廣西壯族自治區(qū)賀州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

賀州市2023～2024學(xué)年度上學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上;2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，請(qǐng)用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)答案標(biāo)號(hào)涂黑，務(wù)必填涂規(guī)范;3．填空題和解答題請(qǐng)用0.5mm的黑色簽字筆在答題卡上作答．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，或，則集合等于（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，或，所以或．故選：C2.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】或，，故“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求得的值即可求解．【詳解】角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，．故選：D．4.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；②命題“”是全稱量詞命題；③命題“”的否定為“”；④命題“”是真命題；A0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，利用存在量詞命題的否定及全稱量詞命題真假的判斷依據(jù)即可求解.【詳解】對(duì)①，“有些”為存在量詞，所以命題“有些平行四邊形是矩形”是存在量詞命題；故①正確；對(duì)②，“”為任意，即為全稱量詞，所以命題“”是全稱量詞命題，故②正確；對(duì)③，命題“”的否定為“”；故③錯(cuò)誤；對(duì)④，，故該命題為真命題，故④正確，所以正確的有個(gè).故選：D.5.下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式判斷A，利用函數(shù)求最值判斷BCD.【詳解】對(duì)A：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其最小值為2；故A正確；對(duì)B：時(shí)，，其2不為最小值；故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：A6.當(dāng)強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為分貝時(shí)，有（其中為常數(shù)），某挖掘機(jī)的聲音約為分貝，普通室內(nèi)談話的聲音約為分貝，則該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度為，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為，則，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】設(shè)該挖掘機(jī)的聲音強(qiáng)度為，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為，由題意知，所以，即，所以，故選：B.7設(shè)，，，則有（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大?。驹斀狻?，，，正弦函數(shù)在是單調(diào)遞增的，．又．故選：A．8.若定義在上奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，分析的奇偶性和單調(diào)性，由此分情況解不等式可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，是定義在,,上的奇函數(shù)，即，故，函數(shù)為偶函數(shù)，由題意當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在上為減函數(shù)，又由為偶函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又由，則，同時(shí)，或，必有或，即的取值范圍為.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)明確其奇偶性，并分情況解不等式.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各說(shuō)法，正確的是（

）A.半圓所對(duì)的圓心角是radB.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C.是第一象限角D.若是第四象限角，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)角度制與弧度制的定義，以及角度制和弧度制的換算公式判斷ABC，由三角函數(shù)在各象限符號(hào)判斷D．【詳解】對(duì)A,根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，半圓所對(duì)的圓心角是，即rad,所以A正確；對(duì)B,由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；對(duì)C,是第四象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,若是第四象限角，則,故D錯(cuò)誤.故選：AB．10.若，，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】直接利用不等式的性質(zhì)判斷ABC，作差法判斷D．【詳解】對(duì)A,，，由不等式性質(zhì)易知，故A正確；對(duì)B,，,則，故B正確；對(duì)C,，，由不等式性質(zhì)易知，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,若，則,故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A.B.將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象C.，都有D.函數(shù)的減區(qū)間為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖知，,,即,所以.將代入中，得，解得,又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以的解析式為：.對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，將的圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，，所以，都有，故C正確；對(duì)D，由,得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，則（

）A.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則C.若關(guān)于的方程有4個(gè)不等實(shí)根，，，，則D.關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，由此作出函數(shù)的草圖：依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，可得，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知，B正確；對(duì)于C：若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則與的圖象有四個(gè)交點(diǎn).不妨設(shè)，由圖象可得：，且，，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，解得或，結(jié)合圖象可知：有一個(gè)根，有四個(gè)根，所以關(guān)于的方程有5個(gè)不等實(shí)數(shù)根，D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用圖像并結(jié)合對(duì)稱性解決CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)函數(shù)，則的值為_(kāi)__________；【答案】1【解析】【分析】代入即可求解.【詳解】,,故答案為：114.已知扇形的面積為，圓心角弧度數(shù)為，則其弧長(zhǎng)為_(kāi)_______；【答案】6【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角為，故，故，故答案為：615.已知矩形的周長(zhǎng)為，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大為_(kāi)_______(結(jié)果保留)；【答案】【解析】【分析】結(jié)合已知條件首先表示出圓柱的側(cè)面積，再利用均值不等式求解即可.【詳解】不妨設(shè)矩形的一條邊為，則矩形的另一條邊為，則旋轉(zhuǎn)后的圓柱的底面圓半徑為，高為，從而圓柱側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值.故答案為：.16.已知函數(shù)的最大值是3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，則_____【答案】4048【解析】【分析】直接利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的周期的應(yīng)用求出函數(shù)的值．【詳解】函數(shù)的最大值是3，故，得，則由于函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故即函數(shù)圖象其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，故，所以；當(dāng)，2，3，時(shí)，的值依次為1，0，，0，成周期變化；且周期為4，相鄰4個(gè)之和為0，由于，所以．故答案為：4048．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值．（1）；（2）且【答案】（1）4（2）3【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪運(yùn)算求解；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】原式.18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集運(yùn)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)條件對(duì)集合A分類討論，分別求出實(shí)數(shù)的范圍.【小問(wèn)1詳解】由時(shí)，集合，，所以，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，即時(shí)，集合，符合，當(dāng)時(shí)，由，有，解得，綜上可知，若，則的范圍是.19.已知.（1）求的值；（2）若為鈍角，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并結(jié)合齊次式運(yùn)算求解；（2）由二倍角公式求解，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得，再利用二倍角和兩角差的正切求值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉殁g角，由，得，則，，又因?yàn)?所以.20.已知函數(shù)，（其中且）．（1）若函數(shù)定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）是偶函數(shù)【解析】【分析】（1）首先求出的解析式，依題意可得恒成立，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，首先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋院愠闪?，即，解得，故?shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，定義域需滿足：，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又因?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，即是偶函數(shù).21.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開(kāi)啟時(shí)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30．（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為m，已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐1號(hào)和9號(hào)座艙（即甲乙中間間隔7個(gè)座艙），在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1），（）（2），，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米【解析】【分析】（1）根據(jù)周期以及即可求解，（2）根據(jù)和差角公式以及三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，游客甲位于，得到以為終邊的角為，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的速度約為，由題意可得，，（），【小問(wèn)2詳解】甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)、表示，則，經(jīng)過(guò)后，甲距離地面的高度為，點(diǎn)相對(duì)于始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度，則甲、乙高度差為，，所以當(dāng)（或）時(shí)，的最大值為55，所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米22.設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，例如的“不動(dòng)點(diǎn)”滿足，即的“不動(dòng)點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)在上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，即可得到，解得，從