專題6.4 反比例函數(shù)與幾何圖形【九大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題6.4反比例函數(shù)與幾何圖形【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用】 1【題型2反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用】 7【題型3反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用】 13【題型4反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用】 17【題型5反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用】 23【題型6反比例函數(shù)與梯形的綜合應(yīng)用】 29【題型7反比例函數(shù)中的定值問題】 37【題型8反比例函數(shù)中的存在性問題】 43【題型9反比例函數(shù)中的最值問題】 52【題型1反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用】【例1】（23-24九年級(jí)·上海松江·階段練習(xí)）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?3,5，B?3,0，C2,0，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后使A落在y軸上，與此同時(shí)頂點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，則過點(diǎn)C′的反比例函數(shù)y=kx

A．12 B．?12 C．?4 D．?3【答案】D【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角∠A′BE=∠【詳解】解：∵A?3,5，B?3,0，∴AB=5,BC=?2?(?3)=5，AB⊥x軸，∴△ABC是等腰直角三角形，過點(diǎn)A′作A′E⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C′作∴ABE=5∵△A′B∴∠A在△A′BE∠A∴△A∴BF=BE=4,C∴OF=BF?OB=4?3=1，∴C故過點(diǎn)C′的反比例函數(shù)y=kx中，k

故選D．【變式1-1】（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)圖象上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段OD的三等分點(diǎn)，且OE<DE．連接AE、BE，若S△ABE=7【答案】?12【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．設(shè)Am,km，Bn,kn，其中m<0，n<0，則由B是中點(diǎn)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)C在y軸上，得m與n的關(guān)系，從而得D、【詳解】解：設(shè)Am,km由于點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，則C2n?m,因點(diǎn)C在y軸上，則2n?m=0，∴m=2n；即C0,3k2n∵AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段OD的三等分點(diǎn)，且OE<DE∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2n,0)，E點(diǎn)坐標(biāo)為2n3∴AD=k2n，如圖，連接OA，∵點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，∴S△AEC∵S△AEC∴12即12整理得：?2k+1解得：k=?12；故答案為：?12．【變式1-2】（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=12x（x＞0）的圖像上，點(diǎn)C在y軸上，AC∥x軸，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)D，連接AD，AO，當(dāng)AB=4且△AOD【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)Aa,12a，可得點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)△AOD的面積為2【詳解】解：設(shè)Aa,∵△ABC為直角三角形，且AB=4，∴C0,12a設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把C0,12a12a解得k=4∴直線BC的解析式為y=4當(dāng)y=0時(shí)，解得x=?3，∴D?3,0∵△AOD的面積為23∴3?解得a=33經(jīng)檢驗(yàn)，a=33∴A3故答案為：33【變式1-3】（23-24九年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B(2,0)，∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為y=kx，在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，t的值是（2）當(dāng)B′落在雙曲線上時(shí)，t的值是【答案】425或【分析】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到圖形翻折變換的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)．（1）根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l垂直平分OA，則PA=PB，由B(2,0)，∠AOB=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=3OB=23，然后由P點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0)，則PA=PB=t，PB=t?2，在Rt△PAB（2）連接BB′，B′P，作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，由圖形翻折變換的性質(zhì)可知直線l是線段BB′的垂直平分線，所以BP=B′P，再由OA⊥l可知OA∥BB′【詳解】解：點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l垂直平分OA連PA，則PA=PO，∵B(2,0)，∠AOB=60°，∴OB=2，∴AB=3∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0)，則PA=PO=t，PB=t?2，在Rt△PAB中，PA2解得t=4，故答案為：4；（2）解：連接BB′，B′P，作∵點(diǎn)B于點(diǎn)B′重合，∴直線l是線段BB∴BP=B∵OA⊥l，∴OA∥∴∠B∴B′D設(shè)直線OA的解析式為y=kx(k≠0)，∵OB=2，AB=23∴A2,2∴2k=23，即k=∴直線OA的解析式為y=3∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=4∵B(2,0)，∴直線BB′的解析式為：①②聯(lián)立得，x=1+5y=15當(dāng)x=1+5∴B∴BD=1+5∴BP=2BD=25∴OP=BP+OB=25∴P25,0當(dāng)x=1?5y=?3?15時(shí)，點(diǎn)P在x∴t=?25故答案為：25或?2【題型2反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用】【例2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)B在第二象限，邊BC的中點(diǎn)D橫坐標(biāo)為?6，反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D．若S△AOD=9A．?12 B．9 C．?9 D．?6【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式等知識(shí)．熟練掌握反比例函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．設(shè)Ca，0，D?6，b，則B?12?a，2b，A?12?2a，2b，由題意知，S?ABCD=2S△AOD=18，則?a?2b=18【詳解】解：設(shè)Ca，0，D?6，由題意知，S?ABCD∴?a?2b=18，即ab=?9，∵反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A∴k=?6b=?12?2a解得，a=?9∴b=2，∴k=?12，故選：A．