2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)高分突破智取壓軸小題13 與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)

與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題

一.方法綜述

如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多

面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的

空間想象能力以及化歸能力。

研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個(gè)方面的問題：

（1）多面體外接球半徑的求法，當(dāng)三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時(shí)，可構(gòu)造長方體或正方體.

（2）與球的外切問題，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，可通過作截面來解決.

（3）球自身的對(duì)稱性與多面體的對(duì)稱性；

二.解題策略

類型一柱體與球

[tt1]（2020.河南高三（理））已知長方體ABC。-44GA的表面積為208,A3+3C+AA=18,

則該長方體的外接球的表面積為（）

A.116萬B.1064C.567rD.534

【答案】A

【解析】

（AB+BC-^AA=IS,,,

【分析】由題意得出《ADM-由這兩個(gè)等式計(jì)算出AB-+8。?+M，可

[ABBC-^-BC'AAy+ABAAi=104

求出長方體外接球的半徑，再利用球體表面積公式可計(jì)算出結(jié)果.

【洋解】依題意，AB+BC+AA,=18,ABBC+BCAA.-^ABAA.=104,

222

所以，AB+BC+A^=（AB^BC+AA]）-2（ABBC+BCAA]+ABAA]）=116,

故外接球半徑r=JAB”。、到=V29，

2

因此，所求長方體的外接球表面積S=4〃/=1167r.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用長方體的棱長來表示外接球的半徑.

【舉一反三】

1.（2020?河南高三模擬）已知三棱柱的底面是邊長為G的等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面且側(cè)棱長為2,若

該棱柱的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（)

A.-7iB.—7TC.5萬D.87r

33

【答案】D

【解析】根據(jù)條件可知該三棱柱是正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，如圖,

則其外接球的半徑R=OB=］=五,

V1丫⑶（2sin60。）

外接球的表面積S=4〃x2=8/r.故選：D

【指點(diǎn)迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，確定球心，用球心、一底面

的外接圓的圓心，一頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形“用勾股定理得關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式，可球的半徑.

2.（2020?安徽高三（理））已知一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，現(xiàn)用一個(gè)平面去截這個(gè)球和正方體，

得到的截面圖形恰好是一個(gè)圓及內(nèi)接正三角形，若此正三角形的邊長為。，則這個(gè)球的表面積為（）.

33

A.-7ccrB.C.6兀（『D.-7ta~

42

【答案】D

【解析】由已知作出截面圖形如圖1，可知正三角形的邊長等于正方體的面對(duì)角線長，正方體與其外接球的

位置關(guān)系如圖2所示，可知外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長，設(shè)正方體的棱長為〃?，外接球的半徑為

R，則4=上加，2R=G〃Z，所以R二手〃，所以外接球的表面積為5=4乃店=4/乂［號(hào)］=1^2,

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球、正方體的截面和空間想象能力，分析出外接球的半徑與正三角形的邊

長的關(guān)系是本題的關(guān)鍵，

3.12020?河南高三（理））有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為20cm,高度為100cm,

現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

（附：1.414,百732,上=2.236）

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長為10cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為5&cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層“，這樣裝〃層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為（10+5夜（〃-1）卜m,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+505-1）＜100,解得〃41+9收到3.726，

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.故選：C

類型二錐體與球

【例2】5.已知球。的半徑為亞，以球心。為中心的正四面體「的各條棱均在球。的外部，若球。的

球面被「的四個(gè)面截得的曲線的長度之和為84，則正四面體「的體積為.

【來源】重慶市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

【答案】18拒

【解析】由題知，正四面體截球百所得曲線為四個(gè)半徑相同的網(wǎng)，每個(gè)圓的周長為2不，半徑為1,故球心

。到正四面體各面的距離為=半，設(shè)正四面體棱長為。，如圖所示，則斜高

AE=3EF=^~a，體高在Rt二AEF和Rr二4Go中，==

23404E3

即77=:，??"=6,V」曳2.旦=叵63=18拉.

