1)得bn=卡?.設(shè)｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S,則S=lx/+2x/+3x/+…

+(/"/)x產(chǎn)1+〃x尹1,

版=lx/+2x^+3x*+…+(=-l)x/+/7X表

上述兩式相減，得

1c1111n°環(huán)n-2n

師校尹十尹-正4汽2-?,

整理得,$二4-*!.

所以，數(shù)歹?｝的前"項(xiàng)和為4-籬wN：

評(píng)析本題主要考查等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)列求和的基

本方法、分類(lèi)討論思想和運(yùn)算求解能力.

19.（2015山東文,19,12分汜知數(shù)列⑸是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列by｝的前〃項(xiàng)和為

2n+l*

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)以二（品+D2也求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解析（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d

令E得自4

所以a?二3.

令〃:2,得自十高q

所以丹23二15.

解得ai=l,cf=2,

所以%=2/7-1.

2nln

(2)由(1)知bn=2rr2'=rr41

所以7；=1-41+2-42+-+/7-4，,

所以4〃=Q42+2d+…+/T4";

兩式相減，得-37>4、42+…+4”"4Gl

共2

l-3n.mi4

---x4一一

33

所以7；二個(gè)

20.（2015浙江文,17,15分）已知數(shù)列⑸和｛A｝滿(mǎn)足a=2,*l/尸2a依N）,匕+如+/+???

+-/?/,=1(/76N).

(1)求"與bn\

（2）記數(shù)歹ij｛ahj的前"項(xiàng)和為求Tn.

解析6由出2,82二2我得/二2"（后2）.

由題意知:

當(dāng)/7=1時(shí),Zh=/fe-l,故bz-2.

當(dāng)松2時(shí)3A二A-1-A,整理得整匚勺,

nn+1n

所以bn=n(neH).

n

(2)由(1)知anbn=n-2,

因此7；=2+2-22+3-23+-+/r2",

27；=22+2-23+3-2，,+-+n-2/,rl,

23rtn+1

所以Tn-27L=2+2+2+-+2-fr2.

故故(/7-l)2"1+2(/7eN).

評(píng)析本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差和等比數(shù)列理礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)列求和等基本

思想方法以及推理論證能力.

21.(2015湖北文19,12分)設(shè)等差數(shù)列｛a。｝的公差為d前/?項(xiàng)和為S。,等比數(shù)列｛〃｝的公比為

q.已知th=a\h=2,q=d5/100.

⑴求數(shù)列⑸，⑻的通項(xiàng)公式;

⑵當(dāng)d>l時(shí)，記”詈,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和Tn.

°n

10%4-45d=100+9d=20,

解析(1)由題意有，

ard=2,即卜屈=2,

a=i(2n+79),

解得郎工’或｛；：(故a=2n-ln

bn=2n'\或

n…(曠?

⑵由內(nèi)1,知a=2"-1,6”=2叱故G二箝,

-T-=T--35792n-l公

于是，=1+'+/+尹+尸+…+尹，T

1.i35/y

T/尹+聲+…+z^nr-1.②

①-②可得

1--1112n-l_2n+3

/=2+?+理+…+尹-丁=3-丁

2n+3

故Tn=6-

22.(2014湖南文16,12分汜知數(shù)列3｝的前“項(xiàng)和S二等小N：

(1)求數(shù)列｛3｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)32。+(-1)%,求數(shù)列｛〃｝的前2/7項(xiàng)和.

解析⑴當(dāng)/7二1時(shí)方尸S=l；

當(dāng)淪2時(shí)，①二S-Sz二等嗎生%〃

故數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式為

⑵由⑴知力“=2"+(-1)7,記數(shù)列｛2｝的前2/7項(xiàng)和為七，則氏=(2i+2?+T2?3+(-l+2-3+4-…

+2/7).

2n

記/二2%22+?一+2218=-1+2-3+4-…+2”,貝IJA=^-^=22nrl-2,

1-Z

夕(-1+2)+(-3+4)_1—1-[-(2/7-1)+2/7]—77.

故數(shù)列｛〃｝的前2"項(xiàng)和T^A+B^+n-2.

評(píng)析本題考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列求和等知識(shí)，含有(-1)”的數(shù)列求和要注意

運(yùn)用分組求和的方法.

