湖南省長沙市芙蓉區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題含答案及解析

2023-2024學年芙蓉區(qū)八年級上學期期末考試數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題）1.現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列美術字是軸對稱圖形的是（）A誠 B.信 C.友 D.善2.要使分式有意義，則取值應滿足（）A. B. C. D.3.點關于y軸對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.5.下列計算正確的是（）A.a8÷a2=a4 B.a3·a4=a7 C.（2a2）3=6a6 D.（）-2=6.下列各式中，正確的是（）A B.C. D.7.與的邊重合，．添加下一個條件后，仍無法判定的是（）A. B.C. D.8.如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，若，則的度數(shù)為（）A.25° B.30° C.35° D.50°9.如圖，在中，平分，，，則的長為（）A.3 B.11 C.15 D.910.關于的方程的兩個解為；的兩個解為；的兩個解為，則關于的方程的兩個解為（）A. B.C. D.二、填空題（共6小題）11.計算：＝_____．12.數(shù)0.0000046用科學記數(shù)法表示為：__________．13.已知，則的值為__________．14.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為__________．15.已知a+b＝5，ab＝3，＝_____．16.如圖，在中，，點和點在直線的同側(cè)，，連接，則的度數(shù)為__________．三、解答題（共9小題）17.計算18.分解因式：（1）；（2）19.先化簡，再求值：，其中．20.解分式方程（1）（2）．21.如圖，在平面直角坐標系中，點A（-3，0），點B（-1，5）．（1）①畫出線段AB關于y軸對稱的線段CD；②在y軸上找一點P使PA+PB值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）；（2）按下列步驟，用不帶刻度的直尺在線段CD找一點Q使∠BAQ=45°．①在圖中取點E，使得BE=BA，且BE⊥BA，則點E的坐標為___________；②連接AE交CD于點Q，則點Q即為所求．22.已知，在中，，，，，垂足分別為點，．（1）如圖，求證：；（2）如圖，點為的中點，連接，請判斷的形狀？并說明理由．23.“軍運會”期間，某紀念品店老板用5000元購進一批紀念品，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用6000元購進同樣數(shù)目的這種紀念品，但第二次每個進價比第一次每個進價多了2元．（1）求該紀念品第一次每個進價是多少元？（2）老板以每個15元的價格銷售該紀念品，當?shù)诙渭o念品售出時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二次的銷售利潤不低于900元，剩余的紀念品每個售價至少要多少元？24.如圖，在四邊形中，所在的直線垂直平分線段，過點作交于，延長、交于點．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）若，，的面積為求的長．25閱讀下面材料并解決有關問題：（一）由于，所以，即，并且當時，；對于兩個非負實數(shù)，，由于所以，即，所以，并且當時，；（二）分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；（1）在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；（2）已知：，求代數(shù)式的值；（3）當為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）

2023-2024學年芙蓉區(qū)八年級上學期期末考試數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題）1.現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列美術字是軸對稱圖形的是（）A.誠 B.信 C.友 D.善【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形概念逐一進行分析即可得.【詳解】A.不是軸對稱圖形，故不符合題意；B.不軸對稱圖形，故不符合題意；C.不是軸對稱圖形，故不符合題意；D.是軸對稱圖形，符合題意，故選D.【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟知“平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形”是解題的關鍵.2.要使分式有意義，則的取值應滿足（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不為0可得關于x的不等式，解不等式即得答案．【詳解】解：要使分式有意義，則，所以．故選：A．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，屬于應知應會題型，熟知分式的分母不為0是解題的關鍵．3.點關于y軸對稱的點的坐標是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即可完成解答．【詳解】解：點關于y軸對稱的點的坐標是；故選：C．【點睛】本題考查了點關于坐標軸對稱的問題，熟悉點關于坐標軸對稱的特點是關鍵．4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；B．是因式分解，故本選項符合題意；C．右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；D．右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．5.下列計算正確的是（）A.a8÷a2=a4 B.a3·a4=a7 C.（2a2）3=6a6 D.（）-2=【答案】B【解析】【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方與積的乘方運算法則以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A．a(chǎn)8÷a2=a6，故本選項不合題意；B．a(chǎn)3·a4=a7，正確；C．（2a2）3=8a6，故本選項不合題意；D，（）-2=4，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．6.