理論力學(xué)課件-第3章

第3章平面任意力系3.1力的平移定理3.2平面任意力系的簡化3.3平面任意力系的平衡條件與平衡方程3.4物體系統(tǒng)的平衡問題和靜定與靜不定問題3.5簡單平面桁架3.6摩擦及其平衡問題思考題習(xí)題

3.1力的平移定理

由力的可傳性定理可知：在剛體內(nèi)，力沿其作用線任意滑移，不改變力對剛體的作用效果。但是，如果將力平行地移動到偏離其作用線的另一位置，其作用效果是否會改變呢？由經(jīng)驗(yàn)可知，力平移后將改變其對剛體的作用效果。如圖3-1(a)所示，當(dāng)力F作用于A點(diǎn)時(shí)，其作用線通過軸心O，輪子不會轉(zhuǎn)動；若將力的作用線平移至B點(diǎn)(如圖3-1(b)所示)，輪子則會轉(zhuǎn)動。顯然，力作用線平移后，其效應(yīng)發(fā)生了改變。設(shè)有一力F作用于剛體上的A點(diǎn)(如圖3-2(a)所示)。為將該力平移到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)B，在B點(diǎn)加上一對平衡力F1和F1′，使F1∥F，且F1=F1′=F。在新力系中，F(xiàn)與F1′構(gòu)成一個(gè)力偶，其力偶臂為h，其矩恰好等于原力F對B點(diǎn)之矩，即

M(F,F1′)=MB(F)=F·h

F1即為平移到了B點(diǎn)的力F。現(xiàn)剛體上作用有一個(gè)力F1和一個(gè)力偶，如圖3-2(b)、(c)所示，它們對剛體的效應(yīng)與力F在原位置時(shí)對剛體的效應(yīng)完全相同，這個(gè)力偶稱為附加力偶。圖3-1圖3-2綜上所述，可得力的平移定理：可以將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)B，要使原力對剛體的作用效果不變，必須附加一個(gè)力偶，附加力偶之矩等于原力F對新的作用點(diǎn)B之矩。

反之，根據(jù)力的平移定理，同平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，也可用作用在該平面內(nèi)的另一個(gè)力等效替換。力的平移定理不僅是力系簡化的基礎(chǔ)，而且可用來解釋一些實(shí)際問題。例如，用絲錐攻絲時(shí)，必須用雙手握緊絲錐，且用力要等值、反向，不允許用一只手加力或加力不均。

如圖3-3(a)所示，若在絲錐的一端單手加力F，根據(jù)力的平移定理，將其向絲錐中心C平移，可得F′和M，如圖3-3(b)所示，附加力偶矩M是攻絲所需的力偶，而力F′卻往往使攻絲不正，甚至使絲錐折斷。圖3-3

3.2平面任意力系的簡化

在研究平面任意力系時(shí)，可以用兩力合成的方法依次進(jìn)行合成，最后得到一個(gè)合力。但是這個(gè)方法既不方便，也不普遍。切實(shí)可行的方法是將平面力系向一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系，再進(jìn)行匯交力系和力偶系的合成，這種方法稱為力系向簡化中心的簡化。3.2.1平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡化

設(shè)剛體上作用一平面任意力系F1、F2、…、Fn，如圖

3-4(a)所示。在力系所在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡化中心，根據(jù)力的平移定理，將力系中各力平移到O點(diǎn)，同時(shí)附加相應(yīng)的力偶。于是，原力系等效地替換為兩個(gè)基本力系：作用于O點(diǎn)的平面匯交力系F1′,F2′,…,Fn′和力偶矩分別為M1,M2,…,Mn的平面附加力偶系，如圖3-4(b)所示。其中,F1′=F1、F2′=F2、…,Fn′=Fn；M1＝MO(F1),M2＝MO(F2),…,Mn＝MO(Fn)。圖3-4平面匯交力系F1′,F2′,…,Fn′可合成為一個(gè)作用線通過O點(diǎn)的力，該力稱為原力系的主矢，記為FR′，即

FR′=F1′+F2′+…+Fn′=∑Fi

其作用點(diǎn)在簡化中心O，大小和方向可用解析法獲得：

(3-1)

式中,φ為FR′與x軸之間的夾角。顯然，主矢與簡化中心O的位置無關(guān)。

附加力偶系可合成為一合力偶，合力偶之矩稱為原力系對O點(diǎn)的主矩，記為MO，即

MO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

=

MO(Fi)(3-2)

顯然，其大小與轉(zhuǎn)向均與簡化中心O的位置有關(guān)。

合成后所得的主矢FR′和主矩MO如圖3-4(c)所示。綜上所述，平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化，可得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩。主矢等于原力系中各力的矢量和，作用線通過簡化中心，其大小、方向與簡化中心的位置無關(guān)。主矩等于原力系中各力對簡化中心矩的代數(shù)和，其取值與簡化中心的位置有關(guān)。3.2.2固定端約束

物體的一部分固嵌于另一物體內(nèi)所構(gòu)成的約束稱為固定端約束。例如建筑物中墻壁對于陽臺的固定(如圖3-5(a)所示)、車床上刀架對于車刀的固定、卡盤對于工件的固定、地面對于電線桿的固定等均為固定端約束，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3-5(b)、(c)所示。圖3-5固定端約束的本質(zhì)是在接觸面上用了一群約束反力。在平面問題中，這些力構(gòu)成一平面任意力系(如圖3-6(a)所示)。將這一群力向固定端上的A點(diǎn)簡化，可得一個(gè)力FA和一個(gè)矩為MA的力偶，如圖3-6(b)所示。一般情況下這個(gè)力的大小和方向均未知,可用兩個(gè)相互正交的未知分力FAx、FAy來代替。因此，在平面問題中，固定端A處的約束反力可簡化為兩個(gè)

約束反力FAx、FAy和一個(gè)矩為MA的約束反力偶，如圖3-6(c)

所示。

幾個(gè)構(gòu)件的聯(lián)接處稱為節(jié)點(diǎn)，若節(jié)點(diǎn)處各構(gòu)件間的夾角始終保持不變，則該節(jié)點(diǎn)稱為剛節(jié)點(diǎn)。剛節(jié)點(diǎn)處的約束與固定端約束相似。圖3-63.2.3平面任意力系的簡化結(jié)果分析

平面任意力系向簡化中心O簡化，可得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩，但這不是最終的簡化結(jié)果，現(xiàn)對其進(jìn)行進(jìn)一步分析。

(1)若FR′=0，MO=0，則力系平衡。關(guān)于平衡問題將在下一節(jié)進(jìn)行全面分析。

(2)若FR′=0，MO≠0，則原力系合成為一合力偶。合力偶之矩為

M=MO=∑MO(Fi)

此時(shí)，力系無論向哪一點(diǎn)簡化，結(jié)果都是具有相同力偶矩的一個(gè)合力偶。此時(shí)力系簡化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。