\/66/_V6334312

丁一三

【舉一反三】

1.（2020四川省德陽一診）正四面體ABCD的體積為則正四面體ABCD的外接球的體積為—

【答案】*2ffa3

2

【解析】如圖，

設(shè)正四面體ABCD的棱長為*過A作AD_LBC,

設(shè)等邊三角形ABC的中心為0,則A。==FV

??.PO=卜一（六）2=a

=]'；X，TX,^X=7,即X=V2a.

再設(shè)正四面體ABCD的外接球球心為G,連接GA,

則戶=402+GO2-（ya）2+（苧Q-R）L即R=yfl.

???正四面體ABCD的外接球的體積為V二半x（劣尸二?啟故答案為：生猶

2.（2020?寧夏育才中學(xué)）《九章算術(shù)》是我國占代的數(shù)學(xué)名著，其中有很多對(duì)幾何體體積的研究，已知某囤積

糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為32國高為h的圓柱，上面是一個(gè)底面積為32。高為h的圓錐，若該容器有外

接球，則外接球的體積為

【答案】288乃

【解析】如圖所示，根據(jù)圓柱與圓錐和球的對(duì)稱性知，

其外接球的直徑是2R=3〃，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，母線長為/=/?,

則訂2=32乃，解得尸=4&，又『+（2，）2=（3療，

.?/2+（80）2-9/，,解得/z=4,

???外接球的半徑為R=：X4=6,

2

，外接球的體積為V=皿=網(wǎng)曳=288產(chǎn).

33

3.（2020?貴陽高三（理））在四棱錐P—ABC。中，底面A8C。是邊長為4的正方形，△^4。是一個(gè)正三

角形，若平面小DJ_平面A8C。，則該四棱錐的外接球的表面積為（）

14萬「28乃-56萬、112乃

A.——B.-------C.——D.---------

3333

【答案】D

【解析】

【分析】過Q作P尸_LA。，交AD于尸，取5c的中點(diǎn)G,連接PG,FG,取。廠的三等分點(diǎn)〃

（PH=2HF）,取G/的中點(diǎn)E,在平面尸始過日尸分別作GEP廠的垂線，交于點(diǎn)O,可證。為外

接球的球心，利用解直角三角形可計(jì)算PO.

【詳解】如圖，過P作P/J.AD,交AO于尸，取8C的中點(diǎn)G,連接PG,/G,在。尸的三等分點(diǎn)”

（PH—2HF）,取GF的中點(diǎn)E,在平面PFG過E"分別作G凡尸尸的垂線，交于點(diǎn)O.

因?yàn)锳E4O為等邊三角形，AF=FD，所以尸/_LAO.

因?yàn)槠矫嫦?。，平面A3CO,"面平面A8CD=AQ,Pbu平面PAD，

所以比_L平面ABC。，因Gbu平面ABC。，故PFLGF.

乂因?yàn)樗倪呅?8co為正方形，而G,少為3cA。的中點(diǎn)，故尸GCD,故G尸_LAO,

因AO「PP二/，故平面尸AD.

在心APG產(chǎn)中，因OE上GF,PF上GF,故,OE上PF,故OF_L平面ABC。,

同理OH_L平面BAO.

因E為正方形ABC。的中心，故球心在直線OE上，

因以為△/%￡>的中心，故球心在直線OH上，故。為球心，0P為球的半徑.

在RfAPG/中，PH=2PF=，4X^=巫,OH=EF=2,

3323

故8=/4+號(hào)=后=￥^所以球的表面積為47rxm二衛(wèi)|三.