23.(2014課標(biāo)/文,17,12分汜知｛a｝是遞增的等差數(shù)列00是方程戈-5/6:0的根

⑴求｛a,｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)歹般?｝的前〃項(xiàng)和.

解析⑴方程六5戶(hù)6二0的兩根為2,3,由題意得^=2,^=3.

設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,則正注二2a故心；,從而aj.

所以3J的通項(xiàng)公式為a，W〃+l.

⑵設(shè)俁｝的前〃項(xiàng)和為s“油⑴知患二苗彳,則

「34n+1n+2

$行+尹+…+亍+^71，

1_34n+1n+2

言+不+…+嚴(yán)+嚴(yán).

31(.1\n+2

-尹卜嚴(yán)?

所以Sc=2-5善.

評(píng)析本題考查等差數(shù)列及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前刀項(xiàng)和，第⑴中由條件求首項(xiàng)、公差,

進(jìn)而求出結(jié)論是基本題型第⑵問(wèn)中，運(yùn)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵.

24.(2014安徽文,18,12分)數(shù)歹女乩｝滿(mǎn)足鼻二1,""戶(hù)(。+1)3/雙。41),獷^\11

⑴證明:數(shù)列｛智是等差數(shù)列；

⑵設(shè)"二3"?周,求數(shù)列向的前〃項(xiàng)和S...

解析⑴證明:由已知可得署二票+1,即警

所以｛"是以;二1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴得竽1+S-DlR,所以a^rl.

n

從而bn=rr3.

S=l-31+2-32+3-33+-+/?-3；①

3S=l-32+2-33+-+(r7-l)-3?+r7-3^②

①-②得-2￡=3]+32+-+3"3"】

3(1-3n)nH_(l-2n)3n+1-3

1-3"/ro3-2"

所以.二空吟2

評(píng)析本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，解題時(shí)利用題⑴提示對(duì)

遞推關(guān)系進(jìn)行變形是關(guān)鍵

25.(2014山東文19/2分)在等差數(shù)列⑸中，已知公差G2,a是a與a的等比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)以二Qn(n+1),記〃=-/?1-3以+八-…+求Tn.

2

解析(1)由題意知(a+功1a(4+32，

即(a+2)Ja(a+6),

解得ax-2,

所以數(shù)列｛對(duì)的通項(xiàng)公式為a.=2n.

(2)由題意知bn—fln(n-H)=/X1).

2

所以7；=-lx2+2x3-3x44--+(-lf/7x(/?+l).

因?yàn)閎zi-bc=2(〃+l),

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

乙二(-匕+6+(-h+a)+-+(-〃1+甸

=4+8+12+…+2/7

_g(4+2n)

一2-

_n(n+2)

一_2~，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

Tn—Tn-1+(-bj

T±2.+1)

_(n+球

--2,

,CI,r(-喈,n為奇數(shù)，

所以Tn=\

警,n為偶數(shù).

評(píng)析本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，分類(lèi)

討論思想和邏輯推理能力

26.(2013課標(biāo)/文,17,12分)已知等差數(shù)列｛a｝的前/7項(xiàng)和S滿(mǎn)足Sk0S=-5.

(1)求｛劣｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列Ln；/的前"項(xiàng)和.

解析⑴設(shè)｛a，｝的公差為"廁￡二出】+型手d

由已知可得I；；】t一°,q解得

VDUj-T1vu-

故｛?。耐?xiàng)公式為^=2-/7.

(2)由(1)知--------(7"三一

a2n-la2n+l(3-2n)(l-2n)2\2n-32n-l/

從而數(shù)列IT—1的前〃項(xiàng)和為

1(1111,,11：n

2-11132n-32n-l\-2n

評(píng)析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式，考查了裂項(xiàng)求和的方法,考查了運(yùn)算求

解能力與方程思想.

27.(2011課標(biāo)理,17,12分)等比數(shù)列3｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a+3行1屆工業(yè)外

⑴求數(shù)列3｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè))=log3a+log3a+…+Iog3a,,求數(shù)列目的前〃項(xiàng)和.

解析(1)設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q.由送二9a決得送二9Q：,所以，二今

由條件可知農(nóng)0,故Q=1.

