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文檔簡介
寧夏銀川市六盤山高級中學2025屆高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設等比數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.3.已知全集,集合,則()A. B. C. D.4.中,角的對邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.5.公元前世紀,古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當比賽開始后,若阿基里斯跑了米,此時烏龜便領先他米,當阿基里斯跑完下一個米時,烏龜先他米,當阿基里斯跑完下-個米時,烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時,烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米6.為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強7.設F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.8.若函數(shù)的圖象過點,則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.9.復數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復數(shù)為C.的實部與虛部之和為1 D.在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限10.設是等差數(shù)列的前n項和,且,則()A. B. C.1 D.211.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.12.若集合,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.銳角中,角,,所對的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.14.已知為偶函數(shù),當時,,則__________.15.已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為,則的面積為_________.16.在平面直角坐標系中,雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的上頂點為,圓與軸的正半軸交于點,與有且僅有兩個交點且都在軸上,(為坐標原點).(1)求橢圓的方程;(2)已知點,不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,證明:直線與直線的斜率互為相反數(shù).18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實數(shù)、滿足,求證:.19.(12分)為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識,某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡知識問卷調(diào)查,每一位學生家長僅有一次參加機會,現(xiàn)對有效問卷進行整理,并隨機抽取出了200份答卷,統(tǒng)計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).(1)請利用正態(tài)分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費:②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:獲贈的隨機話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人,請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.20.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(﹣2,4),若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無零點.(1)若為假,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對應的一個特征向量,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用,解答的關鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎題.2、D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.3、D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎題.4、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關系,兩角和的正弦公式與誘導公式,解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.5、D【解析】
根據(jù)題意,是一個等比數(shù)列模型,設,由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個等比數(shù)列模型,設,所以,解得,所以.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.7、A【解析】
準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a關系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.8、B【解析】
把已知點坐標代入求出,然后驗證各選項.【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個選項都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時,,即是對稱軸.故選:B.【點睛】本題考查正弦型復合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.9、D【解析】
利用復數(shù)的四則運算,求得,在根據(jù)復數(shù)的模,復數(shù)與共軛復數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復數(shù)為,復數(shù)的實部與虛部之和為,在復平面內(nèi)對應點位于第一象限,故選D.【點睛】復數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化,其次要熟悉復數(shù)相關基本概念,如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為.10、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎題.11、A【解析】
由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關于e的方程,即可得12、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡,即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形,則,,.故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用,屬于中檔題.14、【解析】
由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對數(shù)函數(shù)的運算,考查運算求解能力15、【解析】
由外接圓面積,求出外接圓半徑,然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角,從而有,于是可得三角形邊長,可得面積.【詳解】設外接圓半徑為,則,由正弦定理,得,∴,,.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角,然后可得邊長,從而得面積,掌握正弦定理是解題關鍵.16、【解析】
求出雙曲線的右準線與漸近線的交點坐標,并將該交點代入拋物線的方程,即可求出實數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準線與漸近線的交點為.由題意得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線上的點求參數(shù),涉及到雙曲線的準線與漸近線方程的應用,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)條件可得,進而得到,即可得到橢圓方程;(2)設直線的方程為,聯(lián)立,分別表示出直線和直線斜率,相加利用根與系數(shù)關系即可得到.【詳解】解:(1)圓與有且僅有兩個交點且都在軸上,所以,又,,解得,故橢圓的方程為;(2)設直線的方程為,聯(lián)立,整理可得,則,解得,設點,,則,,所以,故直線與直線的斜率互為相反數(shù).【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,涉及橢圓的幾何性質(zhì),關鍵是求出橢圓的標準方程,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)分、、三種情況解不等式,綜合可得出原不等式的的解集;(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為,進而可得出,再將代數(shù)式與相乘,利用基本不等式求得的最小值,進而可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)當時,由,得,即,解得,此時;當時,由,得,即,解得,此時;當時,由,得,即,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2),當且僅當時取等號,所以,.所以,當且僅當,即,時等號成立,所以.所以,即.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立,涉及絕對值三角不等式的應用,考查運算求解能力,屬于中等題.19、(1);(2)估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】
(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.(2)設某家長參加活動可獲贈話費為元,利用題設條件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得又,,所以;(2)根據(jù)題意,某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10,20,30,40元,且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為,得10元的情況為低于平均值,概率,得20元的情況有兩種,得分低于平均值,一次性獲20元話費;得分不低于平均值,2次均獲贈10元話費,概率,得30元的情況為:得分不低于平均值,一次獲贈10元話費,另一次獲贈20元話費,其概率為,得40元的其情況得分不低于平均值,兩次機會均獲20元話費,概率為.所以變量的分布列為:某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望,注意與正態(tài)分布有關的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進行,本題屬于中檔題.20、(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】
(2)設圓心為M(m,0),根據(jù)相切得到,計算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.【詳解】(2)設圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因為m為整數(shù),故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5
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