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為?3,0、1,0、0,4，頂點(diǎn)C在第一象限，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)連接OC，若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=kx的圖象上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形面積與△OBC【答案】(1)y=(2)P1,16或?1,?16【分析】（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）先求出△OBC的面積，根據(jù)△POD與△OBC的面積相等，先求出點(diǎn)【詳解】（1）解：∵A?3,0，B1,0、D0,4∴CD=AB=4，∴C4,4把點(diǎn)C4,4代入y=kx解得k=16，∴反比例函數(shù)的解析式為y=16（2）設(shè)點(diǎn)Pa,b∵OB=1，OD=4，∴S△OBC=∴a=±1，∵ab=16，∴b=±16，∴P1,16或?1,?16【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法、坐標(biāo)與圖形等，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸的正半軸上，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、D，若?OABC的面積為24，則k【答案】?8【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，設(shè)Bb，kb，Cc，0【詳解】解：設(shè)Bb∵?OABC的面積為24，∴c??∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴Db+c∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)D，∴b+c2∴c=3b，∴?3k=24，∴k=?8，故答案為：?8．【變式2-3】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=kx?4kk≠0的圖象與反比例函數(shù)y=m?1xm?1≠0的圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C作CB⊥y軸，垂足為B，連接

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及m和k的值．(2)①求一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；②請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出不等式m?1x(3)若直線y=x+t與四邊形ABCO有交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)A4,0，m=?11，(2)①8,?32；②?4≤x<0(3)?4≤t≤7【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，平行四邊形的性質(zhì)：（1）令y=0，可得A4,0，再由平行四邊形ABCO的面積是12，可得C?4,3，進(jìn)而得到m=?11，（2）①聯(lián)立兩函數(shù)解析式，即可求解；②直接觀察圖象，即可求解；（3）分別求出直線y=x+t過點(diǎn)C，A時(shí)t的值，即可求解．【詳解】（1）解：令y=0，則kx?4k=0，∴x=4，∴A4,0∴OA=4，∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴BC=OA=4，∵CB⊥y軸，∴設(shè)C?4,b∵平行四邊形ABCO的面積是12，∴4b=12，即b=3，∴C?4,3，m?1=?4×3=?12，即m=?11∵點(diǎn)C在直線y=kx?4k上，∴3=?4k?4k，∴k=?3（2）解：①由（1）知，k=?∴直線AC的解析式為y=?由（1）知，m=?11，∴反比例函數(shù)的解析式為y=?12聯(lián)立得：y=?38x+32∴一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為8,?3②由圖可得，當(dāng)?4≤x<0或x≥8時(shí)，反比例函數(shù)y=m?1xm?1≠0∴不等式m?1x≥kx?4k的解集為：?4≤x<0或（3）解：如圖所示，當(dāng)直線y=x+t經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t取最大值，當(dāng)直線y=x+t經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，t取最小值，

將點(diǎn)C?4,3代入y=x+t3=?4+t，解得t=7；將點(diǎn)A4,0代入y=x+t0=4+t，解得t=?4，∴若直線y=x+t與四邊形ABCO有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為?4≤t≤7．【題型3反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用】【例3】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，B在第一象限，反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像經(jīng)過OB中點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，將矩形沿直線EF翻折，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合．若矩形面積為82，則點(diǎn)A．22,4 B．4,22 C．4【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握矩形與折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形面積與反比例函數(shù)的中k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)Ba,b，則ab=82，Ea2,b2，可求出反比例函數(shù)解析式，可得F的縱坐標(biāo)為b【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)Ba,b，則OC=a，BC=b∴OC·BC=ab=82∵點(diǎn)E是矩形對(duì)角線OB的中點(diǎn)，∴Ea2,∴k=a∴反比例函數(shù)解析式為y=2∵四邊形OABC是矩形，∴OA=BC=b，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為b，∴把點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，b=2解得，x=22b∴BF=a?2∵沿著EF折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，如圖所示，連接OF，則OF=BF=a?2在Rt△AOF中，O∴b2+22b解得，b=22∴a=4，∴B4,2故選：B．【變式3-1】（2024九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D，分別與對(duì)角線AC，邊BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，AF，若點(diǎn)EA．?6 B．?5 C．?3 D．?2【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，首先設(shè)Aa,0，表示出Da,ka，再根據(jù)D，【詳解】解：設(shè)Aa,0∵矩形ABCD，∴Da,∵E為AC的中點(diǎn)，∴E也為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)B在x軸上，∴E的縱坐標(biāo)為k2a∴E2a,∵E為AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C3a,∴點(diǎn)F3a,k∵△AEF的面積為2，AE=EC，∴S△ACF∴12解得k=?6，故選：A．【變式3-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=?4xx<0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，以BA、BC為邊作矩形ABCD，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形FECG，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F坐標(biāo)為(m,n)，則m與n【答案】mn?m?n–3=0【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由點(diǎn)F坐標(biāo)為(m,n)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，得出EF=CG=m?1，F(xiàn)G=CE=n，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=CE=n，AB=CD=CG=m?1，進(jìn)一步得到OB=n?1，于是得到A(1?n,m?1)，于是得到(1?n)(m?1)=?4，即mn?m?n?3=0．