?J

由251+3^=1得23i+3a<7=l,所以a1

故數(shù)列⑸的通項(xiàng)公式為

(2)dn=log35i+log3^+-+log3^=-(l+2+-+/7)

n(7i+l)

2

..12_

(W——―-2

%nn(n+l)乙言),

111

萬(wàn)+LF-2+…+&W)L番

所以數(shù)歹1J闔的前〃項(xiàng)和為-券

評(píng)析本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和的基本方法，屬容易題.

28.(2020課標(biāo)///文,17,12分)設(shè)等比數(shù)列⑸滿(mǎn)足a+a=4,a-a尸8.

⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵記￡為數(shù)列｛logsa，)的前〃項(xiàng)和,若Sn+S.尸S”3,求m.

解析⑴設(shè)｛d｝的公比為q,貝IJan-aiq\

由已知得U二:'解得ai=l,<7=3.

luiQ-Ui—o.

所以｛時(shí)的通項(xiàng)公式為劣二3“二

(2)由(1)知logsa=。-1.故S,二"；I

由=得/7?(/77-1)+(/7?+1)/77=(/7?+3)(/7?+2),

即5/77-6=0,解得m=-1(舍去)或777=6.

29.(2020浙江,20,15分)已知數(shù)歹｛〃｝,｛&｝滿(mǎn)足3尸八二。二l,c〃二%尸念a,/7eN：

⑴若｛〃｝為等比數(shù)歹％公比q>0,且匕十八二6優(yōu)求q的值及數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

⑵若｛〃｝為等差數(shù)歹IJ,公差6>0,證明:Q+Q+G+…+GV1+，*N：

解析本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).

⑴由5+A=6公得1+q二0,

解得

由?！?1-4c,得。“一4el.

由a+1-a二4""得3〃二昂+1+4+…+4"2=4+2

⑵證明:由C3六G得a二苦著寧仁-￡)，

所以O(shè)+Q+C+…+G=拶（1-十）.

由—得6Q0,因比G+Q+―+/N..

30.(2020江蘇,20,16分)已知數(shù)列｛8｝(*N)的首項(xiàng)a，前〃項(xiàng)和為S.設(shè)久與攵是常數(shù)若對(duì)

一切正整數(shù)。，均有s：+1-s強(qiáng)成立，則稱(chēng)此數(shù)列為3/數(shù)列?

⑴若等差數(shù)歹Ij｛aj是"R~r數(shù)列，求X的值；

⑵若數(shù)列⑸是“要2”數(shù)歹生且a>0,求數(shù)列⑸的通項(xiàng)公式；

⑶對(duì)于給定的人是否存在三個(gè)不同的數(shù)列3)為“~3”數(shù)列，旦內(nèi)>0?若存在，求久的取值范

圍;若不存在，說(shuō)明理由.

解析本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、

轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.

(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛對(duì)是數(shù)列，則Sx-Sk加…即全尸/Ui

也即(31)加尸0,此式對(duì)一切正整數(shù)〃均成立.

若4*1,則1—0恒成立，故a-a=0,而二-1,

這與｛a｝是等差數(shù)列矛盾.

所以Ml.(此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“17”數(shù)列)

⑵因?yàn)閿?shù)列⑸(*N)是哼-2"數(shù)列，

解得2=2,即屬=2,也即蜉=4,

所以數(shù)列⑸是公比為4的等比數(shù)列.

M-D

(nX'

因?yàn)镾二a二1,所以5=4"1則a?-3>2

4n-2(n-

⑶設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛aj（代N）為＞~3”數(shù)歹（

貝Us4rS：=,即海二4

因?yàn)閍d,而a=1,所以SLO,貝=L、

令挎:則c”-l二戒泮I（cNl）,即二萬(wàn)（曙l）（c啟1）.（*）

①若在0或上1,則（*）只有一解為c”=L即符合條件的數(shù)列3｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1.0A0,-）

②若久＞1,則（"）化為（*-D（W+警％+1）=0,

因?yàn)?。后L所以或+巖a+l＞0,則（*）只有一解為G尸1,

即符合條件的數(shù)列｛/｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1,0,0?！?/p>

③若0＜水工則或+分公+1=0的兩根分別在（0,1）與（1,+劃內(nèi),則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1

的解:其中一個(gè)為L(zhǎng)另一個(gè)大于1（記此解為r）.