(3)FR′≠0，MO=0，則力系可合成為一合力FR，合力的作用線通過簡化中心。

FR=FR′=∑Fi

此時(shí)附加力偶系自行平衡，匯交力系的合力即為平面任意力系的合力。

(4)FR′≠0，MO≠0，根據(jù)力的平移定理的逆過程，可將其進(jìn)一步簡化為一合力。

如圖3-7(a)所示，任意力系向O點(diǎn)簡化，主矢和主矩均不為零，現(xiàn)將矩為MO的力偶用兩個(gè)力FR和FR″來表示(如圖3-7(b)所示)，并使FR=FR′=FR″。這時(shí)FR′與FR″構(gòu)成平衡力系，減去這個(gè)平衡力系，即原力系的主矢FR′和主矩MO就與力FR等效,FR即為原力系的合力(如圖3-7(c)所示)。合力矢等于主矢，合力的作用線在點(diǎn)O的哪一側(cè)，可根據(jù)主矢的方向和主矩的轉(zhuǎn)向確定，合力作用線到點(diǎn)O的距離h可按下式算得：

(3-3)圖3-7綜上所述，平面任意力系簡化的最終結(jié)果或?yàn)橐缓狭?，或?yàn)橐缓狭ε迹蚱胶狻?/p>

下面證明平面任意力系的合力矩定理。

由圖3-7(b)可知，合力FR對O點(diǎn)的矩為

MO(FR)=FR·h=MO

由主矩的定義可知

MO=∑MO(Fi)

所以有

MO(FR)=∑MO(Fi)(3-4)由于O點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，故上式具有普遍意義，即平面任意力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩，等于力系中各分力對該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。

應(yīng)用合力矩定理可推導(dǎo)出力F對坐標(biāo)原點(diǎn)O之矩的解析表達(dá)式。如圖3-8所示，將力F沿坐標(biāo)軸分解為兩個(gè)分力Fx和Fy，根據(jù)合力矩定理有

MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)

因?yàn)镸O(Fx)=-yFx,MO(Fy)=xFy,其中,Fx、Fy為力F在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，x、y為力作用線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到力F對O點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式為

MO(F)=xFy-yFx

(3-5)圖3-83.3平面任意力系的平衡條件與平衡方程

3.3.1平面任意力系的平衡條件

由上一節(jié)的討論可知，若平面任意力系的主矢和主矩不同時(shí)為零，則力系最終可合成為一合力或一合力偶，此時(shí)剛體是不能保持平衡的。因此，欲使剛體在平面任意力系作用下保持平衡，則該力系的主矢和對任意一點(diǎn)的主矩必須同時(shí)為零，這是平面任意力系平衡的必要條件，不難理解這個(gè)條件也是充分條件，因?yàn)橹魇笧榱惚ＷC了作用于簡化中心的匯交力系為平衡力系，主矩為零又保證了附加力偶系為平衡力系。所以，平面任意力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和力系對于任意點(diǎn)的主矩同時(shí)為零，即

FR′=0,

MO=0

(3-6)3.3.2平面任意力系的平衡方程

由平面任意力系的平衡條件，并考慮到式(3-1)和式

(3-2)，可得平面任意力系的平衡方程為

(3-7)由此可得出結(jié)論，平面任意力系平衡的解析條件是：所有力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別為零，所有力對任意一點(diǎn)取矩的代數(shù)和亦為零。式(3-7)稱為平面任意力系平衡方程組的一般形式。它有兩個(gè)投影方程和一個(gè)矩式方程，所以又稱為一矩式平衡方程組。

平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，能求解而且只能求解三個(gè)未知量。

應(yīng)該指出，投影軸和矩心可以任意選取。在解決實(shí)際問題時(shí)，適當(dāng)?shù)剡x擇矩心和投影軸,可簡化計(jì)算過程。一般來說，矩心應(yīng)選在未知力的匯交點(diǎn)，投影軸應(yīng)盡可能與力系中多數(shù)力的作用線垂直或平行。雖然通過矩心和投影軸的選取可以使計(jì)算簡化一些，但有時(shí)仍不可避免地要解聯(lián)立方程組，尤其在研究物系平衡問題時(shí)，往往要解多個(gè)聯(lián)立的平衡方程組。因此，為了簡化運(yùn)算，有必要選擇適當(dāng)?shù)钠胶夥匠绦问健Ｆ矫嫒我饬ο档钠胶夥匠坛耸?3-7)所表示的一般形式外，還有以下兩種常見形式。

1.二矩式平衡方程

∑Fix=0,∑MA(Fi)=0,∑MB(Fi)=0

(3-8)

即兩個(gè)矩式方程和一個(gè)投影式方程。使用該方程組的限制條件為：投影軸x不能垂直于A、B兩點(diǎn)的連線。這是因?yàn)槠矫媪ο迪蚰骋稽c(diǎn)簡化只可能有三種結(jié)果：合力、力偶或平衡。若力系滿足∑MA(Fi)=0，則表明力系不可能簡化為一個(gè)力偶，只能是作用線通過A點(diǎn)的一個(gè)力或平衡。同理，如果力系滿足平衡方程∑MB(Fi)=0，則可以斷定，最終簡化結(jié)果只能是作用線通過B點(diǎn)的一個(gè)力或平衡。兩個(gè)矩式方程同時(shí)成立，簡化結(jié)果只能是通過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)合力或平衡。當(dāng)力系同時(shí)滿足方程∑Fxi=0，而連線AB又不垂直于x軸時(shí)，顯然力系合力為零。這就表明，只要同時(shí)滿足以上三個(gè)方程，且連線AB不垂直于投影軸x，則力系必平衡。

2.三矩式平衡方程

∑MA(Fi)=0,∑MB(Fi)=0,∑MC(Fi)=0

(3-9)

使用該方程組的限制條件為：A、B、C三點(diǎn)不共線。這一結(jié)論的論證過程，請讀者自行完成。

以上討論了平衡方程的三種形式。在解決實(shí)際問題時(shí)，可根據(jù)具體條件從中任選一種。3.3.3平面平行力系的平衡方程

若平面力系中各力的作用線相互平行(如圖3-9所示)，則稱其為平面平行力系。對于平面平行力系，在選擇投影軸時(shí)，使其中一個(gè)投影軸垂直于各力作用線，則式(3-7)中必有一個(gè)投影方程為恒等式，于是，只有一個(gè)投影方程和一個(gè)矩式方程，這就是平面平行力系的平衡方程，即

∑Fiy=0,∑MA(Fi)=0

(3-10)

投影軸平行于各力作用線時(shí)，各力投影的絕對值與其大小相等，故式(3-10)中第一式表示各力的代數(shù)和為零。顯然，平面平行力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，能求解而且只能求解兩個(gè)未知量。圖3-9

例3-1絞車通過鋼絲繩牽引小車沿斜面軌道勻速上升，如圖3-10所示。已知小車重W=10kN，繩與斜面平行，α=30°，a=0.75m，b=0.3m，不計(jì)摩擦，求鋼絲繩的拉力F的大小及軌道對車輪的約束反力。

解：取小車為研究對象。作用于小車上的力有重力W，鋼絲繩拉力F，軌道在A、B處的約束反力FA、FB，小車受力如圖3-10(b)所示。圖3-10小車沿軌道做勻速直線運(yùn)動，故作用在小車上的力必滿足平衡條件。選未知力F與FA的交點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖3-10(b)所示，可列出一般形式的平衡方程為由式(a)及式(b)可得