下列各式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、等號右邊分子分母同時乘以，得左邊，故A錯誤，不合題意；B、分式的分子分母同時加一個非零的數(shù)，得到的分式值與原分式不一定相等，故B錯誤，不合題意；C、，故C錯誤，不合題意；D、分子分母同時乘以，即，故D正確，符合題意．故選：D7.與的邊重合，．添加下一個條件后，仍無法判定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【詳解】解：A、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；B、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；C、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；D、、、，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項符合題意；故選：D．8.如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，若，則的度數(shù)為（）A.25° B.30° C.35° D.50°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠B=∠C=∠BAF，設∠B=x，則△ABC的三個內(nèi)角都可用含x的代數(shù)式表示，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得關于x的方程，解方程即得答案．【詳解】解：∵，∴∠B=∠C，∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF，設∠B=x，則∠BAF=∠C=x，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：，解得：，即．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于常見題型，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵．9.如圖，在中，平分，，，則的長為（）A.3 B.11 C.15 D.9【答案】B【解析】【分析】在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△AED，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和已知條件可得∠BDE＝∠AED，進而可得CD＝EC，再代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．10.關于的方程的兩個解為；的兩個解為；的兩個解為，則關于的方程的兩個解為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得：的兩個解為，然后把所求的方程變形為：的形式，再根據(jù)上述規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：的兩個解為，∵方程即為：，∴的解為：或，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了分式方程的解法，解題時要注意給出的例子中的方程與解的規(guī)律，還要注意套用例子中的規(guī)律時，要保證所求方程與例子中的方程的形式一致．二、填空題（共6小題）11.計算：＝_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪公式可得答案．【詳解】解：＝1；故答案為：1．【點睛】本題主要考查了零指數(shù)冪，任何非0數(shù)的0次冪等于1．12.數(shù)0.0000046用科學記數(shù)法表示為：__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法解答即可．【詳解】解：0.0000046=．故答案為：．【點睛】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．13.已知，則的值為__________．【答案】﹣5【解析】【分析】等式左邊根據(jù)多項式的乘法法則計算，合并后對比兩邊系數(shù)即得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴m=﹣5．故答案為：﹣5．【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，屬于基礎題型，熟練掌握多項式乘法的運算法則是解題關鍵．14.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為__________．【答案】6x+14=8x【解析】【分析】設有牧童x人，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的總數(shù)不變，列出方程，即可．【詳解】解：設有牧童x人，根據(jù)題意得：6x+14=8x，故答案是：6x+14=8x．【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出方程，是解題的關鍵．15.已知a+b＝5，ab＝3，＝_____．【答案】．【解析】【分析】將a+b=5、ab=3代入原式=，計算可得．【詳解】當a+b=5、ab=3時，原式====.故答案為．【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關鍵是熟練掌握分式的加減運算法則和完全平方公式．16.如圖，在中，，點和點在直線的同側(cè)，，連接，則的度數(shù)為__________．【答案】30°【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理以及角的和差求出的度數(shù)，然后作點D關于直線AB的對稱點E，連接BE、CE、AE，如圖，則BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，進而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，從而可證△EBC是等邊三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，進一步即可根據(jù)SSS證明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度數(shù)，問題即得解決．