專題2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】 1【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的根】 3【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】 5【題型4利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】 6【題型5由一元二次方程的兩根求值】 9【題型6構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】 11【題型7由一元二次方程的根判斷另一個(gè)一元二次方程的根】 13【題型8根與系數(shù)的關(guān)系與三角形、四邊形的綜合運(yùn)用】 15【題型9由一元二次方程根的取值范圍求字母的取值范圍】 18【題型10一元二次方程中的新定義問(wèn)題】 20知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則注意它的使用條件為，a≠0，Δ≥0.【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（23-24九年級(jí)·黑龍江綏化·開(kāi)學(xué)考試）已知一元二次方程x2+x=5x+6的兩根分別為m、n，則1m+【答案】?2【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,，若直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=4，mn=?6，再根據(jù)1m【詳解】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6可化為這個(gè)方程的兩根分別為m，n，∴m+n=4，mn=?6，∴1故答案為：?2【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣西來(lái)賓·期中）若a，b是方程x2?2x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a?2b?2【答案】?5【分析】本題考查了一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系可得a+b=2，ab=?7，代入即可求解，熟練掌握一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=2，ab=?7，∴a?2故答案為：?5．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)方程2x2+3x+1=0的根為x1、x【答案】5【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵方程2x2+3x+1=0的根為x∴x1+則x1故答案為：54【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程?因式分解法，以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）已知x1，x2是方程2x2+3x?7=0A．214 B．?2598 C．?【答案】B【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x【詳解】∵x1，x2是方程∴x1+x∴x===?=?259故選：B．【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的根】【例2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若關(guān)于x的方程3x?1x?2m=【答案】x=9±3【分析】將已知方程化簡(jiǎn)成一般形式，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件，列出關(guān)于m的方程，解出方程，求出m的值，再將m代入原來(lái)方程，解出方程．【詳解】解：將已知方程化簡(jiǎn)可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝-9-7m3，x1x2根據(jù)已知條件可得∶-9-7解出：m＝9，將m＝9代入化簡(jiǎn)后的方程可得：x2－18x＋18＝0，化成完全平方得：（x－9）2＝63，解得x＝9±37故答案為∶x=9±37【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與一元二次系數(shù)的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與一元二次系數(shù)的關(guān)系．【變式2-1】（23-24·山東濟(jì)南·二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0有一個(gè)根為x=2，則該方程的另一個(gè)根為x=【答案】?3【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直接利用：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0兩根分別是【詳解】解：設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0的另一個(gè)根為則2t=?6，解得t=?3，故答案為?3【變式2-2】（23-24九年級(jí)·河北保定·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m與2m?6，則m的值為【答案】2x【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x【詳解】解：整理方程得：a由題意得：m+2m?6=0∴m=2故兩個(gè)根為：x故答案為：2；x【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解這兩個(gè)根和為0是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)【答案】?2【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+m=0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，則2+m=0，解得：m=?2，故答案為：?2．【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】【例3】（23-24九年級(jí)·山東棗莊·期中）已知m、n是關(guān)于x的方程x2?2x?2021=0的根，則代數(shù)式m2A．2022 B．2023 C．4039 D．4040【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出m2?2m=2021，【詳解】解：∵m、n是關(guān)于x的方程x2∴m2?2m=2021，m==2021?2×2+2023=4040，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x1、x2是方程x2?3x?2020=0【答案】2023【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的定義是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x2=3，之后將x【詳解】解：∵x1、x2∴x1∴∴x故答案為：2023．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·遼寧大連·期中）設(shè)α，β是x2+x+18=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2【答案】?20【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)【詳解】解：∵α，β是x2∴α2+α=?18，∴α2故答案為：?20．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）已知a，b是方程x2?5x+7=0的兩個(gè)根，則a【答案】?5【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握ax2+bx+c=0的兩根x1，x2【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a2?5a=?7，∴a2故答案為：?5．【題型4利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】【例4】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）已知a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的根，則代數(shù)式A．3 B．1 C．?3 D．?1【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=3，ab=1，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵a、b是一元二次方程x2∴a+b=3，ab=1，∴1======1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·云南·期末）已知m,n是方程x2+x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m3【答案】2020【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，正確理解一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得m+n=?1，m2【詳解】解：∵m，n是方程∴m+n=?1，將x=m代入方程x2+x?3=0，得即m2?3=?m∴m=m=?m∵m2∴?=?3+m+n+2024=m+n+2021，∵m+n=?1，∴m+n+2021=?1+2021=2020．故答案為：2020．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期中）已知x1,x2是方程x2A．