F=Wsinα=10sin30°=5kN

再將FB之值代入式(b)得

FA=Wcosα-FB=10cos30°-5.33=3.33kN

繩子的牽引力為F=5kN，A處的約束反力為FA=3.33kN，B處的約束反力為FB=5.33kN。

例3-2圖3-11所示的水平橫梁AB，A端為固定鉸支座，B端為可動鉸支座。梁長為2a，集中力F作用于梁的中點(diǎn)C。梁在AC段上受均布載荷q作用，在BC段上受矩為M的力偶作用，試求A、B處的約束反力。

解：選取梁AB為研究對象。作用在AB上的主動力有均布載荷q、集中力F和矩為M的力偶；約束反力有鉸鏈A處的兩個(gè)分力FAx、FAy及可動支座B處垂直向上的約束反力FB，其

受力如圖3-11(b)所示。圖3-11取坐標(biāo)系如圖3-11(b)所示，列出梁的平衡方程：解上述方程組可得

例3-3某減速器齒輪軸結(jié)構(gòu)如圖3-12(a)所示。A端用徑向軸承支承，B端用止推軸承支承。作用在輪軸上的力F1=F2=F，F(xiàn)3=2F。A端可簡化為可動鉸支座，B端可簡化為

固定鉸支座。已知F、a，試求兩支座的約束反力。

解：取齒輪軸為研究對象。作用在齒輪軸上的主動力有圓柱齒輪上的鉛垂力F1,傘形齒輪上的水平力F2，鉛垂力F3，以及作用在A、B兩軸承處的約束反力。圖3-12建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy,如圖3-12(b)所示，列平衡方程：

∑MB(F)=0,-FA·3a+F1·2a+F3a-F2a=0

∑Fix=0,F2-FBx=0

∑Fiy=0,FA+FBy-F1-F3=0

考慮到F1=F2=F，F(xiàn)3=2F，解上述方程組得FA=F,FBx=F,FBy=2F。

例3-4某塔式起重機(jī)如圖3-13所示。機(jī)架重W1=700kN,作用線通過塔架的中心。最大起重量為W2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m，平衡載荷重W3距中心線6m。試問：

(1)要保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不致翻倒，平衡載荷W3應(yīng)為多少？

(2)已知平衡荷重W3=180kN，當(dāng)滿載且重物在最右端時(shí)，軌道A、B對起重機(jī)輪子的反力為多少？圖3-13

解：(1)要使起重機(jī)不翻倒，應(yīng)使作用在起重機(jī)上的力系滿足平衡條件。起重機(jī)所受的力有載荷W2，機(jī)架自重W1，平衡荷重W3，以及軌道的約束反力FA、FB。

滿載時(shí)，為使起重機(jī)不繞B點(diǎn)向右翻倒，作用在起重機(jī)上的力必須滿足∑MB(F)=0，在臨界狀態(tài)下,FA=0，這時(shí)求出的W3值即為所允許的最小值?？蛰d時(shí)，W2=0。為使起重機(jī)不繞A點(diǎn)向左翻倒，作用在起重機(jī)上的力必須滿足條件∑MA(F)=0。在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)B=0。這時(shí)求出的W3值是所允許的最大值。

所以，要使起重機(jī)不致翻倒，W3必須滿足75kN<W3<350kN。

(2)當(dāng)W3=180kN時(shí)，起重機(jī)可處于平衡狀態(tài)。此時(shí)起重機(jī)在W1、W2、W3以及FA、FB的作用下處于平衡狀態(tài)。根據(jù)平面平行力系的平衡方程，有

∑MA(F)=0,

W3(6-2)-W1·2-W2(12+2)+FB·4=0

∑Fiy=0,

-W3-W1-W2+FA+FB=0

可解得

FA=210kN，F(xiàn)B=870kN

3.4物體系統(tǒng)的平衡問題和靜定與靜不定問題

3.4.1物體系統(tǒng)的平衡問題

工程中，經(jīng)常遇到由若干個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)，簡稱為物系。在研究物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，不僅要知道外界物體對這個(gè)系統(tǒng)的作用，同時(shí)還應(yīng)分析系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱為系統(tǒng)的外力；系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力稱為系統(tǒng)的內(nèi)力。根據(jù)作用與反作用原理，內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的。因此，當(dāng)取整個(gè)系統(tǒng)作為研究對象時(shí)，可不考慮內(nèi)力；當(dāng)求系統(tǒng)的內(nèi)力時(shí)，就必須取系統(tǒng)中與需求內(nèi)力有關(guān)的某些物體為研究對象，對其進(jìn)行分析。當(dāng)物系平衡時(shí)，組成系統(tǒng)的每一部分都處于平衡狀態(tài)?？梢赃x擇整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對象，也可以選擇某一物體或某幾個(gè)物體組成的小系統(tǒng)作為研究對象，這要根據(jù)具體問題，以便于求解為原則來適當(dāng)選取。一般應(yīng)先考慮以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，雖不能求出全部未知力，但可求出其中的一部分；然后再選擇單個(gè)物體(或小系統(tǒng))為研究對象，以選擇已知力和待求的未知力共同作用的物體為佳。選擇研究對象時(shí)，還要盡量使計(jì)算過程簡單，盡可能避免解聯(lián)立方程組。最好先建立一個(gè)清晰的解題思路(或稱做解題計(jì)劃)，再依次選擇研究對象進(jìn)行求解。3.4.2靜定與靜不定問題

力系確定以后，根據(jù)靜平衡條件所能寫出的獨(dú)立平衡方程數(shù)目是一定的。例如，平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立平衡方程。根據(jù)靜平衡方程能夠確定的未知力的個(gè)數(shù)也是一定的。據(jù)此，靜平衡問題可分為以下兩類。

1.靜定問題

研究對象中所包含的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目等于所要求的未知力的數(shù)目時(shí)，全部未知力可由靜平衡方程求得，這類問題稱為靜定問題，即在靜力學(xué)范圍內(nèi)有確定的解。靜定問題是剛體靜力學(xué)所研究的主要問題。

2.靜不定(超靜定)問題

當(dāng)能寫出的獨(dú)立平衡方程數(shù)目小于未知力的數(shù)目時(shí)，僅用靜力學(xué)方法就不能求出全部未知力，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題，即在靜力學(xué)范圍內(nèi)沒有確定的解。這類問題不屬于剛體靜力學(xué)的研究范圍，將在后續(xù)的材料力學(xué)課程中討論其求解方法。

