新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)45直線與平面垂直北師大版必修第二冊

課時作業(yè)45直線與平面垂直[練基礎(chǔ)]1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不行能()A．平行B．相交C．異面D．垂直2．ABCD-A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯誤的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD13．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的投影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4．有下列四種說法，正確的序號是________．①過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直；②已知兩條不重合的直線m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，則n∥α；③a，b，l表示三條不同的直線，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α；④若直線a不平行于平面α，則直線a垂直于平面α.5．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．6．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.[提實力]7．[多選題]如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()8．如圖所示，將平面四邊形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形，當平面四邊形ABCD滿意________時，空間四邊形中的兩條對角線相互垂直．(填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮全部可能狀況)9.如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC.點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．[戰(zhàn)疑難]10．如圖所示，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點．(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)設(shè)M為線段C1C的中點，當eq\f(D1D,AD)的值為多少時，DF⊥平面D1MB？并說明理由．課時作業(yè)45直線與平面垂直1．解析：若l∥m，則l?α，∵m?α，∴l(xiāng)∥α，這與已知l⊥α沖突，所以直線l與m不行能平行．答案：A2．解析：正方體中BD∥B1D1，可知選項A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；從而BD⊥AC1，即選項B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即選項C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．選D.答案：D3．解析：∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.答案：A4．解析：①正確；對于②，若直線n?α，也可滿意m⊥n，m⊥α，此時n∥α不正確；對于③，只有a，b相交時，才成立，否則不成立；④明顯錯誤，因為不平行時可以相交，而垂直只是相交的一種特別狀況．故只有①正確．答案：①5.解析：如圖所示，連接B1D1，則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的投影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝30°.答案：30°6．證明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD為直角梯形，AD＝eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5).∵側(cè)面SAB為等邊三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.連接BD，則BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.7．解析：對于A，由AB與CE所成角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理，EC⊥AB，且ED∩EC＝E，可得AB⊥平面CDE.故選BD.答案：BD8．解析：在平面四邊形ABCD中，設(shè)AC與BD交于點E，假設(shè)AC⊥BD，則AE⊥BD，CE⊥BD.折疊后(如圖)，AE與BD，CE與BD依舊垂直，所以BD⊥平面AEC，所以AC⊥BD.故當平面四邊形ABCD滿意AC⊥BD時，空間四邊形中的兩條對角線相互垂直．答案：AC⊥BD(答案不唯一)9.解析：(1)證明：連接CO，由3AD＝DB知，點D為AO的中點．又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.因為點P在圓O所在平面上的正投影為點D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長為2的正三角形，所以CD＝eq\r(3)在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.10．解析：(1)證明：E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)解：當eq\f(D1D,AD)＝eq\r(2)時，DF⊥平面D1MB.證明如下．如圖，連接AC，BD，F(xiàn)M，設(shè)AC與BD交于點O，連接OF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.∵F，O分別是BD1，BD的中點，∴FO∥DD1，F(xiàn)O＝eq\f(1,2