所以￡,1=Sc或=fSn.

由于數(shù)列｛$｝從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列｛￡｝有無(wú)數(shù)多個(gè)則對(duì)

應(yīng)的｛①｝有無(wú)數(shù)多個(gè).

綜上所述,能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛襯為＞~3”數(shù)列/的取值范圍是Ov/kl.

31.（2019課標(biāo)〃文,18,12分汜知｛a.J是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,3尸2,后2a+16.

⑴求｛a,｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)以二logza,求數(shù)歹ij｛2｝的前〃項(xiàng)和.

解析本題主要考查等比數(shù)列的概念及運(yùn)算、等差數(shù)列的求和;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;體

現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

⑴設(shè)⑸的公比為q,由題設(shè)得2，=4g+16,即q?-2q-8=0.

解得。二-2(舍去)或q=4.

因此3J的通項(xiàng)公式為^=2xr1=22nl.

(2)由(1)得A=(2"-l)log72=2〃-l,因此數(shù)歹ij｛2｝的前〃項(xiàng)和為1+3+-+2/7-1二吊

32.(2019天津文,18,13分)設(shè)?｝是等差數(shù)列,｛端是等比數(shù)歹k公比大于0.已知

a二5二3,匕?二=4a+3.

⑴求｛為和｛4的通項(xiàng)公式;

Ln為奇數(shù)，、

⑵設(shè)數(shù)列匕｝滿(mǎn)足。二加,n為偶數(shù)求aG+ao+…+a〃Gc(/7eN).

2

解析本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)考查

數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).滿(mǎn)分13分.

⑴設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為d等比數(shù)列｛〃｝的公比為q.

依題意，得“;黑解瞰翼

故多=3+3(/?-1)二3〃6二3>：3"-二3".

所以,｛品｝的通項(xiàng)公式為對(duì)3〃,｛A｝的通項(xiàng)公式為331

(2)&Q+&Q++&2nC2n

=(必+分+濟(jì)+.??+4/>1)+(&/7+次4+次公+???+&“/7〃)

=[nx3+粵辿x6]+(6x31+12x32+18x33+-+6f7x3T

=3/72+6(lx31+2x32+-+/?x3n).

12n

記7；=lx3+2x3+-+/7x3>?

貝IJ37>lx32+2x33+…+/7X3叱②

②-①得,2-3-32-33-…S+,x3F-^p+"x3f化小1)r+3

1-3/

2

所以,aa+aG+…+如篇=3#+6Tn=3n+3x空當(dāng)-4j=(2n-l)3+6n+9^y

思路分析(1)利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差a公比q即可.(2)利用匕｝的通項(xiàng)公

式，進(jìn)行分組求和,在計(jì)算差比數(shù)列時(shí)采用錯(cuò)位相減法求和.

解題關(guān)健根據(jù)〃的奇偶性得數(shù)列｛CM勺通項(xiàng)公式,從而選擇合適的求和方法是求解的關(guān)鍵.

33.(2019江蘇,20,16分淀義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

⑴已知等比數(shù)列3｝(代N)滿(mǎn)足:比3尸況尸0,求證:數(shù)列⑸為"M-數(shù)列”；

⑵已知數(shù)列｛2｝(KN)滿(mǎn)足很二?-言「其中S.為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

①求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)。為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”｛G｝(KN),對(duì)任意正整數(shù)由當(dāng)左。時(shí)渚除人成

立，求m的最大值.

解析本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、

轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分16分.

⑴設(shè)等比數(shù)列⑸的公比為g,所以A0,廳0.

由圖晨小。得囂溜:：弧=。解嘴翼

因此數(shù)列⑸為“M-數(shù)列”.

(2)①因?yàn)?二專(zhuān)-a,所以匕聲0.

由5二LS二di,得彳二彳-廣貝IJbz=2.

11￡)2

由麥?zhǔn)空嫉肧尸

2（b“+i-0J

當(dāng)位2時(shí)，由段金,得3--bn-\bn

2（41-以-1）'

整理得bm\W2bn.

所以數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

因此，數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式為…刖.

②由1知,△=%住N：

因?yàn)閿?shù)列｛。｝為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為4,所以。=L字＞0.

