福建省普通高中2023年學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第16頁(yè)/共16頁(yè)2023年1月福建省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：90分鐘；滿(mǎn)分：100分）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至4頁(yè)，第II卷5至6頁(yè)．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生將自己的考生號(hào)、姓名填寫(xiě)在試題卷、答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“考生號(hào)、姓名”與考生本人考生號(hào)、姓名是否一致．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．第II卷用黑色字跡簽字筆在答題卡上作答．在試題卷上作答，答案無(wú)效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式，其中為底面面積，為高臺(tái)體體積公式，其中，分別為上、下底面面積，為高錐體體積公式，其中為底面面積，為高球的表面積公式，球的體積公式，其中為球的半徑第I卷（選擇題57分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共15小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用交集的定義求解作答.【詳解】集合，，則.故選：D2.已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用終邊相同的角的集合逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c角終邊相同的角的集合為，當(dāng)時(shí)，得到，又，所以易知BCD均不符合題意.故選：A.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】解，可得，所以，函數(shù)的定義域是.故選：B.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)可得f（2）?f（3）＜0，再利用函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7，∴f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝4＞0，f（2）?f（3）＜0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理可得，函數(shù)f（x）＝2x+x﹣7的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（2，3），故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.計(jì)算（）A. B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故選：B.6.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.7.下列向量組中，可以用來(lái)表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個(gè)向量不能共線(xiàn)，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的兩個(gè)向量不能共線(xiàn)，A.向量是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯(cuò)誤；B.，兩個(gè)向量共線(xiàn)，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯(cuò)誤；C.，兩個(gè)向量共線(xiàn)，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯(cuò)誤；D.不存在實(shí)數(shù)，使，所以向量不共線(xiàn)，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.故選：D8.的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，則邊的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可求得邊的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，，，由正弦定理，可?故選：B.9.甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，他們每次投中的概率分別為，，且他們是否投中互不影響．若甲、乙各投籃一次，則兩人都投中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)甲投中為事件，乙投中為事件，兩事件相互獨(dú)立，所以.故選：B10.為了得到y(tǒng)=sin(x+),的圖象，只需把曲線(xiàn)y=sinx上所有的點(diǎn)A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【詳解】需把曲線(xiàn)y=sinx上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sin(x+),的圖象.故選B.11.不等式解集為（）A.或. B.或.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】不等式，解得：或，所以不等式的解集為或.故選：B12.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：A.13.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)解析式得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，所以為偶函數(shù)，所以A、B項(xiàng)錯(cuò)誤.又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，故D項(xiàng)正確.故選：D.14.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結(jié)果.【詳解】若，則，又因?yàn)?，所以，即，若，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.15.某學(xué)校新建的天文觀測(cè)臺(tái)可看作一個(gè)球體，其半徑為．現(xiàn)要在觀測(cè)臺(tái)的表面涂一層防水漆，若每平方米需用涂料，則共需要涂料（單位：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用球的表面積公式求出表面積，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以球的表面積為，又每平方米需用涂料，所以共需涂料.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．16.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后將代入，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)镽，但，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.17.袋中有大小和質(zhì)地均相同的5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黑球．現(xiàn)從中隨機(jī)摸取2個(gè)球，下列結(jié)論正確的有（）A.“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事件B.“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事件D.“至少有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】以黑球的個(gè)數(shù)為切入點(diǎn)，試驗(yàn)的樣本空間為.將事件用集合表示出來(lái)，即可得出答案.