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，作點D關于直線AB的對稱點E，連接BE、CE、AE，如圖，則BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等邊三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=，∴∠ADB=30°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)等知識，涉及的知識點多、綜合性強，難度較大，作點D關于直線AB的對稱點E，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形的模型是解題的關鍵．三、解答題（共9小題）17.計算【答案】【解析】【分析】先按照負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、絕對值的概念計算，再進一步合并即可．【詳解】．【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值的運算，解答本題的關鍵是明確它們各自的運算法則．18.分解因式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基礎題型，熟練掌握分解因式的方法是解題關鍵．19.先化簡，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先用平方差公式、完全平方公式展開，再去括號、合并同類項進行化簡，最后代入求值．【詳解】當時原式【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式、整式的化簡求值，熟練進行整式的化簡是解題的關鍵．20.解分式方程（1）（2）．【答案】（1）（2）無解【解析】【分析】本題考查了分式方程的解法．（1）方程兩邊同乘化為整式方程，解得，經(jīng)檢驗是原方程解；（2）方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗不是原分式方程解，即可得到原分式方程無解．【小問1詳解】解：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗：當時，，∴是原方程的解；【小問2詳解】解：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗：當時，，∴不是原分式方程的解，∴原分式方程無解．21.如圖，在平面直角坐標系中，點A（-3，0），點B（-1，5）．（1）①畫出線段AB關于y軸對稱的線段CD；②在y軸上找一點P使PA+PB的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）；（2）按下列步驟，用不帶刻度的直尺在線段CD找一點Q使∠BAQ=45°．①在圖中取點E，使得BE=BA，且BE⊥BA，則點E的坐標為___________；②連接AE交CD于點Q，則點Q即為所求．【答案】（1）見解析（2）①圖見解析，E（4，3）；②見解析【解析】【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可作出線段CD，連結(jié)AC交y軸于點P；（2）①由垂直的定義可作出線段BE，可寫出點E的坐標；②連接AE交CD于點Q，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠BAQ=45°，點Q即為所求．【小問1詳解】解：①如圖所示，線段CD即為所求．②如圖所示，點P就是所求的點；【小問2詳解】解：①由垂直的定義可作出線段BE，點E坐標為（4，3），故答案為：（4，3）；②如圖所示，點Q即為所求．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題關鍵是靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)．22.已知，在中，，，，，垂足分別為點，．（1）如圖，求證：；（2）如圖，點為的中點，連接，請判斷的形狀？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析．【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直的定義及直角三角形中兩個銳角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；(2)連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及斜邊上的中線的性質(zhì)得出，，，再由全等三角形的判定得出，，最后結(jié)合圖形證明即可．【小問1詳解】解：證明：，，，．，，．在和中，，，，，即；【小問2詳解】是等腰直角三角形．理由：如圖2，連接．，，點是中點，，，，．，，且，．在和中，，．在和中，．，，，且，是等腰直角三角形．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．23.“軍運會”期間，某紀念品店老板用5000元購進一批紀念品，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用6000元購進同樣數(shù)目的這種紀念品，但第二次每個進價比第一次每個進價多了2元．（1）求該紀念品第一次每個進價是多少元？（2）老板以每個15元的價格銷售該紀念品，當?shù)诙渭o念品售出時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二次的銷售利潤不低于900元，剩余的紀念品每個售價至少要多少元？【答案】（1）10元；（2）至少要12元．【解析】【分析】（1）設該紀念品第一次每個進價是x元，則第二次每個進價是（x+2）元，再根據(jù)等量關系：第二次進的個數(shù)＝第一次進的個數(shù)即可列出方程，解方程即得結(jié)果；（2）設剩余的紀念品每個售價y元，由利潤＝售價﹣進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于900元即可列出關于y的不等式，解不等式即得結(jié)果．【詳解】解：（1）設該紀念品第一次每個進價是x元，由題意得：，解得：x＝10，經(jīng)檢驗x＝10是分式方程的解，答：該紀念品第一次每個進價是10元；（2）設剩余的紀念品每個售價y元，由（1）知，第二批購進＝500（個），根據(jù)題意，得：15×500×+y×500×﹣6000≥900，解得：y≥12．答：剩余的紀念品每個售價至少要12元．【點睛】本題考查了分式方程的應用和不等式的應用，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準相等關系是解題關鍵．24.如圖，在四邊形中，所在的直線垂直平分線段，過點作交于，延長、交于點．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）若，，的面積為求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，進而得到，根據(jù)，得到，即可得到，問題得證；（2）根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到，進而得到，即可得到，根據(jù)即可證明；（