4049 B．4048 C．2024 D．1【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：解：∵x1，x2是方程∴x12?2024=xx13?2024x故選A【變式4-3】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：m、n是方程x2+3x?1=0的兩根，則m【答案】?18【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m?1=0，即m2=?3m+1，m3=?3m2+m，再把m【詳解】解：∵m、n是方程x2∴m2+3m?1=0，且m≠0，∴m2∴m3∴m=?3=?3=5m+5n?3=5m+n∴原式=5×?3故答案為：?18．【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0【題型5由一元二次方程的兩根求值】【例5】（23-24九年級(jí)·河北保定·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m與2m?6，則m的值為【答案】2x【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x【詳解】解：整理方程得：a由題意得：m+2m?6=0∴m=2故兩個(gè)根為：x故答案為：2；x【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解這兩個(gè)根和為0是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）已知關(guān)于x的方程2x2+bx+c=0的根為x1=?2，xA．-10 B．-7 C．-14 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分別求出b，c的值即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x2+bx+c=0的根為x∴x1∴?2+3=?b∴b+c=?2?12=?14．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x2=c【變式5-2】（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小明看錯(cuò)了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；小紅看錯(cuò)了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，則p＝．【答案】﹣2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及兩同學(xué)得出的結(jié)論，即可求出p，q的值．【詳解】解：由小明看錯(cuò)了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小紅看錯(cuò)了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于﹣ba，兩根之積等于ca【變式5-3】（23-24九年級(jí)·四川廣安·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．設(shè)x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，則k的值為【答案】±14【分析】先計(jì)算出一元二次方程判別式，即△=2k2+8，從而得到△＞0，于是可判斷不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；再利用方程的解的定義得到x12-2kx1=-12k2+2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=12k2-2，則-12k2+2+2·(1【詳解】（1）證明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2所以不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2∴x12-2kx1=-12k2∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2∴-12k2+2+2·(12k整理得k2-14=0，∴k=±14．故答案為±14【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.【題型6構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知s滿足2s2?3s?1=0，t滿足2t2?3t?1=0，且【答案】3【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確得到s+t=32,st=?12是解題的關(guān)鍵．由題意可知實(shí)數(shù)s、t【詳解】解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2∴實(shí)數(shù)s、t是關(guān)于x的方程2x∴s+t=3故答案為：32【變式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)m、n滿足m2=m+1，n2?n=1【答案】3【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)已知條件得到m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果，再根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可，理解m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題可得：m2?m?1=0，∴m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2∴m+n=1,mn=?1，∴m2故答案為：3．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)a、b分別滿足a=16a2+13【答案】2或16【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，分情況討論，當(dāng)a=b時(shí)，ba+ab=2；當(dāng)a≠b時(shí)，a和b是方程x2?6x+2=0的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)a=b時(shí)，ba當(dāng)a≠b時(shí)，∵12∴b=1∴b2又∵a=1∴a2∴a和b是方程x2∴a+b=??61=6∴ba故答案為：2或16．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）若a4?3a2=1，b2?3b=1【答案】?1【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意先化為1a4?3a2?1=0，b2?3b?1=0【詳解】解：∵a4∴1a∵a2又∵b2∴1a2和b是方程∴ba故答案為：?1．【題型7由一元二次方程的根判斷另一個(gè)一元二次方程的根】【例7】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一個(gè)根為m，則方程aA．m+1，?m?1 B．m+1，?m+1 C．m+1，m+2 D．m?1，?m+1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出方程ax2+2ax+c=0的另一個(gè)根，設(shè)x?1=t【詳解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一個(gè)根為m∴n+m=?2a解得：n=?2?m，設(shè)x?1=t，方程a（x?1）由一元二次方程ax2+2ax+c=0t1=m，∴x?1=?2?m，x?1=m，∴x1=?m?1，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是用換元法變形方程代入求解．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根都大1，則【答案】-3或29【分析】設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根為α，β，其中α，β為整數(shù)，且α≤【詳解】解：設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根為α，β，其中α，β為整數(shù)，且α≤α+β=?a,(α+1)(β+1)=a，兩式相加得αβ+2α+2β+1=0，即α+2β+2所以{α+2=1，解得{α=?1，又因?yàn)閍=?(α+β),b=αβ,c=?[(α+1)+(β+1)]所以a=0，b=?1，故a+b+c=?3或29．故答案為-3或29【點(diǎn)睛】主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；【變式7-2】（23-24九年級(jí)·浙江·自主招生）設(shè)a、b、c、d是4個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，則【答案】648【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b，c+d的值，兩式相加得的值，根據(jù)一元二次方程根的定義可得a2?8ac?9d=0，代入可得a2?72a+9c?8ac=0，同理可得c2【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=8c，c+d=8a，兩式相加得a+b+c+d=8a+c．因?yàn)閍是方程x2?8cx?9d=0的根，所以a2所以a2?72a+9c?8ac=0同理可得c2?72c+9a?8ac=0①-②得a?ca+c?81因?yàn)閍≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c故答案為648【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2A．p是正數(shù)，q是負(fù)數(shù) B．