【詳解】以黑球的個(gè)數(shù)為切入點(diǎn)，試驗(yàn)的樣本空間為.對(duì)于A項(xiàng)，“恰有一個(gè)紅球”可用來(lái)表示，“都是紅球”可用事件來(lái)表示.所以，事件互斥，但不是對(duì)立事件，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，“恰有一個(gè)黑球”可用來(lái)表示，“都是黑球”可用事件來(lái)表示.所以事件互斥，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，“至少有一個(gè)黑球”可用事件來(lái)表示，“都是紅球”可用事件來(lái)表示.所以，事件為互斥事件，也是對(duì)立事件，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，“至少有一個(gè)紅球”可用事件來(lái)表示，“都是紅球”可用事件來(lái)表示.所以，事件，即交事件為“都是紅球”，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，下列命題正確的有（）A.B.C.平面平面D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)推得，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)推得四邊形是平行四邊形，得出，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)以及線(xiàn)面垂直的判定定理，可得出平面，即可得出C項(xiàng)；根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)以及線(xiàn)面平行的判定定理，可得出平面，平面，然后即可判定面面平行，得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知.又不垂直，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因?yàn)椴黄叫?，所以不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，根?jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知是正方形，所以，.根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平?因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由B知，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平面，故D項(xiàng)正確.故選：CD.19.某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列判斷正確的有（）A.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是B.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相是C.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次需要D.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)25次【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可判斷A；設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得，把點(diǎn)代入解析式可得，可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是，故A正確；對(duì)于B，設(shè)該函數(shù)解析式為，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得，可得，所以，所以，因?yàn)榘腰c(diǎn)代入解析式可得，所以，所以，若，則，故B正確；對(duì)于C，由B可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)次，故D正確故選：ABD.第II卷（非選擇題43分）（請(qǐng)考生在答題卡上作答）三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．20.已知虛數(shù)單位，計(jì)算________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，計(jì)算即可得出答案.【詳解】因?yàn)?故答案為：.21.已知函數(shù)，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式由內(nèi)向外計(jì)算即可.【詳解】，，.故答案為：1.22.已知向量，，且與的夾角為，則________．【答案】##【解析】【分析】先求向量與的數(shù)量積及和的模，再利用向量夾角公式即得．【詳解】向量，，所以，，，則，故答案為：．23.已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①，，；②，，．試給出函數(shù)的一個(gè)解析式：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知指數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足①；由②可知，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).所以可取，即可滿(mǎn)足.故答案為：.四、解答題：本題共3小題，共27分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．24.已知為第一象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）先利用（1）中結(jié)論求出，再利用誘導(dǎo)公式和正切的二倍角公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，且，所?小問(wèn)2詳解】由（1）知，又.25.如圖，三棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).可證明四邊形為平行四邊形，，然后即可根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得出證明；（2）在中，根據(jù)余弦定理求得.進(jìn)而在中，根據(jù)勾股定理得出.結(jié)合已知條件，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可得出平面.根據(jù)面積公式求出的面積，即可根據(jù)棱錐的體積公式得出答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，且，，，所以，且.所以，四邊形為平行四邊形，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平?【小問(wèn)2詳解】由已知可得，在中，有，，，根據(jù)余弦定理可知，，所以，.在中，有，所以，，.因?yàn)?，平面，平面，，所以，平?又，所以，.26.某地有農(nóng)村居民320戶(hù)，城鎮(zhèn)居民180戶(hù)．為了獲得該地居民的戶(hù)月均用水量的信息，采用分層抽樣的方法抽取得樣本，并觀測(cè)的指標(biāo)值（單位：），計(jì)算得農(nóng)村居民戶(hù)樣本的均值為，方差為，城鎮(zhèn)居民戶(hù)樣本的均值為，方差為．（1）根據(jù)以上信息，能否求出的均值和方差？說(shuō)明你的依據(jù)；（2）如果中農(nóng)村居民戶(hù)、城鎮(zhèn)居民戶(hù)的樣本量都是25，求的均值和方差；（3）能否用（2）的結(jié)論估計(jì)該地居民的戶(hù)月均用水量的均值和方差？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，請(qǐng)給出一個(gè)可以用來(lái)估計(jì)該地居民的戶(hù)月均用水量的均值和方差的樣本．【答案】（1）能，理由見(jiàn)解析（2）均值為，方差為（3）不能，樣本中農(nóng)村戶(hù)數(shù)為32，城鎮(zhèn)居民戶(hù)數(shù)為18【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣求出從農(nóng)村以及城鎮(zhèn)