因?yàn)樾∷詑*七左q：其中拄1,2,3,…,777.

當(dāng)代1時(shí)，有廬1；

當(dāng)仁2,3,…,m時(shí),有理Ing答.

設(shè)仙）二號(hào)缶1），則f（加亨.

令〃*）=0,得A=e.列表如下：

X(l.e)e(e,+8)

/w+0■

G)7極大值、

muIn2In81n9In3RC|S.4aIn3

因?yàn)楱揨二工O＜式O二O不所以佝°而二4J3）二才

取q=V5,當(dāng)C12345時(shí)，華"Inq,即左g：經(jīng)檢驗(yàn)知力必也成立.

因此所求。的最大值不小于5.

若加6,分別取代3,6,得3/3,且心6,從而4%243,且染4216,所以。不存在.

因此所求人的最大值小于6.

綜上，所求。的最大值為5.

34（2018北京文,15,13分）設(shè)｛2｝是等差數(shù)列，且a.=ln2傳+力=51n2.

⑴求｛a,｝的通項(xiàng)公式；

（2）^efll+ea2+-+e＜，n.

解析（1）設(shè)｛2｝的公差為日

因?yàn)閍+a=5ln2,

所以2a+3a51n2.

又ai=ln2,所以aIn2.

所以3“—(〃-l)a=dn2.

⑵因?yàn)閑%二和二2s=0"-小二42二2,

所以任所｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

aia2a,ln

PJTWe+e+-+e=2x1--4-=2(2-l).

35.(2018江蘇,20,16分)設(shè)｛a,｝是首項(xiàng)為外公差為d的等差數(shù)列,｛2｝是首項(xiàng)為A公比為q的

等比數(shù)列.

(1)設(shè)立=0,/?!=1,廣2,若|3,二八產(chǎn)匕對(duì)"=123,4均成立，求d的取值范圍；

⑵若a二八>0,林2,行(1「2］,證明:存在關(guān)R,使得⑶-h|?b：對(duì)〃=2,3,?,?,//?+1均成立，并求d

的取值范圍(用b：,m,q表示\

解析本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、

轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.

(1)由條件知3=2"

因?yàn)閨a-〃產(chǎn)〃對(duì)『二123,4均成立，

即［S-l)d-2"?恪1對(duì)<7=1,2,3,4均成立.

即1父,1《/3,3《2d5,7?3d9,得太垮

因此”的取值范圍為［制.

⑵由條件知:品=七+(/7?i)dA=七4".

若存在於R,使得向也必(。=2,3,…,m+l)均成立，

即+114dl(〃=2,3,…,/77+1).

即當(dāng)/7=2,3,-,/77+1時(shí)”滿(mǎn)足哈公名).

n-1n-1

因?yàn)?(1，版］,

所以l<g"［WM2,

從而空亡法1>0,對(duì)77=2,3,-,/77+1均成立.

H-1H-1

因此，取片0時(shí)對(duì)。=2,3,…,6+1均成立.

下面討論數(shù)列｛*｝的最大值和數(shù)列｛魯｝的最小值(〃二2,3，…

①當(dāng)2f時(shí),30二業(yè)工強(qiáng)哈盧

nn-1n(n-l)n(n-l)

當(dāng)1<d時(shí)，有qMq"M2,

從而n(qn-<7nl)-Q+2>0.

因此，當(dāng)2g質(zhì)m+1時(shí)，數(shù)列｛哈斗單調(diào)遞增，

故數(shù)列｛若｝的最大值為一.

②設(shè)XM=2'(1-M，當(dāng)x>0時(shí)J(吊二(In2-1-Aln2)2"<0.