【詳解】解：∵點(diǎn)F坐標(biāo)為(m,n)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，則EF=CG=m?1，F(xiàn)G=CE=n，∵矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形FECG，∴BC=CE=n，AB=CD=CG=m?1，∴OB=n?1，∴A(1?n,m?1)，∵A在此反比例函數(shù)y=?4∴(1?n)(m?1)=?4，∴mn?m?n?3=0．故答案為：mn?m?n?3=0．【變式3-3】（2024·廣西·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，連接AE．若AD平分∠OAE，反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過AE上的兩點(diǎn)A、F，且AF=EF，△ABE的面積為18，則k的值為（A．10 B．11 C．12 D．14【答案】C【分析】連接BD，先證明BD∥AE，得出S△ABE=S△OAE，設(shè)A的坐標(biāo)為m,km，即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)和【詳解】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD為矩形，O為對(duì)角線交點(diǎn)，∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，又∵AD為∠DAE的平分線，∴∠ODA=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴BD∥AE，∴S設(shè)A的坐標(biāo)為m,k∵AF=EF，∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為k2m又∵F點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴將F點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：k2m=k∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為2m,k∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(3m,0)，∵S解得：k=12．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，矩形的性質(zhì)，平行線的判定，判定出BD∥AE從而得到S△ABE【題型4反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用】【例4】（23-24九年級(jí)·山東濱州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過對(duì)角線OB的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，若菱形OABC的面積為9，則kA．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì).首先設(shè)出A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)D點(diǎn)在反比例函數(shù)上，再結(jié)合面積等于9，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為c,k∵菱形OABC的面積為9，∴a?kc=12，點(diǎn)D∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為a+c2∴a?k解得k=3，故選：D．【變式4-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的對(duì)角線OB在x軸上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=43xx>0的圖象上，則菱形

【答案】8【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，連接AC，可得AC⊥OB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得△AOB的面積，即可解答，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】解：如圖，連接AC交OB于點(diǎn)D，

，∵四邊形OABC是菱形，∴AD⊥OB，OD=DB,AD=DC，∴S∴S故答案為：83【變式4-2】（23-24九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）如圖，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像相交于A(1,a)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，(1)求k的值；(2)以AB、BC為邊作菱形ABCD，求D點(diǎn)坐標(biāo)及菱形的面積．【答案】(1)2(2)D(1+25,2)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．（1）首先結(jié)合點(diǎn)A(1,a)在直線y=2x上，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A(1,2)代入反比例函數(shù)解析式，即可獲得答案；（2）首先解得點(diǎn)B坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求得AB=25，再結(jié)合菱形的性質(zhì)求解D【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A(1,a)在直線y=2x上，∴a=2×1=2，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，∵點(diǎn)A(1,2)是反比例函數(shù)y=kx的圖像與正比例函數(shù)∴k=1×2=2，即k的值是2；（2）由題意，可得2x解得x=1或?1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1或?1是原方程的解，∵點(diǎn)B在第四象限，∴B(?1,?2)，∵點(diǎn)A(1,2)，∴AB=(1+1)∵菱形ABCD是以AB、BC為邊，且BC∥∴AD=AB=25∴D(1+25∴菱形的面積=25【變式4-3】（23-24九年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y=k1x+1的圖象與反比例函數(shù)y=k2x點(diǎn)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D(1,?2)，連接OB、OA、OD、

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)求△AOB的面積；(3)根據(jù)圖象，直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍；(4)設(shè)點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使S△OAP=1【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=x+1；反比例函數(shù)的解析式為y=(2)△AOB的面積為3(3)x<?2或0<x<1(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3，?2【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知A、D關(guān)于x軸對(duì)稱，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式可求得k1和k（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可求解；（3）根據(jù)圖象求解即可；（4）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得菱形面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為a,a＋1，根據(jù)條件可得到關(guān)于a的方程，可求得【詳解】（1）如圖，連接AD，交x軸于點(diǎn)E，

