《振動(dòng)力學(xué)（第三版）》課件 第3章 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 1

振

動(dòng)

力

學(xué)

電子課件第三章

兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（1）3.1兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例子：汽車的振動(dòng)上式是一個(gè)二階線性齊次微分方程組兩個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程令上列方程組的解為其中：A、B是振幅；ω為角頻率將上式代入整理后得系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，方程具有非零解則方程的系數(shù)行列式必須等于零－－頻率行列式－－系統(tǒng)的本征方程，稱為頻率方程整理得其中第一根較小，稱為第一固有頻率。其中第二根較大，稱為第二固有頻率。結(jié)論兩個(gè)自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率，這兩個(gè)固有頻率只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于頻率的振幅為對(duì)應(yīng)于頻率的振幅為其中和為比例常數(shù)對(duì)應(yīng)于第一固有頻率的振動(dòng)稱為第一主振動(dòng)它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為對(duì)應(yīng)于第二固有頻率的振動(dòng)稱為第二主振動(dòng)它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為各個(gè)主振動(dòng)中兩個(gè)物塊的振幅比圖b表示在第一主振動(dòng)中振動(dòng)形狀稱為第一主振型圖c表示在第二主振動(dòng)中振動(dòng)形狀稱為第二主振型圖c中的點(diǎn)C是始終不振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)而與振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)因此主振型也叫固有振型.自由振動(dòng)微分方程的全解為第一主振動(dòng)與第二主振動(dòng)的疊加即其中包含4個(gè)待定常數(shù)它們應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的4個(gè)初始條件確定例1已知：均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，由兩個(gè)剛度系數(shù)皆為k的彈簧對(duì)稱支承。求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：此時(shí)細(xì)桿的質(zhì)心坐標(biāo)為（a）細(xì)桿繞質(zhì)心C的微小轉(zhuǎn)角（b）列出細(xì)桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程將式（a）和式（b）代入上兩式注意則可整理為（c）其中只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時(shí)可取振動(dòng)的初始角θ=0而設(shè)式（c）的解為（d）將上式代入式（c）消去得（e）（f）當(dāng)時(shí)為使式（e）中兩個(gè)方程都滿足這是對(duì)應(yīng)于直桿上下平動(dòng)的固有振型當(dāng)時(shí)為使式（e）中兩個(gè)方程都滿足這是對(duì)應(yīng)于質(zhì)心不動(dòng)而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的固有振型如果直接取質(zhì)心位移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)的兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)則直桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為（g）上式是對(duì)和互相獨(dú)立的兩個(gè)微分方程系統(tǒng)的兩個(gè)固有振型隨同質(zhì)心的平移位移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移和稱為此系統(tǒng)的兩個(gè)主坐標(biāo)例2求：小車和重物的運(yùn)動(dòng)。已知：如圖起重機(jī)小車，在質(zhì)心A處用繩懸掛一重物B，設(shè)繩和彈簧質(zhì)量均忽略不計(jì)。當(dāng)小車連同重物B以勻速度碰上緩沖器后。左側(cè)彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為k=852.6kN/m，其質(zhì)量為其質(zhì)量為解：應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程視小車和重物為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)則系統(tǒng)動(dòng)能為其中廣義坐標(biāo)：小車的水平位移x

繩AB偏離鉛直的角度系統(tǒng)的勢(shì)能等于彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能的和偏角很小，并略去如下線性微分方程組（a）設(shè)上述方程組的解為（b）將所設(shè)解（b）代入式（a）中并令（c）頻率方程為或令代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率為系統(tǒng)的兩個(gè)主振動(dòng)為（d）系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律為（e）現(xiàn)在來(lái)確定4個(gè)數(shù)值將式（e）取一階導(dǎo)數(shù)得（f）初始條件：t=0時(shí)將它們代入式（e）和（f）中解得因此,小車和重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)·動(dòng)力減振器如圖所示是一個(gè)無(wú)阻尼系統(tǒng)在主質(zhì)量上作用有激振力小質(zhì)量以剛度系數(shù)為的彈簧與主質(zhì)量連接可用來(lái)減小的振動(dòng)，稱為動(dòng)力減振器。－－相對(duì)平衡位置的位移－－相對(duì)平衡位置的位移建立兩個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)微分方程為令則上式可簡(jiǎn)化為設(shè)上述方程一組特解為式中A和B為和的振幅是待定常數(shù)解上述代數(shù)方程組得下面分析受迫振動(dòng)的振幅與激振頻率之間的關(guān)系（1）當(dāng)激振頻率時(shí)周期表示激振力變化及其緩慢，實(shí)際上相當(dāng)于靜力作用－－力幅H的作用下主質(zhì)量的靜位移（2）系統(tǒng)的頻率方程為由此可解得系統(tǒng)的固有頻率和所以當(dāng)激振頻率或時(shí)振幅A和B都成為無(wú)窮大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。由此可見兩個(gè)自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振頻率。（3）即二物塊振幅之比與干擾力頻率有關(guān)不再是自由振動(dòng)的主振型。當(dāng)或時(shí)或當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生各階共振時(shí)，受迫振動(dòng)是各階主振型。利用實(shí)驗(yàn)測(cè)固有頻率和固有振型。設(shè)如圖所示系統(tǒng)中，其中是沒有時(shí)主質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率實(shí)例：振幅比αβ隨頻率比變化的關(guān)系曲線如圖所示即激振力頻率等于減振器本身的固有頻率時(shí)振幅A=0而振幅B=但與激振力反相位此時(shí)質(zhì)量振動(dòng)而主質(zhì)量不動(dòng)，故稱為動(dòng)力減振如果一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)頻率不變的激振力作用而發(fā)生振動(dòng)，則可在這振動(dòng)系統(tǒng)上安裝一個(gè)動(dòng)力減振器來(lái)減小甚至消除這種振動(dòng)。－－無(wú)阻尼減振器有阻尼動(dòng)力減振器它的減振作用主要是靠阻尼元件在振動(dòng)過(guò)程中，吸收振動(dòng)能量來(lái)達(dá)到減振的目的。此外還有沖擊減振器如圖所示例4－17已知：電機(jī)的轉(zhuǎn)速為1500r/min，由于轉(zhuǎn)子不平衡使機(jī)殼發(fā)生較大的振動(dòng)，為減少機(jī)殼的振動(dòng)，機(jī)殼上安裝數(shù)個(gè)如圖的動(dòng)力減振器，該減振器由一鋼制圓截面彈性桿和兩個(gè)安裝在桿兩端重塊組成，桿的中部固定在機(jī)殼上，重塊到中點(diǎn)的距離l可用螺桿來(lái)調(diào)節(jié)，重塊質(zhì)量為m=5kg，圓桿的直徑D=20mm。問：重塊距中點(diǎn)的距離l