靜不定問題中，未知量數(shù)目與獨(dú)立平衡方程總數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)或靜不定度數(shù)。下面給出幾個(gè)靜定與靜不定問題的例子。設(shè)用兩根繩子懸掛一重物，如圖3-14(a)所示。未知的約束反力有兩個(gè)，而物體受平面匯交力系作用，共有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，獨(dú)立平衡方程數(shù)目與未知力個(gè)數(shù)相等，所以該問題為靜定問題；若用三根繩子懸掛重物，如圖3-14(b)所示，力作用線匯交于一點(diǎn)，有三個(gè)未知力，但只有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，因此是一次靜不定問題。圖3-14(c)所示的梁有三個(gè)未知的約束反力，梁受平面任意力系作用，有三個(gè)獨(dú)立平衡方程，因此屬于靜定問題；圖3-14(d)所示的梁有五個(gè)未知的約束反力，獨(dú)立平衡方程數(shù)目只有三個(gè)，因此該問題屬于二次靜不定問題。圖3-14(e)所示的懸臂梁，未知的約束反力有三個(gè)，梁受平面任意力系作用，有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此屬于靜定問題；圖3-14(f)有四個(gè)未知約束反力，獨(dú)立平衡方程數(shù)目只有三個(gè)，屬于一次靜不定問題。圖3-14下面舉例說明物系平衡問題的求解方法。

例3-5某組合梁如圖3-15(a)所示。AC、CD兩段梁在C處用鉸鏈聯(lián)接，其支承和受力情況如圖所示。已知q=10kN/m，M=40kN·m，不計(jì)梁的自重，求支座A、B、D處的約束反力和鉸鏈C處所受的力。

解：此題既要求整體的約束反力，又要求兩段梁聯(lián)接處的約束力。由于每一段梁上作用一個(gè)平面任意力系，所以共有六個(gè)獨(dú)立平衡方程，而未知力總數(shù)也為六個(gè)(四個(gè)支座反力FAx、FAy、FB、FC及兩個(gè)聯(lián)接反力FCx、FCy)，故該系統(tǒng)為靜定系統(tǒng)。圖3-15解題思路：由于該題要求求出所有的約束反力，故可分別取每段梁為研究對象，且應(yīng)先取輔梁CD為研究對象，因?yàn)槠渲兄话巳齻€(gè)未知力FCx、FCy和FD，可以由三個(gè)平衡方程求出它們；然后再取整體或AC段為研究對象，由三個(gè)平衡方程可求得其余的三個(gè)未知力。

(1)取CD段作為研究對象。受力分析如圖3-15(b)所示，其中FCx、FCy和FD為三個(gè)未知力。列平衡方程如下：

可解得FCx=0，F(xiàn)Cy=5kN，F(xiàn)D=15kN。

(2)再取主梁AC為研究對象。受力分析如圖3-15(c)所示，注意C處的約束反力FCx′、FCy′與CD梁上C處的受力互為反作用力。列二矩式平衡方程如下:

解之得FAx=0，F(xiàn)Ay=-15kN，F(xiàn)B=40kN。其中FAy為負(fù)值，說明FAy的實(shí)際方向與圖示方向相反。在此題中，要特別注意均布載荷的處理方法。在分析每一段梁的受力情況時(shí)，絕對不能將均布載荷視為作用在其中點(diǎn)C處的一個(gè)集中力。若第二步不以AC段為研究對象，而以整體為研究對象，同樣可求出A、B處的約束反力。對整體進(jìn)行受力分析時(shí)，可將均布載荷按集中于C點(diǎn)的力進(jìn)行處理。

例3-6在三鉸拱的頂部受集度為q的均布載荷作用，結(jié)構(gòu)尺寸如圖3-16(a)所示，不計(jì)各構(gòu)件的自重，試求A、B兩處的約束反力。

解：解題思路：先選擇整體為研究對象。這時(shí)A、B兩處共有四個(gè)未知約束反力，而獨(dú)立平衡方程數(shù)目只有三個(gè)，雖然不能解出全部未知力，但有三個(gè)未知力的作用線通過A點(diǎn)或B點(diǎn)，所以可先求出其中的FAy、FBy，再選擇左半拱或右半拱為研究對象，即可確定出FAx或FBx。這樣，問題便可求解。圖3-16

(1)以整體作為研究對象。分析其受力情況，如圖3-16(b)所示，選擇三個(gè)未知力的匯交點(diǎn)A、B為矩心，水平軸為投影軸，列二矩式投影方程如下：

由此可解得

(2)以左半拱AC為研究對象。其受力分析如圖3-16(c)所示。由于FCx、FCy為不需求的未知力，選其匯交點(diǎn)作為矩心，列出下列矩式方程：

將FAy=ql/2代入后可解得

物系平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的每一部分都是平衡的。這一點(diǎn)在物系分析中具有特別重要的意義，也是容易被初學(xué)者忽視的一個(gè)重要特點(diǎn)。

“某一方向的主動力只引起同方向的約束反力”是一個(gè)似是而非的概念。據(jù)此在考慮本例的整體平衡時(shí)，有人會畫出圖3-16(d)所示的錯(cuò)誤受力圖。不難看出，根據(jù)這種受力分析，整體雖然似乎是平衡的，但局部肯定是不平衡的，如圖3-16(e)所示。

例3-7鄂式破碎機(jī)結(jié)構(gòu)如圖3-17(a)所示。電動機(jī)帶動曲柄OA繞O軸轉(zhuǎn)動，通過桿AB、BC、BD帶動夾板DE繞E軸擺動，從而破碎礦石。已知曲柄OA=0.1m，桿長BC=BD=DE=

0.6m，O、A、B、C、D、E均可視為光滑鉸鏈，夾板工作壓力F=1000N，力F垂直于DE，作用于H點(diǎn)，EH=0.4m，在圖示位置時(shí)，恰好OA和CD均垂直于OB，θ=30°,β=60°，各桿自重忽略不計(jì)。試求在圖示位置平衡時(shí)，電動機(jī)作用于曲柄的力偶矩M的值。圖3-17

解：分析：圖示結(jié)構(gòu)中，AB、BC、BD均為二力桿，由已知力作用的構(gòu)件開始，依次研究DE桿、鉸鏈B、AO桿，即可求出驅(qū)動力偶矩M。

(1)研究夾板DE。夾板DE的受力情況如圖3-17(b)所示。其中固定鉸支座E的約束反力為FEx、FEy，分別取水平與垂直方向，F(xiàn)BD是二力桿BD作用于板DE的力，假定BD桿受壓，其方位沿BD在圖示位置垂直于板DE，作用在研究對象上的力系為平面任意力系。由平衡條件可得

∑ME=0,

0.4F-0.6FBD=0

(a)

解得FBD=666.7N。

(2)研究銷釘B。銷釘B受到三個(gè)二力桿的作用，假定BC桿受壓，AB桿受拉。銷釘B的受力情況如圖3-17(c)所示，作用在銷釘B上的力構(gòu)成平面匯交力系，取坐標(biāo)系Bxy如圖3-17(c)所示，列出靜平衡方程如下：(b)(c)解此方程組得(d)由幾何關(guān)系可知

(e)

將FBD、式(e)和θ=30°代入式(d)，可解得

(f)

(3)研究OA桿。OA桿受力情況如圖3-17(d)所示。其中，F(xiàn)AB=FAB′。作用在曲柄OA上的力系為平面任意力系，以O(shè)點(diǎn)為矩心，列出矩式平衡方程

∑MO=0,

M-0.1FABcosα=0

(g)

解得M=0.1FABcosα=70.36N·m。物體系統(tǒng)平衡問題是靜力學(xué)研究的主要內(nèi)容，為了掌握好這部分內(nèi)容，現(xiàn)對其總結(jié)如下：