∵四邊形AODC是菱形，∴AD⊥OA,AE=DE,EC=OE，∵D1∴OE=1,ED=2，∴AE=DE=2,EC=OE=1，∴A1將A1，2代入直線y=解得k1將A1，2代入反比例函數(shù)y=解得：k2∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；反比例函數(shù)的解析式為y=2（2）設(shè)AB與y軸相交于F，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即F0,1解y=x+1y=x1=1y∴B?2,?1∴S△AOB（3）由圖象可知，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍為x<?2或0<x<1；（4）∵OC=2OE=2,AD=2DE=4，∴S菱形∵S△OAP∴S△OAP設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為a,a＋則F0∴OF=1，∵S△OAF當(dāng)P在A的左側(cè)時(shí)，S△FOP∴a=?3,a+1=?2，∴P?3當(dāng)P在A的右側(cè)時(shí)，S△FOP∴a=5,a+1=6，∴P5綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3，?2或【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用函數(shù)圖象解不等式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【題型5反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用】【例5】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，在正方形ABCD中，邊AB在x軸上，OA=14，AC=2，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=kx(k≠0，x>0)的圖象上，BC交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)EA．1 B．34 C．35 【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)及和勾股定理E求出邊長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，即可求得k的值，從而確定函數(shù)解析式，然后求出OB的長(zhǎng)，代入解析式得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，最后求出CE的長(zhǎng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=AB，∠ADC=∠DAB=90°，由勾股定理得：AC∴AD=CD=BC=AB=1（負(fù)值已舍去），∴D14,1∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=k∴k=1∴反比例函數(shù)y=1∴當(dāng)x=54，∴BE=1∴CE=CB?BE=1?1故選：D．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖像與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，連接OM，ON，MN，若∠MON=45°，MN=2，則k【答案】2【分析】延長(zhǎng)BA到G，使得AG=CN，連接OG，易證△OCN≌△OAG(SAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步證明△MON≌△MOG(SAS)，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，求出AM的值，再設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在△BMN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步可知M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出【詳解】解：延長(zhǎng)BA到G，使得AG=CN，連接OG，如圖所示：在正方形OABC中，OA=OC，∠OCB=∠OAB=∠COA=90°，∴∠OAG=∠OCN，∴△OCN≌△OAG(SAS)∴∠CON=∠GOA，OG=ON，∵∵∠MON=45°，∴∠CON+∠AOM=45°，∴∠AOM+∠GOA=45°，∵OM=OM，∴△MON≌△MOG(SAS)∴MN=MG，即MN=MA+CN，設(shè)AM=x，∵M(jìn)N=2，∴CN=2?x，∵M(jìn)，N在反比例函數(shù)上，∴CN?OC=AM?OA，∵OC=OA，∴2?x=x，解得x=1，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則BM=a?1，BN=a?1，在△BMN中，根據(jù)勾股定理，得2(a?1)解得a=1+2或1?2（舍∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(1+2，1)將M點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，得k=1+2故答案為：1+2【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與正方形的綜合，涉及三角形全等，正方形的性質(zhì)，勾股定理等，構(gòu)造全等三角形求出AM的長(zhǎng)再根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)B2,4在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)A．點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB交該函數(shù)圖象于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)E的正比例函數(shù)y=ax(1)k=．(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及四邊形ADEF的面積．(3)當(dāng)正比例函數(shù)y=ax的值大于反比例函數(shù)y=kx的值時(shí)，直接寫出【答案】(1)8(2)E(4,2)，四邊形ADEF的面積為4(3)?4<x<0或x【分析】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，能利用函數(shù)圖象求出不等式的取值范圍是解題的關(guān)鍵．（1）直接把點(diǎn)B(2,4)代入反比例函數(shù)y=kx，求出（2）根據(jù)點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，由EF=DE=AD,AB⊥x軸，EF⊥x軸可知四邊形ADEF是正方形，進(jìn)而可得出其面積；（3）先求出G點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B(2,4)在反比例函數(shù)y=k∴4=k解得k=8，故答案為：8；（2）解：∵點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，B(2,4)，∴D(2,2)，∵k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為y=8∵DE⊥AB交該函數(shù)圖象于點(diǎn)E，∴當(dāng)y=2時(shí)，2=8解得x=4，∴E(4,2)，∴EF=ED=AD=2，∵AB⊥x軸，EF⊥x軸，DE⊥AB，∴四邊形ADEF是正方形，∴四邊形ADEF的面積=EF?ED=2×2=4；（3）解：∵E(4,2)，∴G(?4,?2)，∴當(dāng)?4<x<0或x>4時(shí)，正比例函數(shù)y=ax的值大于反比例函數(shù)y=k【變式5-3】（2024·遼寧盤錦·二模）如圖，正方形ABCD在第一象限，點(diǎn)A2，4，B4，(1)接寫出k的取值范圍；(2)當(dāng)反比例函數(shù)y=kxx>0圖象與AB交于點(diǎn)E，且E是AB中點(diǎn)，連接OE，點(diǎn)F在第一象限反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上，點(diǎn)X為x軸上一點(diǎn)，且【答案】(1)8≤k≤24(2)2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)：（1）結(jié)合正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,6，然后分別求出反比例函數(shù)y=kxx>0圖象過點(diǎn)A和點(diǎn)D（2）過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，交OF于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥OE于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PH=PG，證明Rt△POG≌Rt△POH，可得OG=OH，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,4，可得EH=2，在Rt△HEP中，根據(jù)勾股定理可得PG=32，從而得到點(diǎn)【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A2，4∴AB=BC=2，AB∥CD∥x軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,6，當(dāng)反比例函數(shù)y=kxx>0圖象過點(diǎn)A當(dāng)反比例函數(shù)y=kxx>0圖象過點(diǎn)C∴k的取值范圍為8≤k≤24；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，交OF于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥OE于點(diǎn)H，∵OF平分∠EOX，∴PH=PG，∵OP=OP，∴Rt△POG≌∴OG=OH，∵點(diǎn)A2，4，B4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,4，∴EG=4,OG=OH=3，OE=3∴EH=2，在Rt△HEP中，P∴4?PG2=2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,3設(shè)直線OF的解析式為y=mx，把點(diǎn)3,32代入得：解得：m=1∴直線OF的解析式為y=1把3,4代入y=kxx>0∴反比例函數(shù)解析式為y=12聯(lián)立得：y=12xy=12∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為26【題型6反比例函數(shù)與梯形的綜合應(yīng)用】【例6】（2024·廣東佛山·二模）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝k2x圖象交于點(diǎn)B（﹣1，6）、點(diǎn)A，且點(diǎn)(1)填空：k1＝，b＝；k2＝；(2)結(jié)合圖形，直接寫出k1x+b＞k2x時(shí)(3)在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x軸上，CD⊥x軸于點(diǎn)D，CD和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M，當(dāng)梯形ODCA的面積為12時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)．【答案】(1)3，9，-6(2)﹣2＜x＜﹣1或x＞0(3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，65【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)圖象即可求得；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-6m），則D（m，0），C（m，3），即可得出AC=-2-m，CD=3，OD=-m，根據(jù)梯形面積即可求得m的值，從而求得M【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2x圖象交于點(diǎn)B（-1，6）、∴k2=-1×6=-6，∴反比例函數(shù)y=-6x把y=3代入得，3=-6x∴x=-2，∴A（-2，3），把A、B坐標(biāo)代入y=k1x+b得?2k解得k1故答案為：k1=3，b=9，k2=-6，（2）由圖象可知，k1x+b＞k2x時(shí)x的取值范圍是-2＜x＜-1或（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-6m∵CD⊥x軸于D，∴D（m，0），∵AC∥OD，A（-2，3），∴C（m，3），∴AC=-2-m，∴CD=3，OD=-m，∴S梯形AODC=12（AC+OD）?CD即12=12（-2-m-m解得m=-5，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，65【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，梯形的面積等，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024·遼寧盤錦·模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O，OA∥BC，反比例函數(shù)y=kxk>0，x>0經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，已知OA=2BC，若△OAB【答案】12【分析】本題考查了反比例函數(shù)y=kxk>0，x>0系數(shù)k的幾何意義：從反比例函y=kxk>0，x>0圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則△OAD∽△CBE，所以O(shè)A:CB=OD:CE=AD:BE=2:1，設(shè)CE=a，【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠ADO=∠BEC=90°，∵OA∥BC，∴∠AOD=∠BCE，∴△OAD∽△CBE，∵OA=2BC∴OA:CB=OD:CE=AD:BE=2:1，設(shè)CE=a，BE=b，則OD=2a，AD=2b，即點(diǎn)∵反比例函數(shù)y=kxk>0，x>0經(jīng)過點(diǎn)∴k=2a?2b=4ab，∴B(4a,b)，∴DE=2a，∴SΔ解得ab=3，∴k=4ab=12．故正確答案為：12．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·上海嘉定·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+b的圖像與x軸交于點(diǎn)A2,0，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=kx(1)求b和k的值：(2)如果直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點(diǎn)D，求直線BD的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是y軸上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ADEC是梯形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)?4，6(2)y=?3x?4(3)0,2或0,【分析】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、三角形全等等，注意分類求解是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)A2,0代入一次函數(shù)y=2x+b求出b=?4，把點(diǎn)Cm,2代入y=2x?4求出m=3得點(diǎn)C3,2，把C3,2代入（2）證明△BFA≌△AEGAAS，得到點(diǎn)G（3）結(jié)合梯形的定義分CE∥AD和DE∥【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=2x+b的圖像與x軸交于點(diǎn)A2,0∴把點(diǎn)A2,0代入一次函數(shù)y=2x+b2×2+b=0,∴b=?4∴一次函數(shù)的解析式為：y=2x?4，把點(diǎn)Cm,2代入y=2x?4，得：2m?4=2解得，m=3,∴C3,2把C3,2代入y=k=3×2=6,（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥AB交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作y軸的平行線交過點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)F，交過點(diǎn)G與x軸的平行線于點(diǎn)E，如圖，∵∠ABG=45°，故△ABG為等腰直角三角形，則AG=AB，∵∠BAF+∠GAE=90°，∴∠BAF=∠AGE，∵∠BFA=∠AEG=90°，∴△BFA≌∴AE=BF=2，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為?2,2，設(shè)直線BG的表達(dá)式為y=kx+b，把B0,?4,G?2,2解得k=?3b=?4故直線BD的表達(dá)式為y=?3x?4；（3）解：∵ADEC是梯形，∴當(dāng)CE∥∵C3,2，點(diǎn)E在y∴E0,2當(dāng)DE∥對(duì)于y=?3x?4，當(dāng)y=0時(shí)，x=?4∴D?