2024學(xué)年北京市四中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年北京市四中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷2024年11月一、單選題（本大題共10小題）1．已知，，，若，則（

）A．5 B．4 C．1 D．2．已知直線，．若，則實(shí)數(shù)（）A．或 B．或 C．或 D．或3．直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為（）A． B． C． D．4．已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．5．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程是（）A． B．C． D．6．如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．在三棱錐中，平面，，，，則直線與平面所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．在正方體中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足與所成的角為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．3 C．4 D．6二、填空題（本大題共5小題）11．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為．12．圓被直線截得的弦長(zhǎng)為．13．在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由到兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)的距離之積等于的所有點(diǎn)組成的．對(duì)于曲線，有下列四個(gè)結(jié)論：①曲線是軸對(duì)稱圖形；②曲線是中心對(duì)稱圖形；③曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④點(diǎn)Px,y是曲線上的點(diǎn)，則．其中正確結(jié)論的編號(hào)為．三、解答題（本大題共6小題）16．已知圓C經(jīng)過，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓C經(jīng)過點(diǎn)的切線方程．17．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)求的面積．18．如圖，平面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．如圖，六面體中，四邊形為菱形，、、、都垂直于平面．若，．(1)求證：；(2)在棱（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)F作斜率為k（）的直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，求的值．21．設(shè)n為大于等于2的正整數(shù)，n個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組（）稱為上的n維向量．n維向量通常用希臘字母，，等表示．對(duì)于n維向量，，設(shè)，，定義內(nèi)積=．(1)已知，，，求，和；(2)求證：四個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)，五個(gè)三維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)；(3)若m個(gè)n（）維向量?jī)蓛蓛?nèi)積均為負(fù)數(shù)，求證：．

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：A.2．【答案】C【解析】利用兩條直線斜率之積為求解.【詳解】若，則，解得或.故選：C.3．【答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，將直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的傾斜角為，因此，直線的斜率為，故選：D.4．【答案】D【詳解】方程表示一個(gè)圓，則，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D5．【答案】A【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所求方程的橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以所求方程為.故選：A6．【答案】A【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】根據(jù)題意，.故選A.7．【答案】B【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0、、、、、、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，可得，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則，取，則，對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，且平面，則平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，D錯(cuò).故選：B.8．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，可得出，且有，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】由橢圓方程得，設(shè)，則，為橢圓上一點(diǎn)，，可得，且有，．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值.故選：B.9．【答案】C【詳解】在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由，得，而平面，平面，則，平面，則平面，又平面，因此平面平面，在平面上的射影為直線，即是直線與平面所成的角，由，得，在中，，.故選：C

10．【答案】B【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)，，，于是，整理得，顯然點(diǎn)不能在坐標(biāo)軸上，否則，當(dāng)時(shí)，，而，無解，即點(diǎn)不能在棱上；當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上；當(dāng)時(shí)，，若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上，所以可以在棱上，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3.故選：B11．【答案】2【詳解】由，，得，，由，得，即，即，解得，所以實(shí)數(shù)的值為2.故答案為：212．【答案】8【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以所求弦長(zhǎng)為.故答案為：813．【答案】【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，可得在直角中，可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.

14．【答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，.當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為.故答案為：.15．【答案】①②【詳解】設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則由題可得，即曲線的方程為，若在曲線上，則，①將代入可得，滿足方程，即曲線關(guān)于軸對(duì)稱，曲線是軸對(duì)稱圖形，故①正確；②將代入可得，滿足方程，即曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，故②正確；③由，可得，令，則，解得，此時(shí)點(diǎn)、、1,0在曲線內(nèi)，令，可得，可得，若，則，即點(diǎn)?1,1、0,1、在曲線內(nèi)，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、、也在曲線內(nèi)，綜上所述，曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個(gè)整點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④因?yàn)闈M足方程，在曲線上，但此時(shí)，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②.16．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓C的圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓C相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以圓C經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為或.17．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，所以，離心率.（2）由（1）知，直線的方程為，

由消去得：，解得，所以的面積.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以，平?（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)椋?，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t.（2）解：設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，因?yàn)椋瑒t是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，因?yàn)槠矫?，且，則，又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，因?yàn)椋矫?，平面，則平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，，同理，，故四邊形為平行四邊形，線段的中點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)也為，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，點(diǎn)到平面的距離為，，則，因?yàn)?，設(shè)，則，其中，，故在棱上不存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積等于三棱錐的體積.20．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，由離心率，得橢圓半焦距，因此，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由（1）知，直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線方程為，令，得，，而，所以.21．【答案】(1)，，.(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1），，.（2）先證命題：四個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù).不妨設(shè)，，，，若存在，則有，那么命題得證，若任意，，由抽屜原理知中必存在兩個(gè)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)，則又因?yàn)?，所?命題得證.再證命題：五個(gè)三維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù).不妨設(shè)，，，若存在，則，命題得證，若任意，，考慮4個(gè)二維向量，由4個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，又，則，