(1)選擇合適的研究對象。研究對象的選擇對單個(gè)物體的平衡不成問題，而對于物體系統(tǒng)的平衡則顯得十分重要。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)所受外約束力的未知力不超過三個(gè)，或雖超過三個(gè)但仍可由整體平衡求得部分未知力時(shí)(如例3-6)，可先選取整個(gè)系統(tǒng)為研究對象。否則就直接考察組成系統(tǒng)的單個(gè)物體(或某幾個(gè)物體的組合)，適當(dāng)選取研究對象。

(2)取分離體作受力圖。除按約束性質(zhì)正確地分析研究對象的受力外，還應(yīng)注意正確判斷結(jié)構(gòu)中的二力構(gòu)件。研究物體系統(tǒng)時(shí)，在研究對象上只畫出外力，不能出現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)力；注意作用與反作用原理的應(yīng)用。

(3)建立平衡方程并求解。建立平衡方程時(shí)，應(yīng)合理地選擇投影軸與矩心，選擇不同形式的平衡方程(一矩式、二矩式、三矩式)，盡可能使相應(yīng)的平衡方程中只包含一個(gè)未知力，以方便求解；對各種力系，不一定要列出全部的平衡方程，只列出解題所必需的即可。

(4)結(jié)果的校核檢驗(yàn)。對于物體系統(tǒng)的平衡問題，可利用最后剩下的平衡條件校核所得的結(jié)果是否正確。

3.5簡單平面桁架

3.5.1桁架及其簡化模型

桁架是一種常見的工程結(jié)構(gòu)，它廣泛應(yīng)用于大跨度的建筑物和大尺寸的機(jī)械設(shè)備中，如圖3-18(a)所示的房屋建筑和圖3-18(b)所示的橋梁。桁架是由若干個(gè)桿件在兩端按一定方式聯(lián)接(如焊接、鉚接、螺栓聯(lián)接、鉸鏈等)而形成的幾何形狀不變結(jié)構(gòu)。各桿位于同一平面內(nèi)且載荷也在此平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。若桿件不在同一平面內(nèi)，或載荷不作用在桁架所在的平面內(nèi)，則稱為空間桁架。桁架各桿的聯(lián)接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。圖3-18簡單平面桁架是指在一個(gè)基本三角形框架上每增加兩個(gè)桿件的同時(shí)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)而形成的桁架，如圖3-19所示。桁架的桿數(shù)m與節(jié)點(diǎn)數(shù)n滿足關(guān)系m-3=2(n-3)，即

m=2n-3

(3-11)

圖3-19為了簡化桁架的計(jì)算，工程中常作如下假設(shè)：(1)各桿均為直桿；(2)桿件兩端用光滑鉸鏈聯(lián)接；(3)所有載荷作用在桁架平面內(nèi)，且作用于節(jié)點(diǎn)上；(4)桿件自重忽略不計(jì)。如果需要考慮自重，則將其等效地施加于桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上；如果載荷不直接作用在節(jié)點(diǎn)上，可以對承載桿作受力分析，確定桿端受力，再將其作為等效節(jié)點(diǎn)載荷施加于節(jié)點(diǎn)上。

在以上的假設(shè)條件下，每一個(gè)桿件都是二力桿，故所受的力沿其軸線，或?yàn)槔Γ驗(yàn)閴毫?。為了便于分析，在受力圖中，總是假定桿件承受拉力，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，則表示桿件承受壓力。3.5.2計(jì)算桁架內(nèi)力的節(jié)點(diǎn)法

桁架受到外力(載荷及支座反力)作用時(shí)，整個(gè)桁架保持平衡，桁架的任何一部分也必然平衡。以各個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對象，逐個(gè)分析其受力和平衡，從而求得全部桿件的內(nèi)力，這種方法稱為節(jié)點(diǎn)法。通常先求出桁架支座的反力。由于作用在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的所有力組成平面匯交力系，只能列出兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此應(yīng)從至少包含一個(gè)已知力并且不多于兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)入手，求出這兩個(gè)桿件的內(nèi)力，然后依次選取只含兩個(gè)未知力的其它節(jié)點(diǎn)為研究對象，求出所有桿件的內(nèi)力。

例3-8平面桁架的尺寸和支座如圖3-20(a)所示。在節(jié)點(diǎn)D處受一集中力F作用，F(xiàn)=10kN。試求桁架各桿件的內(nèi)力。

解：(1)求支座反力。以整個(gè)桁架為研究對象，其受力情況如圖3-20(a)所示。列平衡方程如下：

∑Fx=0,

FBx=0

∑MA=0,

4FBy-2F=0

∑MB=0,

2F-4FAy=0

解得FBx=0,FAy=FBy=5kN。圖3-20

(2)研究節(jié)點(diǎn)A。節(jié)點(diǎn)A受力情況如圖3-20(b)所示，列出平衡方程如下：

∑Fx=0,

F2+F1cos30°=0

∑Fy=0,

FAy+F1sin30°=0

解得F1=-10kN,F2=8.66kN。

(3)研究節(jié)點(diǎn)C。節(jié)點(diǎn)C受力情況如圖3-20(b)所示，列出平衡方程如下：

∑Fx=0,

F4cos30°-F1′cos30°=0

∑Fy=0,

-F3-(F1′+F4)sin30°=0

解得F1=-10kN,F2=8.66kN。

(4)研究節(jié)點(diǎn)D。只有一個(gè)桿的內(nèi)力F5未知，其受力情況如圖3-20(b)所示，列出平衡方程如下：

∑Fx=0,F5-F2′=0

解得F5=8.66kN。

(5)計(jì)算結(jié)果校核。計(jì)算出各桿的內(nèi)力后，可用剩余節(jié)點(diǎn)的平衡方程校核已得出的結(jié)果。畫出節(jié)點(diǎn)B的受力圖(如圖3-20(c)所示)，列出平衡方程∑Fx=0,∑Fy=0,將F4′=-10kN,F5′=8.66kN代入，若平衡方程滿足，則計(jì)算正確，否則不正確。

在桁架結(jié)構(gòu)中，有一些受力為零的桿稱為“零力桿”。根據(jù)桁架結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，零力桿可以直接判斷出來。如圖3-21(a)中的兩個(gè)桿均為零力桿，圖3-21(b)中的4桿為零力桿，圖

3-21(c)中的5桿為零力桿。圖3-213.5.3計(jì)算桁架內(nèi)力的截面法

假想用一截面(平面或曲面均可)將桁架截?cái)酁閮刹糠?，研究其中任意一部分的平衡，從而求出被截?cái)鄺U件的內(nèi)力，這種方法稱為截面法。

由于作用在研究對象上的所有力構(gòu)成平面任意力系，只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故每次截?cái)嗟臈U數(shù)不宜多于三個(gè)。若多于三個(gè)，但除一根桿件外，其余各桿的內(nèi)力均匯交于一點(diǎn)或相互平行，則仍可求出此桿的內(nèi)力。截面法適用于求解桁架內(nèi)部分桿件內(nèi)力的情形。

對一些復(fù)雜的平面靜定桁架，需要綜合運(yùn)用節(jié)點(diǎn)法與截面法求解。例3-9求圖3-22(a)所示桁架中桿件1、2、3的內(nèi)力。