設(shè)直線DE的解析式為y=2x+p，把D?43,0代入∴p=8∴直線DE的解析式為y=2x+8當(dāng)x=0時(shí)，y=8∴E0,綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,2或0,【變式6-3】（23-24九年級(jí)·浙江·階段練習(xí)）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2（1）求k1、k（2）直接寫出k1（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）k1=﹣3，k2=6；（2）1＜x＜2；（3）PC=PE，理由見解析．【分析】（1）先把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)解析式求得a的值，再把點(diǎn)A，B代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法即可求得k1的值；（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，據(jù)此解答即可；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意：k2=1×6=6，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=6又∵B（a，3）在y=6x的圖象上，∴∴B（2，3），∵直線y=k1x+b過點(diǎn)A∴k1+b=62∴k1=﹣3，k2=6；（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，x的取值范圍：1＜x＜2；（3）判斷PC=PE．理由：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m－2，OD=m＋2，∴S梯形OBCD=BC+OD2×CE，即m?2+m+22又∵mn＝6∴n=32，即∴PC=PE．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，此外還要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型7反比例函數(shù)中的定值問題】【例7】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），反比例函數(shù)y＝kx（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，連接MN（1）當(dāng)點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)時(shí)．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式；②求△OMN的面積；（2）在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，試證明：MBNB【答案】（1）y=4【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)及M是BC中點(diǎn)得出M（2，4），據(jù)此可得反比例函數(shù)解析式；②先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根據(jù)S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN計(jì)算可得．（2）設(shè)M（a，2），據(jù)此知反比例函數(shù)解析式為y＝2ax，求出N（4，a2），從而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣【詳解】(1)①∵點(diǎn)B(4，2)，且四邊形OABC是矩形，∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴CM＝2，則點(diǎn)M(2，2)，∴反比例函數(shù)解析式為y＝4x②當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4x∴N(4，1)，則CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN＝4×2﹣12×4×1﹣12×2×2﹣＝3；(2)設(shè)M(a，2)，則k＝2a，∴反比例函數(shù)解析式為y＝2ax當(dāng)x＝4時(shí)，y＝a2∴N(4，a2則BM＝4﹣a，BN＝2﹣a2∴MBNB＝4?a2?a【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、割補(bǔ)法求三角形的面積．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期中）已知雙曲線y=k（1）求k的值，并求當(dāng)x>3時(shí)y的取值范圍；（2）如圖1，過原點(diǎn)O作兩條直線與雙曲線y=kx的圖象交于A、C與B、D．我們把點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若A、B、C、D都是整點(diǎn)，試說明四邊形（3）如圖2，以過原點(diǎn)O的線段BD為斜邊作一個(gè)直角三角形，且三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D都在雙曲線y=kx上，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)B的點(diǎn)橫坐標(biāo)為b，問：【答案】（1）k=2，0<y<23；（2）見解析；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法及反比例函數(shù)的性質(zhì)解題；（2）分別求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，證明AC=BD，OA=OC，OB=OD即可解題；（3）連接OA，證明OA=OB=OD，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解題．【詳解】解：（1）雙曲線y=k∴k=2∵x=3時(shí)，y=∴x>3時(shí)，0<y<2（2）證明：∵A、B、C、D都是整點(diǎn)，∴A(1,2),B(2,1),C(?1,?2),D(?2,?1)∴AC=∴AC=BD∵反比例函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，∴OA=OC,OB=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD∴四邊形ABCD是矩形；（3）如圖，連接OA，∵反比例函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，∴OB=OD∵∠DAB=90°∴OA=OB=OD∵反比例函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，OA=OB，∴A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，∴A(a,b)∵A在y=2∴ab=2，是定值．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合題，涉及反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定方法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別為m,0、0,n，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k1x(x>0)上，頂點(diǎn)(1)如圖1，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為4,1時(shí)．①求k2②求m，n的值；(2)如圖2，當(dāng)m，n滿足什么關(guān)系時(shí)，k1(3)如圖3，當(dāng)k1=k2時(shí)，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥EA交x軸于點(diǎn)F，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)G，當(dāng)G為EF的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)給定的m值，點(diǎn)【答案】(1)①k2的值為4；②m，n(2)當(dāng)n>m時(shí)，k1(3)2【分析】（1）①將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)D作DM⊥x軸，可得△AOB≌△DMA，可用m，n表達(dá)點(diǎn)D的坐標(biāo)，建立關(guān)于m，n的二元一次方程組即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，可得△AOB≌△CNB，可用m，n表達(dá)點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此建立關(guān)于m，n的不等式，解之即可；（3）過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)EH=t，由等腰三角形的性質(zhì)可表達(dá)點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)，由此建立關(guān)于m的方程，解之即可．