類型三構(gòu)造法(補(bǔ)形法)

【例3】已知三棱錐P-A3c的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，PA_L底面ABC,AB1AC,AB=6,

AC=8,。是線段A8上一點(diǎn)，且A￡>=2￡>8.過點(diǎn)。作球。的械面，若所得截面圓面積的最大值與最小

值之差為25"，則球。的表面積為()

A.1284B.1327rC.144萬D.1567r

【答案】B

【解析】?；B4_L平面ABC,AB1AC,將三棱錐P—A3C補(bǔ)成長方體PQMN-A8EC,如下圖所示:

設(shè)連接OF、DF.0D,可知點(diǎn)。為PE的中點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜛8EC為矩形，AEBC=F,則/為AE的中點(diǎn)，所以，OFHPAQOF=gpA,

設(shè)%=2x，且AE=J/W'S=10'.?.PE=JPA2+AE2=25/、+25,

所以，球以的半徑為R=?PE=Jf+25,

2

AryQ

在用A/ABE中，ZABE=-,AB=6,4石=10,cosZBAE=—=-,

2AE5

2_

在「AZ)77中，AD=-AB=4,AF=5>

由余弦定理可得DF=JAD2+AF2-2AD-AFcosZBAE=J萬，

?/。/u平面ABCD,則OF工DF,

-OF=^PA=x,...OD=J。尸+DF?+17,

設(shè)過點(diǎn)。的球。的截面圓的半徑為一，設(shè)球心。到截面圓的距離為d,設(shè)。。與截面圓所在平面所成的角

為0，則d=QC)sin0=,/?2一產(chǎn).

當(dāng)。=0時(shí)，即截面圓過球心。時(shí)，d取最小值，此時(shí)廠取最大值，即9：=葉=Jf+25；

當(dāng)。=搟時(shí)，即。。與截面圓所在平面垂直時(shí)，”取最大值，即4_=OD=Jf+i7,

此時(shí)，廠取最小值，即“卜-(3=2&.

由題意可得乃[(=)2—(*n)[=(d+17)l=25i,?.?x>0,解得x=2五.

所以，R二后,因此，球。的表面枳為5=47斤=132萬.

故選：B.

【舉一反三】

1.(2020寧夏石嘴山模擬)三棱錐5-ABC中，側(cè)棱M與底面ABC垂直，“=1，AB=2,0C=3且AB1BG

則三棱錐S-A8C的外接球的表面積等于.

【答案】10n

【解析】把三棱錐5-ABC，放到長方體ABCD-S31C】Di里,如下圖：

SC=<5?+AC2=d因此長方體ABCD-5%CWi的外接球的直徑為JU,

所以半徑R二呼,則三棱錐5-A5C的外接球的表面積為4碇2=10n.

2

2.（202（）前澤高三模擬）己知直三棱柱4BC-A】B]Ci的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和丫，

此三棱柱的高為2V3,則該三棱柱的外接球的體積為

C.學(xué)D.

【答案】C

【解析】

如圖所示，將直三楂柱4BC-A】B]C[補(bǔ)充為長方體,

則該長方體的體對(duì)角線為J(2b)火技“U

設(shè)長方體的外接球的半徑為R則2R=4，R=2,

所以該長方體的外接球的體積P==攀故選C.

3.（2020,貴州高三月考（理））某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

【答案】A

【解析】【分析】如圖所示畫出幾何體，再計(jì)算體積得到答案.

【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱維，可將該幾何體放在一個(gè)正方體內(nèi)，如圖所示;

在棱長為2的正方體—中，

取棱B￡,DA,A民BC,CD的中點(diǎn)分別為E,M,N,P,Q,

則該幾何體為四棱錐E-MNPQ,其體積為:x"5『x2=g.故選：A

類型四與球體相關(guān)的最值問題

【例4】（2020.福建高二期末（理））在外接球半徑為4的正二棱錐中，體積最大的正二楂錐的高力=（）

1413「716

A.—B.—C.-D.—

3423

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)正三棱錐底面的邊長為明高為人由勾股定理可得42=（/?-4尸+（亭，，貝|」8人一肥二；/,

三棱錐的體積V=^（8『一〃3）,對(duì)其求導(dǎo)，分析其單調(diào)性與最值即可得解.

【詳解】

解：設(shè)正三楂錐底面的邊長為。，高為/?,根據(jù)圖形可知

22

4=(/7-4)+

則8/?一"」/〉（）,.