(p?2)C．q是正數(shù)，p是負(fù)數(shù) D．(p?2)【答案】D【分析】設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．根據(jù)方程解的情況，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，即可判斷A與C；②由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性質(zhì)以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判斷B與D．【詳解】解：設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，∴x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，故選項(xiàng)A與C說(shuō)法均錯(cuò)誤，不符合題意；∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同時(shí)為2，否則兩個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根），故選項(xiàng)B說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)D說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)說(shuō)法的正誤是解題的關(guān)鍵．【題型8根與系數(shù)的關(guān)系與三角形、四邊形的綜合運(yùn)用】【例8】（23-24九年級(jí)·山東·課后作業(yè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x2+(2m?1)x+m2+3=0A．?3 B．5 C．5或?3 【答案】A【分析】由題意可知：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，則AO2+BO2=25，則再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=?2m+1，【詳解】由直角三角形的三邊關(guān)系可得：AO又有根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=?2m+1,AO×BO=∴A整理得：m2解得：m=?3或5.又∵Δ>0∴(2m?1)2?4(m∴m=?3.故選:A.【點(diǎn)睛】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，注意掌握勾股定理在解題中的應(yīng)用.【變式8-1】（23-24九年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2?11x+30=0的兩個(gè)根，則該三角形第三邊m的取值范圍是【答案】1<m<11【分析】先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得兩根和與兩根積，經(jīng)過(guò)變形得到兩根差的值，即可求得第三邊的范圍．【詳解】解：∵三角形兩邊長(zhǎng)是方程x2?11x＋30＝0的兩個(gè)根，∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，∵（x1?x2）2＝（x1＋x2）2?4x1x2＝121?120＝1，∴x1?x2＝1，又∵x1?x2＜m＜x1＋x2，∴1＜m＜11．故答案為：1＜m＜11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，要知道第三邊大于兩邊差，小于兩邊和．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·安徽六安·階段練習(xí)）已知正方形ABCD的兩鄰邊AB，AD的長(zhǎng)度恰為方程x2?mx+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則正方形ABCD的周長(zhǎng)為（A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到AB?CD=1，進(jìn)而求出AB=CD=1，即可得到正方形ABCD的周長(zhǎng)．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD∵正方形ABCD的兩鄰邊AB，AD的長(zhǎng)度恰為方程x2∴AB?CD=1，∴AB=CD=1∴正方形ABCD的周長(zhǎng)為4．故選：B．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+k=0有兩個(gè)實(shí)根x1(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在矩形，x1和x2是這個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)，且矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為2？若存在，求【答案】(1)k≤(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，勾股定理，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．（1）求出Δ的值，根據(jù)已知得出不等式，求出即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=3，x【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+k=0有兩個(gè)實(shí)根x1∴Δ解得：k≤9（2）x1和x2一元二次方程∴x1+∵x1和x2∴x∴x∴9?2k=2，解得：k=7∵k≤94，∴k=7∴不存在矩形，x1和x2是這個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)，且矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為【題型9由一元二次方程根的取值范圍求字母的取值范圍】【例9】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)根x1，x2，且滿足1<x1<【答案】?1<t<0【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，由根和系數(shù)的關(guān)系可得，x1+x2=?a，x1x2=b【詳解】解：由根和系數(shù)的關(guān)系可得，x1+x∴a=?x1+∴t=a+b=?x∵1<x∴0<x1?1<1∴0<x∴?1<x即?1<t<0，故答案為：?1<t<0．【變式9-1】（23-24九年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程4x2?5x?m+5=0【答案】m≥?5【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組，并解答求得m的取值范圍．本題主要考查了一元二次方程根的分布，根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是得到Δ=【詳解】解：∵關(guān)于x的方程4x∴Δ=解得m≥?5．故答案為：m≥?5．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根同為負(fù)數(shù)，其中pA．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0【答案】A【分析】據(jù)p2－4q≥0，得出方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再根據(jù)已知條件得出兩根之積＞零、兩根之和<【詳解】∵p2－4q∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)x1，x則有x1+x2＜0，x1+x2=-p,∴-p<0，,q>0.∴p>0，,q>0.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的符號(hào)的確定，應(yīng)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式.【變式9-3】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+1?2m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．m>0 B．m>12 C．m<1【答案】B【分析】利用根的判別式Δ>0及兩根之積為負(fù)數(shù)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出實(shí)數(shù)m【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ解得：m>1∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，牢記“當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”及“兩根之積等于ca【題型10一元二次方程中的新定義問(wèn)題】【例10】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）定義：若x?、x?是方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足x1?(1)判斷方程6x(2)若方程x2?m+2(3)當(dāng)方程(ax2+bx+c=0a≠0為“差積方程”時(shí)，求a、b、c【答案】(1)是，證明見(jiàn)解析(2)m=23(3)b【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）分別根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)定義判斷即可；（2）先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)