【詳解】（1）解：①將點(diǎn)D(4,1)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k∴k即k2②如圖，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，∴∠AOB=∠AMD=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAM=∠DAM+∠ADM=90°，∴∠BAO=∠ADM，∵AB=AD，∴△AOB≌△DMAAAS∴OB=AM=n，OA=DM=m，∴OM=m+n，∴Dm+n,m∴m+n=4m=1，解得m=1∴m，n的值為1，3；（2）解：當(dāng)n>m時(shí)，k1如圖，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，同理（1）可得△AOB≌△BNC，k2∴OB=CN=n，OA=NB=m，∴ON=m+n，∴Cn,m+n∴k若k1>k∵m>0，n>0，∴n>m，即當(dāng)n>m時(shí)，k1（3）解：由（2）得Cn,m+n，Dm+n,m，又∴nm+n∵m>0，n>0，∴n=m，即OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠EAF=45°，∵EF⊥EA，∴△AEF是等腰直角三角形，如圖，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，∵△AEF是等腰直角三角形，∴EH=AH=HF，設(shè)EH=t，AH=HF=t，∴E(m+t,t)，F(xiàn)(m+2t,0)，∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴Gm+∵m=n，∴k∵點(diǎn)Gm+32∴2m2=∴t=?2m（舍）或t=2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，用m，n表達(dá)出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)分別在y軸、x軸的正半軸上，△AOB的一條內(nèi)角平分線、一條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)y=4

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若OA=OB，求∠P的度數(shù)；(3)如果直線AB的關(guān)系式為y=kx+12n，且0<n<4，作反比例函數(shù)y=?nx，過點(diǎn)0，1作x軸的平行線與y=4x的圖象交于點(diǎn)M，與y=?nx的圖象交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作y軸的平行線與y=kx+12【答案】(1)P(2)22.5°(3)存在，當(dāng)k=?12時(shí)，MN+QN【分析】（1）過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，PE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PC=PD=PE，設(shè)PC=PD=PE=aa>0，則Pa,a，代入反比例函數(shù)解析式求得（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD，再由角平分線的定義求得∠PAD和∠POA的度數(shù)，進(jìn)而由三角形外角的性質(zhì)求得結(jié)果；（3）由已知條件求出M、N、Q的坐標(biāo)，再求得MN+NQ的表達(dá)式，根據(jù)MN+NQ是定值求出k的值和MN+QN的值即可．【詳解】（1）解：過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，PE⊥AB于E，如圖1，

∵AP和OP分別是∠BAF和∠AOB的平分線，∴PC=PD=PE，設(shè)PC=PD=PE=aa>0，則P把Pa,a代入y=4x∴a=2（負(fù)值舍去），∴P2,2（2）如圖1，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠BAD=135°，∵AP和OP分別是∠BAF和∠AOB的平分線，∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，∴∠APO=∠PAD–∠POA=22.5°，故答案為：22.5°；（3）把y=1代入y=4x中，得∴M4

把y=1代入y=?nx中，得∴N?n把x=–n代入y=kx+12n∴Q?n當(dāng)?kn+1∴MN+QN=(4+n)+1??kn+當(dāng)k=?12時(shí)，當(dāng)?kn+1∴MN+QN=(4+n)+?kn+當(dāng)k=32時(shí)，MN+QN=3，但綜上：當(dāng)k=?12時(shí)，MN+QN的和是定值【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型8反比例函數(shù)中的存在性問題】【例8】（23-24九年級(jí)·山西臨汾·期末）如圖，一次函數(shù)y=?2x+b與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(m,4)，又與坐標(biāo)軸分別交于M、N兩點(diǎn)，且M(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)已知△BON的面積為3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、O、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=?2x+6，y=(2)B(3)存在．P13,6，P【分析】（1）先求出一次函數(shù)解析式，再把(m,4)代入求出m，然后再求反比例函數(shù)解析式；（2）先求出N3,0，設(shè)Bm,4（3）設(shè)Pa,b【詳解】（1）把0,6代入y=?2x+b，得b=6，∴y=?2x+6，把(m,4)代入y=?2x+6，得4=?2m+6，解得m=1，∴把(1,4)代入y=kx，得∴y=4（2）當(dāng)y=0時(shí)，0=?2x+6，∴x=3，∴N3,0∴ON=3，設(shè)Bm,∵△BON的面積為3，∴12∴m=2，∴B2,2（3）設(shè)Pa,b當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意，得0+a2=1+2∴a=3,b=6，∴P1當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，由題意，得0+12=a+2∴a=?1,b=2，∴P2當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，由題意，得0+22=1+a∴a=1,b=?2，∴P3綜上可知，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P13,6，P2【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及反比例函數(shù)與幾何綜合等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·山西臨汾·期中）如圖，一次函數(shù)y=?23x+6的圖象與x軸，y軸交于F，E兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A(1)求a，b的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)若P為線段CD上的一點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)S△ABP=9(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△ABQ為等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)a=3，b=6，y=(2)9(3)存在，理由見解析，52,0【分析】題目主要考查反比例函數(shù)的綜合問題，比例系數(shù)的意義及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．（1）分別將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入函數(shù)解析式，得出a=3，b=6，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可確定函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P在線段CD上，連接AP,BP．結(jié)合圖形得出S四邊形ABCD=9（3）設(shè)點(diǎn)Q(n,0)，連接QA,BQ．