解：(1)計(jì)算支反力。取整體為研究對象，受力分析如圖3-22(a)所示，列出靜平衡方程如下：

∑Fx=0,

FAx=0

∑MA=0,

FB·5a-F·a=0

∑Fy=0,

FAy+FB-F=0

解得。圖3-22

(2)計(jì)算指定桿件的內(nèi)力。用m-m截面將桁架分為兩部分，取右半部分為研究對象，列出靜平衡方程如下：解得

F1為負(fù)值，說明1桿受壓。

3.6摩擦及其平衡問題

3.6.1摩擦及其分類

摩擦是普遍存在的一種現(xiàn)象，絕對光滑而沒有摩擦的情形實(shí)際上不存在。在所研究的問題中，當(dāng)摩擦所起的作用不占主導(dǎo)地位時(shí)，可以忽略摩擦的影響，采用理想光滑接觸面約束模型可以簡化分析過程。但在有些情況下，摩擦對于物體平衡或運(yùn)動狀態(tài)的影響很大，這時(shí)就必須考慮摩擦的作用。如在各種高速運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)械中，摩擦阻力會消耗能量，產(chǎn)生熱、噪聲、振動、磨損，甚至毀壞機(jī)件；在皮帶傳動、車輛加速與制動、摩擦離合器及各種夾具中，摩擦都起著至關(guān)重要的作用。因此研究摩擦的一般規(guī)律，有效地抑制其負(fù)面作用或利用它來為人類服務(wù)，具有重要的實(shí)際意義。

摩擦現(xiàn)象十分復(fù)雜，涉及物理、化學(xué)、力學(xué)、冶金、磨損和潤滑等多門學(xué)科，目前已形成一門邊緣科學(xué)——“摩擦學(xué)”。本節(jié)僅介紹以庫侖摩擦定律為基礎(chǔ)的經(jīng)典摩擦理論。

摩擦的分類形式有多種：按照物體之間有無相對運(yùn)動，摩擦可分為靜摩擦和動摩擦；按照接觸物體間的相對運(yùn)動形式，摩擦可分為滑動摩擦與滾動摩阻；按照接觸物體間是否有液體(潤滑劑)，摩擦又可分為干摩擦與濕摩擦等。3.6.2滑動摩擦力及其性質(zhì)

兩個(gè)相互接觸的物體有相對滑動或有相對滑動趨勢時(shí)，接觸表面將產(chǎn)生阻礙滑動的力，這種阻礙滑動的力稱為滑動摩擦力。當(dāng)物體之間有相對滑動趨勢而尚未滑動時(shí)，物體間的滑動摩擦力稱為靜滑動摩擦力；物體之間已經(jīng)產(chǎn)生相對滑動時(shí)，物體間的滑動摩擦力稱為動滑動摩擦力。

1.靜滑動摩擦力

靜滑動摩擦力可以看做是接觸面約束對具有滑動趨勢物體的切向約束反力。通過圖3-23所示的實(shí)驗(yàn)裝置，可以看出靜滑動摩擦力與一般約束反力的異同點(diǎn)，從而認(rèn)識靜滑動摩擦力的性質(zhì)。圖3-23重為WA的物體放在粗糙的水平面上，通過繩索與托盤相連，固定面對物體A的約束反力有法向反力FN與切向靜滑動摩擦力FS。

當(dāng)盤中無砝碼時(shí)(盤自重不計(jì))，由物塊的平衡可知：FS=FT=W=0。逐漸增加盤中砝碼的重量，但不超過某一極限值W0時(shí)，有FS=W；當(dāng)砝碼重量達(dá)到極限值W0時(shí)，物塊將處于臨界平衡狀態(tài)，即處于將要滑動但尚未滑動的平衡狀態(tài)，這時(shí)靜滑動摩擦力達(dá)到最大值FS=FSmax=W0，若再增加砝碼的重量，摩擦力不再增加，物塊開始滑動，從而失去平衡。由此可知：一方面,靜摩擦力的數(shù)值隨主動力的變化而改變，其方向與物體運(yùn)動趨勢的方向相反；另一方面,摩擦力的數(shù)值不隨主動力的增大而無限增大，而是不能超過某一個(gè)極限值，這個(gè)極限值稱為最大靜摩擦力，記為FSmax。于是，靜滑動摩擦力的取值范圍是

0≤FS≤FSmax

最大靜摩擦力的取值滿足摩擦定律：臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，其大小與物體間的法向反力成正比，其方向與物體的滑動趨勢方向相反。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

FSmax=fS·FN(3-12)

這是一個(gè)近似的實(shí)驗(yàn)定律，其中fS稱為靜滑動摩擦系數(shù)，它是反映摩擦表面物理性質(zhì)的一個(gè)比例常數(shù)，其數(shù)值與相互接觸物體的材料、接觸表面的粗糙度、濕度、溫度等因素有關(guān)，而與接觸面面積的大小無關(guān)。表3-1列出了常見材料的靜滑動摩擦系數(shù),供應(yīng)用時(shí)參考。

必須指出，式(3-12)所表示的關(guān)系式是近似的，它并沒有反映出摩擦現(xiàn)象的復(fù)雜性。但由于公式簡單，應(yīng)用方便，用它所求得的結(jié)果對于一般工程問題來說，已能滿足要求，故目前仍廣泛應(yīng)用。

2.動滑動摩擦力的性質(zhì)

當(dāng)物體已經(jīng)滑動時(shí)，接觸面上作用有阻礙相對滑動的動滑動摩擦力，在數(shù)值上它也與接觸面的法向反力成正比，即

F=f·FN

(3-13)

其中f是動滑動摩擦系數(shù)。它除了與接觸表面的物理性質(zhì)有關(guān)外，還與物體的相對滑動速度有關(guān)，一般速度增大，f將略減小，且趨于一個(gè)極限值，而在工程應(yīng)用中常把f作為常數(shù)，常見材料的動滑動摩擦系數(shù)見表3-1。因此，在處理滑動摩擦問題時(shí)，可用式(3-13)計(jì)算動滑動摩擦力的大小。3.6.3摩擦角的概念與自鎖現(xiàn)象

接觸表面對物體的法向約束反力FN與切向反力FS(即摩擦力)可以合成為一個(gè)合力FRA，如圖3-24(a)所示，稱為全約束反力。全約束反力與接觸面公法線間的夾角α，其數(shù)值為

tanα=FS/FN；當(dāng)靜摩擦力由零增加到最大值時(shí)，α亦由零增加到最大值φ，如圖3-24(b)所示，且有

(3-14)φ稱為摩擦角，它是全約束反力與接觸面公法線間夾角的最大值，或者說最大全反力與法線方向之間的夾角即為摩擦角。

可以想象，在臨界平衡狀態(tài)下，若物體沿各個(gè)方向的摩擦性質(zhì)完全相同，則最大全約束反力FRA形成一個(gè)以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂角為2φ、以對稱軸為法線的正圓錐，稱之為摩擦錐(如圖3-24(c)所示)。圖3-24由式(3-14)可知，摩擦角的正切值等于靜摩擦系數(shù)?？梢娔Σ两呛湍Σ料禂?shù)一樣，也是反映接觸表面摩擦性質(zhì)的一個(gè)物理參數(shù)。

