上海市虹口區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

虹口區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷2024.12考生注意：1.本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．已知集合，，則．2．函數(shù)的定義域是________．3．若，則______．4．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______．5．設(shè)且，則函數(shù)的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為________．6．若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_______．(結(jié)果保留)7．已知非零復(fù)數(shù)滿足，，則的虛部為______．8．已知?jiǎng)t的解集是______．第9題圖9．如圖，已知正三角形和正方形的邊長(zhǎng)均為，且二面角的大小為，則_______．第9題圖10．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，若以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與在第一象限交于點(diǎn)，且，則的離心率為______．11．2024年10月30日“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射成功，標(biāo)志著中國(guó)空間站建設(shè)進(jìn)入新階段．在飛船豎直升空過(guò)程中，某位記者用照相機(jī)在同一位置以同一姿勢(shì)連續(xù)拍照兩次．已知“神舟十九號(hào)”飛船船體實(shí)際長(zhǎng)度為，且在照片上飛船船體長(zhǎng)度為，比較兩張照片，相對(duì)于照片中的同一固定參照物飛船上升了．假設(shè)該記者連按拍照鍵間的反應(yīng)時(shí)間為，并忽略相機(jī)曝光時(shí)長(zhǎng)，若用平均速度估算瞬時(shí)速度，則拍照時(shí)飛船的瞬時(shí)速度為________．（用含有、、、的式子表示）12．已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列中任一項(xiàng)均為集合中的元素，且相鄰兩項(xiàng)滿足，.若中任意兩項(xiàng)都不相等，則滿足條件的數(shù)列有_______個(gè)．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13．已知，則“”是“”的（）條件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．已知事件和事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．事件和事件獨(dú)立B．事件和事件互斥C．事件和事件對(duì)立D．事件和事件互斥15．已知邊長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個(gè)面都相切的球）的球心為，若空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，、、，則點(diǎn)的軌跡所形成的幾何體的體積為（）．A．B．C．D．16．設(shè)數(shù)列的前四項(xiàng)分別為、、、，對(duì)于以下兩個(gè)命題，說(shuō)法正確的是（）．①存在等比數(shù)列以及銳角，使成立．②對(duì)任意等差數(shù)列以及銳角，均不能使成立．A．①是真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.17．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)設(shè)．(1)當(dāng)函數(shù)的最小正周期為時(shí)，求在上的最大值；(2)若，且在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)為、、，銳角滿足，，求的最小值．18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖，已知在四棱柱中，平面，、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；第18題圖(2)若底面為梯形，∥，，，異面直線與所成角為．求直線與平面所成角的正弦值．第18題圖19．(本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分，第2小題6分)2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕．某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分（滿分100分），平臺(tái)將評(píng)分分為、、、、共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．第19題圖1第19題圖2(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差．20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，設(shè)為上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為，則在上是否存在點(diǎn)使的面積為，若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，當(dāng)直線與軸和軸均不平行時(shí)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)設(shè)，.若函數(shù)滿足恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意以及，都有．若當(dāng)時(shí)，恒有．求證：函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均具有性質(zhì)．參考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.13122 13.C 14.B 15.A 16.A17.（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以． 2分故． 4分由于，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取到最大值． 6分（2）當(dāng)，所以．故當(dāng)時(shí)，，即，由于為銳角，解得． 8分因?yàn)椋傻茫?10分所以． 12分等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)的最小值為． 14分18.（1）連接交于點(diǎn)，連接．由于是四棱柱且平面，故四邊形為矩形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即與平行，且． 2分由于與平行，且，故與平行且相等，故四邊形為平行四邊形，所以與平行． 4分因?yàn)椴辉谄矫嫔?，在平面上?6分所以平面．（2）由于異面直線與所成角為且與平行，為與所成角（或其補(bǔ)角），所以，即． 8分以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、為、、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，． 10分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，可得． 12分設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為． 14分19.（1）， 2分所以第35百分位數(shù)為第7位和第8位數(shù)的平均數(shù)，故為68． 4分（2）這20名觀眾有2名的評(píng)分大于等于90分，18名的評(píng)分小于90分． 6分所以至少有1人的評(píng)分大于等于90分的概率為． 8分（3）由于分層抽樣，故可得上的頻率為，上的頻率為．故評(píng)分位于上的頻數(shù)為，位于上的頻數(shù)為． 10分所以設(shè)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，每個(gè)評(píng)分設(shè)為，；位于上的均值為73，方差為134.6，位于上的均值為與方差，每個(gè)評(píng)分設(shè)為，．所以，解得． 12分，即，解得． 14分所以位于上的均值為，方差為．20.（1）當(dāng)時(shí)，． 2分故． 4分（2）若存在這樣的點(diǎn)，由題可知，點(diǎn)到直線的距離． 6分故點(diǎn)為與直線相距且與直線平行的直線與橢圓的交點(diǎn)．直線，設(shè)，則，解得或者． 8分當(dāng)時(shí)，，解得或；當(dāng)時(shí)，，方程組無(wú)解，所以存在這樣的點(diǎn)，且坐標(biāo)為或． 10分（3）由題可知，直線的斜率必存在且不為零，設(shè)．則，化簡(jiǎn)得（*），設(shè)，，故． 12分因?yàn)?，由于，可得?14分取線段的中點(diǎn)，有．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，化簡(jiǎn)得，有． 16分由于方程（*）有兩個(gè)不同的解，故，代入化簡(jiǎn)得，故． 18分21.（1）記顯然是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，故， 2分所以對(duì)恒成立，具有性質(zhì). 4分（2）,當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增；當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格減. 6分函數(shù)具有性質(zhì)，故對(duì)恒成立.若，則，函數(shù)在上嚴(yán)格增，恒成立，此時(shí)函數(shù)具有性質(zhì).若，則函數(shù)在上嚴(yán)格減，，故函數(shù)不具有性質(zhì). 8分 若，則函數(shù)在上嚴(yán)格增，“對(duì)恒成立”等價(jià)于“對(duì)恒成立”.而在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)