用勾股定理分別表示出AB、AQ、BQ，然后分三種情況分析：①當(dāng)AQ=BQ時(shí)，②當(dāng)【詳解】（1）解：將點(diǎn)A(a,4)代入y=?2得4=?23a+6將點(diǎn)B(b,2)代入y=?2得2=?23b+6∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2)，∴k=12，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=12（2）如圖，點(diǎn)P在線段CD上，連接AP,BP．∵AD=4,BC=2,CD=OC?OD=6?3=3，∴S設(shè)點(diǎn)P(m,0)，則PD=m?3,PC=6?m，∴S△ADP=∴S又∵S∴9∴m=9∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為92（3）存在，理由如下：如圖，設(shè)點(diǎn)Q(n,0)，連接QA,BQ．∵A(3,4),B(6,2)，∴AB=(6?3)AQ=(3?n)∴BQ=(6?n)分三種情況：①當(dāng)AQ=BQ時(shí)，AQ∴(3?n)解得n=5∴Q5②當(dāng)AB=AQ時(shí)，AB∴13=(3?n)∴(3?n)∵(3?n)∴此情況不成立③當(dāng)AB=BQ時(shí)，AB∴13=(6?n)∴(6?n)∴6?n=±3，∴n=3或n=9．令y=0，得0=?2∴x=9，∴F(9,0)，∴此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合，不能構(gòu)成三角形，∴Q(3,0)，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為52,0或(3,0)時(shí)，【變式8-2】（2024九年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA=3，BC=5，有一反比例函數(shù)圖象剛好過點(diǎn)B．(1)分別求出過點(diǎn)B的反比例函數(shù)和過A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式．(2)動(dòng)點(diǎn)P在射線CA（不包括C點(diǎn)）上，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D．是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=15x(2)5,?274或(5,?【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意分別求出A點(diǎn)，B點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出P點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形則點(diǎn)Q在直線BA上，且PD=DB=BQ，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，A(5,0)，B(5,3)，C(0,3)，設(shè)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得，3=k解得k=15，∴過點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=15設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，代入A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)得，5k+b=0b=3解得k=?3∴過A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?3（2）存在，設(shè)Pm,?35①若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)Q在直線BA上，且PD=DB=BQ，∴15m整理得1625解得m=54或當(dāng)m=54時(shí)，∴此時(shí)Q5,3?即Q5,?當(dāng)m=354時(shí)，∴Q此時(shí)5,3?111即Q5,?②若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)Q在直線BC上，且PD與BQ互相垂直平分，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，且?3解得m=?5±5∵m>0，∴m=5∴Q(55綜上所述，若以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為5,?274或(5,?27【變式8-3】（2024·河南周口·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，8)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，ABOB=43，反比例函數(shù)y=kx的圖象的一支分別交AO，AB于點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接CD，OD，求(3)在x軸上是否存在兩點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），使以點(diǎn)E，M，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出矩形的周長(zhǎng)；若不存在，說明理由．【答案】(1)y=12x(2)9(3)存在，12【分析】（1）根據(jù)ABOB=43得出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，因?yàn)辄c(diǎn)E是反比例函數(shù)和直線OA的交點(diǎn)，所以先求出直線OA的表達(dá)式，再將反比例函數(shù)的表達(dá)式與直線（2）根據(jù)S△OCD=S（3）存在，當(dāng)OM=ON時(shí)，四邊形EMCN是平行四邊形，當(dāng)OM=ON=OC時(shí)，可證∠MCN=90°，此時(shí)平行四邊形EMCN為矩形，利用勾股定理分別求出CM、【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，8)，AB⊥x軸于點(diǎn)∴AB=8，∵ABOB∴OB=6，∴A(6，又∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，∴D(6，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=k∴k=6×2=12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=設(shè)直線OA的解析式為y=bx，∵點(diǎn)A在直線OA上，∴6b=8，解得b=∴直線OA的解析式為y=聯(lián)立得y=解得x1=3∴C(3，4)，（2）解：由（1）可知C(3，∵S△OCD∴SOCD==12=24?6?9=9；（3）解：在x軸上存在兩點(diǎn)M，N，使以點(diǎn)E，M，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，理由如下：∵設(shè)M(m，∴OM=ON，∵C(3，∴OC=OE，∴四邊形EMCN是平行四邊形，當(dāng)MN=CE=2OC=2×3∴OM=ON=5，即m=5或?5，∴OM=ON=OC，∴∠OMC=∠OCM，∵∠OMC+∠OCM+∠ONC+∠OCN=180°，∴∠OCM+∠OCN=90°，即∠MCN=90°，∴此時(shí)平行四邊形EMCN為矩形，∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，∴m=?5，∴CM=3+52∴矩形EMCN周長(zhǎng)為4【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式，求坐標(biāo)系內(nèi)圖形的面積，平行四邊形和矩形的判定，根據(jù)要求求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．【題型9反比例函數(shù)中的最值問題】【例9】（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）直線y=?x+2a(常數(shù)a>0)和雙曲線y=kx(k>0,x>0)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；(2)如圖1，一次函數(shù)y=?x+2a與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)圖像上，且滿足∠BPO=∠QPA．①若a=1時(shí)，點(diǎn)P在移動(dòng)過程中，求BP+PQ的最小值；②如圖2，設(shè)PQ與線段AB的交點(diǎn)為M，若OM⊥BP，試求OM?BPPM【答案】(1)B(a,a)(2)①當(dāng)m?1m=1時(shí)，BP+PQ的值最小，最小值為【分析】（1）構(gòu)建方程組根據(jù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即Δ=