物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值FSmax之間變化，所以全約束反力與法線之間的夾角也在零與摩擦角φ之間變化。由于靜摩擦力不可能超過其最大值，因此全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角之外，即全約束反力必在摩擦角之內(nèi)。摩擦錐是全約束反力在三維空間的作用范圍。由此可以看出，如果作用于物塊全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角(錐)之內(nèi)，則無論這個(gè)力多大，必有相應(yīng)的全約束反力FRA與其平衡，如圖3-24(d)所示。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。工程中常用自鎖原理設(shè)計(jì)一些機(jī)構(gòu)或夾具，如千斤頂、壓榨機(jī)等，使它們工作時(shí)始終處于平衡狀態(tài)。3.6.4有摩擦?xí)r的平衡問題舉例

有摩擦?xí)r的平衡問題與一般平衡問題的解法大致相同，因?yàn)槎叨际抢昧ο档钠胶鈼l件，即靜平衡方程求解未知力。但是，摩擦平衡問題也有其自身的特點(diǎn)，即摩擦力的性質(zhì)決定了其取值為一范圍值，具體需要根據(jù)平衡方程確定。有摩擦?xí)r的平衡問題大致可以分為以下三種類型：

(1)尚未達(dá)到臨界狀態(tài)的平衡：此時(shí)靜滑動摩擦力未達(dá)到最大值，因此，這時(shí)它就是一個(gè)普通的未知約束反力，需要根據(jù)平衡方程確定其大小和方向。

(2)處于臨界狀態(tài)的平衡：最大靜摩擦力為FSmax=

fS·FN，其方向可根據(jù)物體的運(yùn)動趨勢加以判定。這種情況下，靜滑動摩擦力不是一個(gè)獨(dú)立的未知量。

(3)平衡范圍問題：需根據(jù)摩擦力的取值范圍來確定某些主動力或約束反力的取值范圍。在這個(gè)范圍內(nèi)，物體將處于平衡狀態(tài)。一個(gè)平衡范圍問題，可作為兩個(gè)相反運(yùn)動趨勢的臨界平衡問題來處理。

例3-10物塊重為W，放在傾角為α的斜面上，它與斜面間的摩擦系數(shù)為fS，如圖3-25(a)所示。當(dāng)物塊處于平衡狀態(tài)時(shí)，試求作用在物塊上的水平力F的取值范圍。

解：由經(jīng)驗(yàn)可知，力F太大時(shí)，物塊將上滑；力F太小時(shí)，物塊將下滑。因此，力F的數(shù)值必在最大值與最小值之間，此問題屬于平衡范圍問題。圖3-25

(1)求F的最大值。當(dāng)力F達(dá)到最大值時(shí)，物體處于向上滑動的臨界狀態(tài)。此時(shí)摩擦力沿斜面向下，并達(dá)到最大值FSmax。物體共受W、Fmax、FN、FSmax四個(gè)力作用，如圖3-25(b)所示。列平衡方程如下：

∑Fx=0,Fmaxcosα-Wsinα-FSmax=0

(a)

∑Fy=0,FN-Fmaxsinα-Wcosα=0

(b)

此外，根據(jù)摩擦定律，還可列出有一個(gè)補(bǔ)充方程：

FSmax=fS·FN(c)這里摩擦力的最大值FSmax并不等于W·fS·cosα，因?yàn)?/p>

FN≠Wcosα，力FN之值必須由平衡方程決定。

式(a)、(b)、(c)聯(lián)立求解，可解得水平推力的最大值為

(2)求F的最小值。當(dāng)F取最小值時(shí)，物體處于將要向下滑動的臨界狀態(tài)。摩擦力沿斜面向上，并達(dá)到另一最大值F′Smax，物體的受力情況如圖3-25(c)所示。列平衡方程如下：

∑Fx=0,Fmincosα-Wsinα+FSmax′=0(d)

∑Fy=0,FN′-Fminsinα-Wcosα=0(e)

列出補(bǔ)充方程

FSmax′=fS·FN′(f)將式(d)、(e)、(f)聯(lián)立，可解得水平推力的最小值為

綜合上述兩個(gè)結(jié)果可知,為使物體靜止，力F的大小必須滿足如下條件:應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，在臨界狀態(tài)下求解有摩擦的平衡問題時(shí)，必須根據(jù)運(yùn)動趨勢正確地判定摩擦力的方向，而不能隨意假定其方向。

本題也可利用摩擦角的概念，用全約束反力進(jìn)行求解，得

例3-11已知梯子AB長為2a，重為W，其一端置于水平面上，另一端靠在垂直墻壁上(如圖3-26(a)所示)。設(shè)梯子與墻壁及梯子與地面間的摩擦系數(shù)均為fS。試問梯子與水平面間的傾角α多大時(shí)，梯子能處于平衡狀態(tài)？

解：以梯子AB為研究對象。梯子在自重W、A處的約束反力FNA和FSA、B處的約束反力FNB和FSB的共同作用下處于平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下，A、B兩處的摩擦力均達(dá)到最大值，梯子的受力情況如圖3-26(b)所示。圖3-26根據(jù)靜平衡方程與摩擦定律列出靜平衡方程及補(bǔ)充方程如下：以上5式聯(lián)立求解，可得

將所得FNA之值代入式(b)中求出FSB，將FSB及FNB的值代入式(c)，可得再將fS=tanφ代入上式，可解得

所以

依據(jù)題意，傾角α不可能大于π/2。所以，傾角α在π/2-2φ≤α≤π/2范圍內(nèi)時(shí)，梯子即可處于平衡狀態(tài)。

例3-12某制動器的構(gòu)造和主要尺寸如圖3-27(a)所示。若制動塊與鼓輪表面間的摩擦系數(shù)為fS，物塊重為W，求制動鼓輪轉(zhuǎn)動所需的最小力Fmin。

解：所謂最小力，就是剛能制動鼓輪的力，此問題為臨界平衡問題，此時(shí)摩擦力大小滿足靜摩擦定律

FSmax=fS·FN圖3-27

(1)先取鼓輪為研究對象,受力分析如圖3-27(b)所示。列矩式平衡方程如下：

∑MO1(F)=0,FT·r-FSmax·R=0

其中,

FT=W所以有

所需壓緊力為

(b)

(2)取桿為研究對象，受力分析如圖3-27(c)所示。列平衡方程如下：

代入式(a)、(b)有

即欲使鼓輪靜止，至少應(yīng)加力3.6.5滾動摩阻

當(dāng)一個(gè)物體沿另一個(gè)物體表面滾動或具有滾動趨勢時(shí)，除受到滑動摩擦力作用外，還要受到一個(gè)阻力偶作用。這個(gè)阻力偶稱為滾動摩阻力偶，其矩稱為滾動摩阻力偶矩，簡稱為滾動摩阻，記為Mf。