3

又正三棱錐的體積

手/〃二半（8萬一〃2）力=乎（8/?2—/）,則V，=￥（］6/L3〃2）,

令V'=0,則〃=3或〃=0（舍去），

3

.?.函數(shù)V邛儂2一川）在（of單調(diào)遞增，在件8）上單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)力=乎時(shí)，V取得最大值，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查球與多而體的最值問題，常常由幾何體的體積公式、借助幾何性質(zhì)，不等式、導(dǎo)數(shù)等進(jìn)

行解決，對(duì)考生的綜合應(yīng)用，空間想象能力及運(yùn)算求解能力要求較高.

【舉一反三】

1.（2020?廣東高三（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角

三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如

圖所示的塹堵，AC1BC,若AA=A8=2,當(dāng)陽馬8-AACG體積最大時(shí)，則塹堵A8C一4與6的

14x/2

C.---------71D.4瓶兀

【答案】B

【解析】依題意可知8C_L平面｛CGA?設(shè)4c=a，AC=〃，則

AC?+BC?

a2+b2=AB2=4.V.=-x-xACxAAxBC=-xACxBC<-x=-x-=~,當(dāng)

BMCCI32"332323

且僅當(dāng)AC=3C=0時(shí)取得最大值.依題意可知M3cMBA,MBg是以A田為斜邊的直角三角形,

所以塹堵ABC-4四c外接球的直徑為48,故半徑。3=；43=；乂7M2+=V2.所以外接球的

體枳為三.（血了二浮，

特別說明：由于8C_L平面ACC4,AABCAABAAA/4是以為斜邊的直角三角形，所以塹堵

ABC-A禺G外接球的直徑為為定值，即無論陽馬B-AACG體積是否取得最大值，塹堵

ABC-A4G外接球保持不變，所以可以直接由直徑4B的長，計(jì)算出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的

體積.故選：B

2.（2020?遵義市南白中學(xué)高三期末）已知4，B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=5

ZABC=90°,若四面體A8CO體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為（）

A.4"B.8〃C.164D.32萬

【答案】C

【解析】

根據(jù)4B=BC=遙.可得直角三角形AABC的面積為3,

其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，

設(shè)小圓的圓心為。.由于?底面積不變.高最大時(shí)體積最大.

所以。。與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為為;SMBCXOQ=3,即:、3乂。。=3,.二。。=3,如圖，

JJ

設(shè)球心為。，半徑為R,則在直角A4QO中，即R?=（x/3）2+（3-R）?,R=2,

則這個(gè)球的表面積為S=4^-X22=16^，故選C.

3.（2020?河南高三（理））菱形ABCD的邊長為2,ZABC=60°,沿對(duì)角線AC將三角形ACD折起，當(dāng)三

棱錐D-ABC體積最大時(shí)，其外接球表面積為（）

A岳D2厲廠20「20

A.---冗B.-----71C.—71D.--71

3393

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)平面ACD與平面ABC垂直時(shí)體積最大，如圖所示，利用勾股定理得到

斤=（G-OG）2+（*）2和夫2=OG2+（竽尸，計(jì)算得到答案.

【詳解】易知：當(dāng)平面ACD與平面ABC垂直時(shí)體積最大.

如圖所示：

￡為人。中點(diǎn)，連接DE,BE,外接球球心。的投影為G是A/13c中心，在BE上

=73，DE=73，上G=丁，j=—

3

設(shè)半徑為R,則R?=(6-OGy+(\斗，R2=OG2+

解得：/e=—,表面積S=4."?2=—故選：D

33

圜

三.強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2020?廣西高三期末）楂長為。的正四面體ABC。與正三楂錐E—BCZ）的底面重合，若由它們構(gòu)成的多

面體人8CQ石的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐的表面積為（）

A.工B.此C.會(huì)/D.三/

4664

【答案】A

【解析】由題意，多面體A8CDE的外接球即正四面體4BCO的外接球,

由題意可知4E，面8c。交于尸，連接。尸，則.立”=立〃

323

且其外接球的直徑為AE,易求正四面體A8C。的高為』/一上〃二上

I13J3

設(shè)外接球的半徑為凡由雙一［乎〃一R）=（曰〃）得R=

設(shè)正三棱錐后一BCD的高為近因?yàn)锳E=^~a=S+h，所以人=』5〃.