所以lx)單調(diào)遞減，

從而仆)<(0)=1.

qn,

當(dāng)”灰。時(shí),色二等a7(i4AG)<L

n-l

因此，當(dāng)24底。+1時(shí)，數(shù)列｛魯｝單調(diào)遞減，

故數(shù)歹IJ｛魯｝的最小值為

因此。的取值范圍為［如*,誓］

疑難突破本題是數(shù)列的綜合題，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和相關(guān)性質(zhì)，第⑴問(wèn)主要考

查絕對(duì)值不等式第⑵問(wèn)要求d的范圍，使得阿-為《力對(duì).9=2,3，…,777+1都成立，首先把d分離

出來(lái),變成片砧正獸瓦難點(diǎn)在于討論若M勺最大值和魯小的最小值.對(duì)于數(shù)列｛若｝

可以通過(guò)作差討論其單調(diào)性，而對(duì)于數(shù)列｛￡｝,要作商討論單調(diào)性?.?君二等二91一》當(dāng)2

rTT

《質(zhì)m時(shí),1<心2,「.41_：六2；(1-3,可以構(gòu)造函數(shù)心)=2'(1-切,通過(guò)討論心)在(0,+8)上的

單調(diào)性去證明C)<L得至擻列｛魯｝的單調(diào)性解出最小值兩個(gè)數(shù)列作差得到單調(diào)性,一

個(gè)作商得到單調(diào)性都是根據(jù)數(shù)列本身結(jié)構(gòu)而得,方法自然合理，最后構(gòu)造函數(shù)判斷2；(1-，)與

1的大小是難點(diǎn)，平時(shí)多積累，多思考，也是可以得到的

36.(2017課標(biāo)//文17,12分汜知等差數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和為S,等比數(shù)列｛〃｝的前/?項(xiàng)和為

心,a二-1,匕=1,&十八二2.

(1)若a+6=5,求｛A｝的通項(xiàng)公式；

⑵若321,求S.

解析本題考查了等差、等比數(shù)列.

設(shè)｛思｝的公差為&｛〃｝的公比為g,則an=-l+(n-l)cf,bn=q\

由a仆片2得4+(7=3.①

⑴由a+八二5得2d+d=6.②

聯(lián)立①和②解得"Z條舍去)，或《=2.

因此伯,｝的通項(xiàng)公式為2=2'"

(2)由〃=1,4=21得d+q-20=0.

解得q=-5或＜7=4.

當(dāng)0=-5時(shí),由①得片8,則*21.

當(dāng)型4時(shí)，由①得心-1,則S=?6.

37.(2017課標(biāo)/文,17,12分)記S為等比數(shù)列｛a｝的前/7項(xiàng)和.已知S=2,*-6.

(1)求｛3｝的通項(xiàng)公式；

⑵求S,并判斷SM,S,S.2是否成等差數(shù)列.

解析本題考查等差、等比數(shù)列.

⑴設(shè)?｝的公比為q,由題設(shè)可得

p(i+q)=2,

(Qi(l+q+q2)=-6.

解得q=-2,比=-2.

故｛d｝的通項(xiàng)公式為&二(?2)”.

(2)由(1)可得￡二噌工《+(/)”?中.

1-(/JJ

A7n+3QH+2

由于22+S,產(chǎn)-9(-1)/；

二2卜尹(-1產(chǎn).卜2S”，

故SE,S-,S+2成等差數(shù)列.

方法總結(jié)等差、等比數(shù)列的常用公式：

⑴等差數(shù)列：

遞推關(guān)系式:見(jiàn)七/二a常用于等差數(shù)列的證明.

通項(xiàng)公式:a=a+(〃-1)d.

前/?項(xiàng)和公式:￡二^^^二〃。+中4

⑵等比數(shù)列：

遞推關(guān)系式:子二況#0),常用于等比數(shù)列的證明.

an

通項(xiàng)公式:/;aq"士

儼/(q=1),

前/?項(xiàng)和公式:S尸卜(i-gn)(q工1)

⑶在證明他。成等差、等比數(shù)列時(shí)，還可以利用等差中I頁(yè)：帶二匕或等比中項(xiàng)㈢廠(chǎng)下來(lái)證明

38.(2015北京文16,13分)已知等差數(shù)列⑸滿(mǎn)足a+a=10皿》2.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足⑤二2公二2.問(wèn)以與數(shù)列｛a｝的第幾項(xiàng)相等？

解析⑴設(shè)等差數(shù)列｛*的公差為d

因?yàn)榧?二2,所以d=2.

又因?yàn)閍+a=10,所以2a+片10,故a=4.

所以品=4+2(〃-1)=2d2("=1,2,…).

⑵設(shè)等比數(shù)列｛〃｝的公比為q.

因?yàn)橄?33=8,笈=a=1