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文檔簡介
山東省泰安市泰山區(qū)泰安一中2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.2.已知雙曲線的左,右焦點分別為,O為坐標原點,P為雙曲線在第一象限上的點,直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點,且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.3.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關于原點O的對稱點為A,點P關于x軸的對稱點為Q,設,直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.5.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.6.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.27.已知,若則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.若直線經過拋物線的焦點,則()A. B. C.2 D.9.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線,點是底面圓周上一點,則點到所在直線的距離的最大值是()A. B. C. D.11.下列函數(shù)中,值域為R且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.12.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.安排名男生和名女生參與完成項工作,每人參與一項,每項工作至少由名男生和名女生完成,則不同的安排方式共有________種(用數(shù)字作答).14.已知向量,且,則實數(shù)的值是__________.15.某校初三年級共有名女生,為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓練情況,統(tǒng)計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)(單位:個),并繪制了如下頻率分布直方圖,則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個.16.已知實數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,且二階矩陣M滿足AMB,求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.18.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標為(2,1),設直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.19.(12分)已知數(shù)列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項公式;(3)設,,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.20.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點,且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)已知橢圓()的半焦距為,原點到經過兩點,的直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經過,兩點,求橢圓的方程.22.(10分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關“你來A城市發(fā)展的理由”的調查問卷,參與調查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.2、D【解析】
本道題結合雙曲線的性質以及余弦定理,建立關于a與c的等式,計算離心率,即可.【詳解】結合題意,繪圖,結合雙曲線性質可以得到PO=MO,而,結合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結合,故對三角形運用余弦定理,得到,而結合,可得,,代入上式子中,得到,結合離心率滿足,即可得出,故選D.【點睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質,難度偏難.3、D【解析】
連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.4、C【解析】
設,則,,,設,根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設,則,,,則,設,則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、D【解析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關于1,0中心對稱,排除AB,計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關于f1.5≤2故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別,確定函數(shù)關于1,0中心對稱是解題的關鍵.6、A【解析】
設,直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關系化簡到,得到離心率.【詳解】設,直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.7、C【解析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因為,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因為,所以,即,可化為,因為,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關系的應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,8、B【解析】
計算拋物線的交點為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點坐標為,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線的焦點,屬于簡單題.9、B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若,則,故或,當時,直線,直線,此時兩條直線平行;當時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷,前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮,后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系,本題屬于中檔題.10、C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉化求解的位置,推出結果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線,點是底面圓周上一點,在底面的射影為;,,過的軸截面如圖:,過作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點睛:本題考查空間點線面距離的求法,考查空間想象能力以及計算能力,解題的關鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.11、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;B.,值域為,奇函數(shù),排除;C.,值域為,奇函數(shù),滿足;D.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.12、A【解析】
如圖設平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質,結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面,球心在上,由正四面體的性質可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因為為重心,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質,考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1296【解析】
先從4個男生選2個一組,將4人分成三組,然后從4個女生選2個一組,將4人分成三組,然后全排列即可.【詳解】由于每項工作至少由名男生和名女生完成,則先從4個男生選2個一組,將4人分成三組,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有種.故答案為:1296【點睛】本題主要考查了排列組合的應用,考查了學生應用數(shù)學解決實際問題的能力.14、【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點睛:由向量的數(shù)乘和坐標加減法運算求得,然后利用向量共線的坐標表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.15、【解析】
根據(jù)數(shù)據(jù)先求出,再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解:,.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖,屬于基礎題.16、【解析】
先分離出,應用基本不等式轉化為關于c的二次函數(shù),進而求出最小值.【詳解】解:若取最小值,則異號,,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、特征值為1,特征向量為.【解析】
設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M,然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M=,則AM=,所以,解得,所以M=,則矩陣M的特征方程為,解得,即特征值為1,設特征值的特征向量為,則,即,解得x=0,所以屬于特征值的的一個特征向量為.【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解,矩陣運算的關鍵是明確其運算規(guī)則,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】
(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設,利用韋達定理求出,然后化簡求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設,則,所以,又,所以,故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查了方程的思想,轉化與化歸的思想,考查了學生的運算求解能力.19、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】
(1)依據(jù)下標的關系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項公式知,求出首項和公比即可。利用關系式,列出方程,可以解出首項和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出。【詳解】(1)因為對任意,都有,所以,,兩式相加,,解得;(2)設等比數(shù)列的首項為,公比為,因為對任意,都有,所以有,解得,又,即有,化簡得,,即,或,因為,化簡得,所以故。(3)因為對任意,都有,所以有,成等差數(shù)列,設公差為,,,,,由等差數(shù)列的定義知,也成等差數(shù)列?!军c睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用,意在考查學生的邏輯推理,數(shù)學建模,綜合運用數(shù)列知識的能力。20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接,設,連接.通過證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設,連接,因為,所以,所以,在中,因為,所以,且平面,故平面.(2)因為,,,,,所以,因為,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,由已知可得,,,,所以,因為,所以,所以點的坐標為,所以,,設為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個法向量.,同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角的正弦值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析
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