236

因?yàn)榈酌鍭BC。的邊長為。，所以EB=EC=ED=JCF?+h?=E,

2

則正三棱錐E-BCD的三條側(cè)棱兩兩垂直.

12>/33+>/32q

即正三棱錐E-8CO的表面積S=3x'xfV2Y

---aH—crx—=-----cr,故選：A.

22224

2、（2020遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三）在三棱錐5—ABC中,

SA=BC=v'41,58=AC=5,5C=AB=V可，則三棱錐5-ABC外接球的表面積為（）

A.25nB.25V2nC.50nn-50V2H

【答案】c

【解析】如圖,

把三棱錐5—ABC補(bǔ)形為長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為明60

則。2+爐=41,+c2=25/a2c2=34?

???三棱錐外接球的半徑/?=FZ空=爐

22

???三棱錐S-ABC外接球的表面積為S=4TTR2=50m

故選:C.

3.（2020?安徽高三期末）如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而旦每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目

的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體.古希臘數(shù)學(xué)家歐兒里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究

了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)止多面體都有外接球.若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，

則它們的楂長之比為（）

A.72:1:73B.2：V2：V3C.2:72:1D.2:72:3

【答案】B

【解析】設(shè)正四面體、正方體、正八面體的棱長以及外接球半徑分別為

她2R=6x包a,2R=Cb,R=^c,

22

即〃=2咚）,〃=竿,二=及/?「.a:〃:c=2:a:5/^故選：B

4.（2020?北京人大附中高三）如圖，在四棱錐S-ABCO中，四邊形A8CO為矩形，入B=26，4）=2,

ZASZ?=120°,S4_LAO,則四棱錐外接球的表面積為（）

A.\64B.204C.80乃D.1004

【答案】B

【解析】由四邊形A8C0為矩形，得A3_L4。，乂S4_LAO,且S4c43=A,，4。_1平面S48,

AB2A/3_V3_2

則平面S4B_L平面A8CO,設(shè)三角形S48的外心為G,則一2sin/ASB-2sin120。一耳一.

T

過G作GO_L底面SA8,且GO=1,則OS=療用=石?卻四棱錐外接球的半徑為右.

???四棱錐外接球的表面積為S=4乃x（石尸=20幾.故選B.

5.（2020河南省鄭州市一中高三）在三棱錐P-/I8C中，平面ABC,ziB4C=120%AP=41,AB=2?

M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長度最小值為月，則三棱錐P-A5C的外接球的表面積是（）

A.yB.9歷1C.18nD.40n

【答案】C

【解析】解：如圖所示:

三棱錐P-AEC中，PA1平面ABC,AP=yil,AB=2，

"是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長度最小值為月，

則：當(dāng)AMLBC時(shí)，線段P.M達(dá)到最小值，

由卜：PAl^ABG所以:PA2+AM2=PM2,

解得：AM=1,所以：BM=C，則：zBAM=60B,

由于：zB4C=120S所以：4MAe=60'則：△ABC為等腰三角形.所以8。=26，

在AABC中，設(shè)外接圓的直徑為2r=總%=4,則：r=2,所以外接球的半徑R=卜+（辛）2=/，

則：S=4?用??=18m故選：C.

6、（2020河南省天一大聯(lián)考）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)直角邊為2的等腰直角三角

形，側(cè)視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）

C.9JII).10n

【答案】C

【解析】由三視圖可得，該幾何體為一個(gè)三楂錐，放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中，此三楂錐

和長方體的外接球是同一個(gè)，長方體的外接球的球心在體對(duì)角線的中點(diǎn)處，易得其外接球的直徑為

<2：+2?+12=3,從而外接球的表面積為9加故答案為：C.

