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云南省玉溪市通??h第二中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.2.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.3.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.7.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.8.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.9.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有一點(diǎn),則().A. B. C. D.10.五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.12.已知集合,,若AB,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),滿足,,當(dāng)面積最大時(shí),直線的方程為_(kāi)_____.14.已知,則滿足的的取值范圍為_(kāi)______.15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,,(且),則__________.16.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的面積.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點(diǎn),滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點(diǎn),使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.19.(12分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過(guò)分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.20.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長(zhǎng)為y,求的最大值.22.(10分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,由,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),難度較易.2、A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡(jiǎn)為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性,對(duì)是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,使問(wèn)題易于求解.4、A【解析】
求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點(diǎn)睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.7、C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.8、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.9、B【解析】
根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo),求得,代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn),所以,故選:B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式,熟練記憶公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.10、A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.11、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.12、D【解析】
先化簡(jiǎn),再根據(jù),且AB求解.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)?,且AB,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為,計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.14、【解析】
將f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.15、【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時(shí),,所以時(shí),;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可;(2)只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo),利用計(jì)算即可.【詳解】(1)曲線C:(為參數(shù),),將代入,解得,即曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(2)由(1),得點(diǎn)的極坐標(biāo)為,由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為,知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),即得證;(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計(jì)算平面的法向量,由直線與平面所成角的大小為30°,列出等式,即得解.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接交于點(diǎn),連接,則是平面與平面的交線,因?yàn)槠矫?,故,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),故.(Ⅱ)由條件可知,,所以,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,即,故取因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為30°所以,即,解得,故此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)最小值為1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,判斷出的軌跡為拋物線,并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).寫(xiě)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo),并由此判斷出始終在直線上,且.(2)設(shè)直線的傾斜角為,求得的表達(dá)式,求得的表達(dá)式,由此求得四邊形的面積的表達(dá)式進(jìn)而求得四邊形的面積的最小值.【詳解】(1)∵動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,∴動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)和定直線的距離相等,∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,∴軌跡的方程為:,設(shè),∴直線的方程為:,即:①,同理,直線的方程為:②,由①②可得:,直線方程為:,聯(lián)立可得:,,∴點(diǎn)始終在直線上且;(2)設(shè)直線的傾斜角為,由(1)可得:,,∴四邊形的面積為:,當(dāng)且僅當(dāng)或,即時(shí)取等號(hào),∴四邊形的面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線中四邊形面積的最值的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn),求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,結(jié)合題中條件,可以得到,之后應(yīng)用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周長(zhǎng),利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】(1)由已知可得,結(jié)合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴當(dāng),即時(shí),.【點(diǎn)睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理,屬于簡(jiǎn)單題目.22、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).
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