設(shè)重為W的圓形滾子放置在不光滑的水平面上，在滾子中心作用一水平力F，假定滾子與支承面都是剛體，滾子的受力情況如圖3-28(a)所示。這時(shí)，無論A處產(chǎn)生什么樣的摩擦力，都不能阻止?jié)L子滾動。但由經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)力F較小時(shí)，滾子仍能保持靜止不動?？梢娭С忻鎸L子還作用某個(gè)滾阻力偶，來平衡由F和FS構(gòu)成的力偶。實(shí)際上，滾子和支承面均非剛體，當(dāng)兩者壓緊接觸時(shí)表面會發(fā)生一些變形，形成小的接觸面，滾子所受的作用力將分布在這個(gè)接觸面上(如圖3-28(b)所示)，將這一分布力系向

A點(diǎn)簡化，得到一力FR和一矩為Mf的力偶(如圖3-28(c)所示)，F(xiàn)R的兩個(gè)分力為FN、FS。當(dāng)滾子靜止時(shí)，由靜平衡條件可知FS=-F,

FN=-W；同時(shí)由力F和FS組成使?jié)L子滾動的力偶，其矩為Fr；Mf為阻礙滾子滾動的力偶矩，平衡時(shí)應(yīng)滿足Mf=Fr。圖3-28與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf隨著主動力的增加而增大，當(dāng)力F增加到某個(gè)值時(shí)，滾子處于將滾而未滾的臨界狀態(tài)，這時(shí)滾動摩阻力偶矩達(dá)到最大值，記為Mmax，若再增大F，滾子就會滾動。在滾動過程中，滾動摩阻力偶矩近似等于Mmax。滾動摩阻Mf的取值介于0與Mmax之間，即

0≤Mf≤Mmax實(shí)踐表明，最大滾動摩阻力偶矩與滾子半徑無關(guān)，而與法向反力的大小成正比，即

Mmax=δFN

(3-15)

這就是滾動摩阻定律，其中δ是比例常數(shù)，稱為滾動摩阻系數(shù)。

根據(jù)力的平移定理的逆過程，可將法向反力FN與最大滾動摩阻Mmax合成為一力FN′，如圖3-29(b)所示。偏移的距離即為滾動摩阻系數(shù)，它具有長度量綱，單位為毫米(mm)。滾動摩阻系數(shù)的取值完全取決于材料，在工程手冊中均可查到。如軟鋼—軟鋼的滾動摩阻系數(shù)為0.5mm，木材—木材的滾動摩阻系數(shù)為0.5~0.8mm。圖3-29

例3-13半徑為r，重為W的車輪，放置在傾斜的鐵軌上，如圖3-30所示。已知鐵軌傾角為α，車輪與鐵軌間的滾動摩阻系數(shù)為δ，求車輪平衡時(shí)α應(yīng)滿足的條件。

解：取車輪為研究對象，受力如圖3-30所示。根據(jù)靜平衡條件列出平衡方程如下：

∑MA=0,

-Mf+Wrsinα=0

∑Fy=0,

FN-Wcosα=0

解得Mf=Wrsinα,FN=Wcosα。圖3-30由于滾動摩阻Mf不能超過它的最大值Mmax=δFN，因此

Wrsinα≤δWcosα

解得tanα≤δ/r，這就是車輪平衡所必須滿足的條件。

這個(gè)關(guān)系可以啟發(fā)我們用簡單的實(shí)驗(yàn)方法獲得滾動摩阻系數(shù)δ。當(dāng)車輪開始沿鐵軌向下滾動時(shí)，滾動摩阻力偶矩達(dá)到最大值Mmax，設(shè)此時(shí)的傾角為θ，則有

δ=rtanθ思考題

3-1試問思3-1圖中所示的力F和力偶(F1，F(xiàn)2)對于輪的作用效果是否相同？A、B處的約束反力是否相同？其中F1=F2=F/2，輪的半徑均為r。思3-1圖

3-2在剛體A、B、C三點(diǎn)上分別作用三個(gè)力F1、F2、F3，各力的方向如思3-2圖所示，大小恰好與三角形的邊長成正比，問該力系能否平衡？為什么？思3-2圖

3-3思3-3圖所示的結(jié)構(gòu)中，哪些是靜定結(jié)構(gòu)？哪些是靜不定結(jié)構(gòu)？若為靜不定結(jié)構(gòu)，試判斷其靜不定次數(shù)。思3-3圖

3-4物塊重W，放置在粗糙的水平面上，接觸處的摩擦系數(shù)為fS，要使物塊沿水平面向右滑動，可沿OA方向施加力F1，也可沿BO方向施加力F2，如思3-4圖所示，試問哪種方法省力，為什么？思3-4圖

3-5已知Π形物體重為W，尺寸如思3-5圖所示?，F(xiàn)以水平力F拉此物體，當(dāng)剛開始拉動時(shí)，A、B兩處的摩擦力是否都達(dá)到最大值？如果A、B兩處的靜摩擦系數(shù)均為fS，兩處摩擦力是否相等？如果力F較小而未能拉動物體，能否求出A、B兩處的靜摩擦力？思3-5圖

3-6試找出思3-6圖所示結(jié)構(gòu)中的零力桿。思3-6圖

3-7騎自行車時(shí)，自行車前后輪各有什么樣的摩擦力？其方向如何？試畫出來。

3-8輪子做純滾動時(shí)，滑動摩擦力是否等于fSFN？怎樣求輪子滾動時(shí)地面作用在輪子上的滑動摩擦力？習(xí)題

3-1已知題3-1圖中F1=150N，F(xiàn)2=200N，F(xiàn)3=300N，F(xiàn)=F′=200N，試求：

(1)力系向O點(diǎn)簡化的結(jié)果；

(2)求力系的合力，并在圖中標(biāo)出合力的位置。圖中尺寸單位為mm。題3-1圖

3-2求題3-2圖所示力系合成的最終結(jié)果，圖中長度單位為m。題3-2圖

3-3如題3-3圖所示，已知F=400N，q=10N/cm，M=200N·m，a=50cm，求各梁的支座反力。題3-3圖

3-4題3-4圖所示為一旋轉(zhuǎn)式起重機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖，已知起吊貨物重W=60kN，AB=1m，CD=3m，不計(jì)支架自重，求A、B處的約束反力。題3-4圖

3-5高爐上料小車如題3-5圖所示，車和料共重W=240kN，重心在點(diǎn)C處，已知a=1m，b=1.4m，e=1m，d=1.4m，α=55°，料車做勻速運(yùn)動。求鋼索的拉力F的大小及軌道

A、B處的支反力。題3-5圖

3-6在題3-6圖所示的剛架中，已知q=3kN/m，

kN，M=10kN·m，不計(jì)剛架自重，求固定端A處的約束反力。題3-6圖

3-7如題3-7圖所示的均質(zhì)梁AB上鋪設(shè)有起重機(jī)軌道。起重機(jī)重50kN,其重心在鉛直線CD上,貨物重量為W1=10kN,梁重W2=30kN，尺寸如圖所示。在圖示位置時(shí)，起重

機(jī)懸臂和梁AB位于同一鉛直面內(nèi)。試求支座A和B的反力。題3-7圖

3-8水平梁AB由鉸鏈A和桿BC支承，如題3-8圖所示。在梁上D點(diǎn)用銷子安裝半徑r=0.1m的滑輪。有一跨