7.（2020.江西高三期末（理））如圖，三棱錐P-A3C的體積為24,又NPBC=ZABC=90。,BC=3,

A6=4，PB=4屈,且二面角P—8C—A為銳角，則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.169萬B.144萬C.1857rD.80〃

【答案】A

【解析】因NP3C=NA4C=90。，所以4CJ?平面Q43，且為二面角「一4。一A的平面角,

又8C=3,A3=4，PB=4M,由勾股定理可得尸C=13,AC=5,

因?yàn)镾.B=[PB,ABsinNPBA=8而sinNPBA,所以三棱錐的體積

V=-SSPABBC=-X85/10sinZPBAx3=24,解得sinNPBA=，

3310

又ZPBA為銳角，所以cos/P84=典，

10

在AE48中，由余弦定理得PA?=160+16—2x4x47^x^=144,

10

即24=12,則P4MRV+A4，故P4J_4B，

由BCJ_平面。鉆得8C_LQ4,

故PA_L平面ABC,即P4_LAC,取PC中點(diǎn)。,

在直角M4c和直角APBC中，

易爵OP=OC=OA=OB,故。為外接球球心,

外接圓半徑PC=—,故外接球的表面積S=44序=169萬.故選：A.

8.（2019?湖南長沙一中高三）在如圖所示的空間幾何體中，下面的長方體的三條校長

"=4）=4,AA=2,上面的四棱錐P—A4GA中RE二C￡,PEJL平面AMG2，PE=1，

則過五點(diǎn)A、B、C、D、P的外接球的表面積為（）

【答案】C

【解析】問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐P-ABC力的外接球的表面積.PC=〃73=J萬，

3_V13_13

AsinZPCD=-7=.所以APCO外接圓的半徑為"二;一F=7,由于PE_L平面片片加。，

則PE_L平面ABC。，Pfu平面PC。，所以平面尸C力，平面ABCD,

所以外接球的六二2之+/=4+臀二菱?所以S球表面積=4兀R2=等

3bJoV

9.三棱錐P—ABC中，底面ABC滿足BA=BC,"BC=g,點(diǎn)P在底面ABC的射影為AC的中點(diǎn),，且該三棱

錐的體積為荒，當(dāng)其外接球的表面積最小時(shí)，P到底面ABC的距離為（）

A.3B.VI?C.22D.且

23

【答案】B

【解析】設(shè)外接球半徑為凡P到底面ABC的距離為力，AC=2。，

x\x2axaxh二孔a2h=g

$4D4

因?yàn)镽2=s一幻2+M，所以氏=誓=噂=?+W，

因?yàn)镽—:—左=0=h=Vl??所以當(dāng)0<A<時(shí),R<0,當(dāng)h>近9時(shí)，R>0，因此當(dāng)h=?

〃取最小值，外接球的表面積取最小值，選B.

10.（2019?河北高三月考）在平面四邊形A8CD中，ABLBD,NBCD=30。，AB2+4BD2=6?若將△AB。

沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BDC外接球的表面積是（）

A.47rB.5兀C.67rD.8兀

【答案】C

【解析】取3。中點(diǎn)￡/，設(shè)MCD的外心為M,連MB,MF,EF,

則MF±BD,ABMF=-NDMB=ZBCD=30°,/.BM=2BF=BD

2

分別過EM作MRE/的平行線，交于。點(diǎn)，

即OE//MFQM//EF,

???BD±AB,:.E為AABD的外心，

平面ABD±平面BCD,AB_L平面BCD，

EF//AB,EF_L平面BCD，.二OM_L平面BCD,

同理OEJ_平面曲，分別為AABD,她?！?gt;外心，

「.。為三棱錐的外接球的球心，。8為其半徑，

OB2=BM2+OM?=BD2+EF2=BD2+-AB2=-,

42

S.^=4^xOB2=64.故選:C

11.（2020?梅河口市第五中學(xué)高三期末（理））設(shè)三棱錐P-A8C的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，AEAB是

面積為G的等邊三角形，44cB=45。，則當(dāng)三棱錐尸。的體積最大時(shí)，球。的表面積為（）

28，八八32

A.-71B.10笈C.——兀D.121

33

【答案】A

【解析】如圖，由題意得上AZf=J5,解得A8=2.記A8=C,6C=GAC=Z?,

4

a12

S^BC=；a/?sinC=~~^,由余弦定理/-a+b-2zz/?cosC?得4=a?+b?—6abN2ab—6ab，

，力＜5殳=2（2+a）,當(dāng)且僅當(dāng)4=8時(shí)取等號(hào).

所以C4=C8且平面PABJ_底面ABC時(shí)，三棱錐P-ABC的體積最大.

分別過ATXB和A4BC的外心作對(duì)應(yīng)三角形所在平面的垂線，垂線的交點(diǎn)即球心O,

設(shè)AB48和AABC的外接圓半徑分別為弓，r2,球。的半徑為R,

2121：=2+二，

貝也=F，r,=-x--------=’2.故R?=r;+1-f\

V3-2sin45°233

OQ

球。的表面積為4.=7乃.故迄A

A

12.（2020四川省成都外國語學(xué)校模擬）已知正方形力加9的邊長為4,E,尸分別是8C,⑦的中點(diǎn)，沿力￡,

EF,粕折成一個(gè)三棱錐A4外'（使反C,〃重合于?），三棱錐PT牙'的外接球表面積為（）

A.6nB.12nC.24nD.48n

【答案】C

BEC

由題意可得，三棱錐跖的三條側(cè)棱為，PE,左兩兩互相垂直，

且"=4,PE=PF=2，

把三棱錐2-4%補(bǔ)形為長方體，則長方體的體對(duì)角線長為、42+2?+2?=2瓜,

則三棱錐的外接球的半徑為外接球的表面枳為47Tx（、石）2=24/1.故選：C.

13.已知球。夾在一個(gè)二面角。-/一/之間，與兩個(gè)半平面分別相切于點(diǎn)4區(qū).若A3=2,球心。到該二

面角的楂/的距離為2,則球。的表面積為（）

A.8乃B.6乃C.4萬D.2乃

【來源】江西省萍鄉(xiāng)市2021屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)（文）試題

【答案】A

【解析】過。，A,3三點(diǎn)作球的截面，如圖：

DB

設(shè)該截面與棱/交于。，則O4_U,OB11,又。AlOB二。，

所以/J?平面408,所以O(shè)QJJ,所以|。。|二2,

依題意得。所以O(shè),4,D,8四點(diǎn)共圓，且。力為該圓的直徑,

因?yàn)閨A8|=2=|O/)|,所以A3也是該圓的直徑，

所以四邊形OADB的對(duì)角線A3與。。的長度相等且互相平分，所以四邊形。為矩形，又

所以該矩形為正方形，所以|OA|=*|A8|=0，即圓。的半徑為正，所以圓0的表面

積為4;rx(0)2=8開.

故選：A

14.已知點(diǎn)A￡C在半徑為2的球面上，滿足4B=AC=1,BC=B若5是球面上任意一點(diǎn)，則三

棱錐S—A8C體積的最大值為()

3+2&3+262+3右3+x/3

/A?D?L?1Lz?

1261212

【答案】A

【解析】設(shè)aA3c外接圓圓心為。'，三棱錐5-ABC外接球的球心為。，AB=AC=\,設(shè)。為BC中

點(diǎn)，連AO,如圖，

￡

2

設(shè)AA3c外接圓半徑為，

，二(^^)2+(A。一廠產(chǎn)=■1■+(考■一廠)？，解得尸=1,

242

;.|00]=V22-r=6

要使S—A8C體積的最大，需S到平面A8C距離最大,

即S為。7?的延長線與球面的交點(diǎn)，最大值為百+2,

所以三棱錐S—ABC體積的最大道為1x(石+2)S八8c=』X("+2)XLX2X6=2YI.

3,32212

故選：A

15.已知半球。與圓臺(tái)OO'有公共的底面，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1,則圓臺(tái)側(cè)面積

取最大值時(shí)，圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值為()

46B6C出□邪

92763

【答案】D

【解析】如圖1所示，設(shè)8C=x,CO'=〃，作C/_LA3于點(diǎn)尸，延長00'交球面于點(diǎn)E,則3b=1—r，

OO1=CF=y/BC2-BF2=^-(l-r)2>由圓的相交弦定理及圖2得

C0OO=O'EO”=(1+OO')(1—O。)，即、=(1+Jx2_<f)2)(]_jx2_(]_,不卜解得

2

則圓臺(tái)側(cè)面積S=7T1+1-+

則，=2萬一當(dāng)1,令￡=0,則x=2且或x=—3叵(舍去),

233

當(dāng)0〈工<辿時(shí)，S'>0,當(dāng)述一

夜時(shí)，S<0,

3

(

所以函數(shù)5=兀?1+1—~—上遞增，在，及上遞減,

I2J

所以當(dāng)工二冬巨時(shí)，S取得最大值.

3

當(dāng)工=8C=氈時(shí)，/=1--=-,則5尸=1一一=2

3233

在軸截面中，NOBC為圓臺(tái)母線與底面所成的角，在RLATF3中可得cos/OBC=g￡=",

BC3

故選:D.

16.（2020?重慶八中高三）圓柱的側(cè)面展開圖是?個(gè)面積為16方的正方形，該圓柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,

則V的最大值為.

【答案】學(xué)

2"=/r=2

【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為2人高為/,則〈i—解得…兀?故圓柱的底面直徑為人高為％，

47r30冗

所以圓柱內(nèi)最大球的直徑為4,半徑為2,其體積為式X23=一1.

33

17.（2020?江西高三）半正多面體（$即小組〃/〃$。4/）亦稱“阿基米德多面體''，如圖所示，是由邊數(shù)不全相同

的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,

如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它們的邊長都相等，其中八個(gè)為正三角形,

六個(gè)為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長為0,則該二十四等邊體外

接球的表面積為.

【解析】由已知根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為衣，側(cè)棱長為2的正四棱

柱的外接球，(2Rf=(V2)2+(&y+2?,A=夜,

二.該二十四等邊體的外接球的表面積S=4兀R?=4KX（V2）2=8兀.

18.（2020?福建高三期末（理））在棱長為4的正方體A3c。一4片中，￡,尸分別為4%，8。的

中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱4a上，若平面在M交44于點(diǎn)N,四棱錐N-3。。片的五個(gè)頂點(diǎn)

都在球。的球面上，則球。半徑為

a2729

【答案】土二

3

【解析】如圖1,名,例,尸三點(diǎn)共線，連結(jié)與￡鳥￡歷尸從而與￡平面EEM，則與￡與A圈的交點(diǎn)即

A.EA.N1

為點(diǎn)N,又RfAB]B,N與RrA/\EN相似,所以般二發(fā)二彳;

o,B]/VDjZ

如圖2,設(shè)AgRN的外接圓圓心為。半徑為廣，球半徑為R,在ABQN中,

NNBR=45°,D、N=,由正弦定理得r=gJL所以2P=g石，在MA。。/中，解得

pp=45/29即2R=a而.所以所求的球的半徑為名絲.

333

19.（2020?黑龍江高三（理））設(shè)4氏C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在6c中，

BC=6./B4C=60°，則三棱錐D-ABC體積的最大值為

【答案】18g

【解析】&ABC中，8C=6,ZMC=60°,則/一二」一=46二2廠「.1=26，

sinAsin600

222

/7nlix=dR?-戶+1=6,cr=tr+c-2Z?ccosA=b+c-be>bebe<36?S=g"c、sinA"9百

當(dāng)。=匕=。=6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)V='s〃=18g

3

20.（2020?河北承德第一中學(xué)高三）正三棱錐S—ABC的外接球半徑為2,底邊長AB=3,則此楂錐的體積

為____________

【答案】巫或祖

44

【解析】設(shè)正三棱錐的高為h,球心在正三棱錐的高所在的直線上，H為底面正三