江蘇省無錫市經(jīng)開區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

江蘇省無錫市經(jīng)開區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷分試題和答題卡兩部分，所一律寫在答題卡上．考試時(shí)間為120分鐘．試卷滿分150分．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知，則的值是（）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定4．已知的半徑是8，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓內(nèi) B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓外 D．無法確定5．如圖，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．平分 D．是、的比例中項(xiàng)6．今年是新中國(guó)成立75周年，國(guó)慶檔電影《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》展現(xiàn)了打不垮的英雄鐵軍，燃不盡的奮勇志氣，第一天當(dāng)日票房約為1億元，如果每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，第三天當(dāng)日票房約為2億元，方程可以列為（）A． B． C． D．7．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比為，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比是（）A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．外心和重心重合的三角形是等邊三角形C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等D．過三點(diǎn)一定可以畫一個(gè)圓9．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，，連接，，相交于點(diǎn)O，則面積最大值為（）A． B． C．3 D．10．如圖，正方形中，，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，邊上運(yùn)動(dòng)，始終滿足，連接、交于點(diǎn)G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)體育代表團(tuán)以40金27銀24銅位于金牌榜并列第一、獎(jiǎng)牌榜第二，在比例尺為的地圖上，無錫到巴黎的長(zhǎng)度約為，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為________．12．如圖，是的弦，半徑，點(diǎn)D在上，且，則________．13．關(guān)于y的一元二次方程有一個(gè)根是2，則這個(gè)一元二次方程可以是________．（寫出一個(gè)即可）14．在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是，，的中點(diǎn)，則的外接圓半徑為________．15．下列命題中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圓都相似，正確命題的有________．（填序號(hào)）16．《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問題中的竿長(zhǎng)是________尺．17．若一元二次方程的兩根為，，則方程的兩根為________．18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在外，且此時(shí)，則稱點(diǎn)C是弦的“點(diǎn)”．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，在點(diǎn)，，中，點(diǎn)________是弦的“點(diǎn)”；若點(diǎn)F是弦的“點(diǎn)”，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為________．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題滿分16分）解方程：（1）； （2）；（3）； （4）．20．（本題滿分8分）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若、是方程的兩根，且，求m的值．21．（本題滿分8分）如圖，在中，E為邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，，，求對(duì)角線的長(zhǎng)．22．（本題滿分8分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）將向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；（2）以點(diǎn)O為位似中心，將放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），得到，在所給的網(wǎng)格中畫出；（3）若點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過（1）、（2）兩次變換，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是________．（用含a，b的代數(shù)式表示）23．（本題滿分8分）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進(jìn)行求解．例如，①換元法求解四次方程：設(shè)，則原方程可變?yōu)?，解得，，?dāng)時(shí)，即，∴；當(dāng)時(shí)，即，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．②因式分解法求解三次方程：將其變形為；∴，∴，∴，∴，∴或，∴原方程有三個(gè)根：，，（1）仿照以上方法解方程：①；②；（2）已知：，且，則的值為________．24．（本題滿分8分）如圖，已知銳角中，．（圖1）（圖2）（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的角平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母）（2）在（1）的條件下，若，，則的半徑為________．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）25．（本題滿分10分）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．26．（本題滿分10分）2024年4月23日是第二十九個(gè)世界讀書日，第三屆全民閱讀大會(huì)在昆明如期舉行，共建書香社會(huì)，共享現(xiàn)代文明，學(xué)校積極響應(yīng)“最是書香能致遠(yuǎn)”，計(jì)劃購(gòu)買文學(xué)和科普兩類圖書．已知文學(xué)類圖書每本50元，科普類圖書每本40元．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，商家決定對(duì)文學(xué)類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)：若不超過50本，按每本50元價(jià)格銷售；若超過50本，每增加2本，單價(jià)降低1元，但單價(jià)不得低于30元（即超過一定的購(gòu)買數(shù)量后，單價(jià)保持30元不變）．（1）如果每本文學(xué)類圖書的單價(jià)是30元，則至少購(gòu)買文學(xué)類圖書________本；（2）如果學(xué)校購(gòu)進(jìn)兩類圖書共100本，用去購(gòu)書款4300元，求購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書多少本？27．（本題滿分10分）【問題背景】2021年7月，第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在中國(guó)上海召開，其會(huì)標(biāo)（如圖1）設(shè)計(jì)的基本思想來自《河圖》，會(huì)標(biāo)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，請(qǐng)觀察、思考、探究：【觀察】如圖2，《河圖》是中華文明之源，由1、2、310這10個(gè)自然數(shù)排列而成，“十”字形布局中，橫向上的5個(gè)數(shù)（8、3、10、4、9）之和為34，縱向上的5個(gè)數(shù)（7、2、5、1、6）之和為21，這兩個(gè)數(shù)字是相鄰的斐波那契數(shù)（斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55），該數(shù)列隨著項(xiàng)數(shù)增大，相鄰兩數(shù)的比越接近黃金比，因而又被稱為黃金分割數(shù)列．請(qǐng)直接寫出該黃金分割數(shù)列中第13個(gè)數(shù)為________．【思考】會(huì)標(biāo)右下方“ICME—14”下面的“卦”是中國(guó)古代某個(gè)數(shù)進(jìn)制（正整數(shù)進(jìn)制且十進(jìn)制以內(nèi)）的計(jì)數(shù)符號(hào)表示為3745，換算成十進(jìn)制數(shù)為2021，即表示開會(huì)年份，請(qǐng)通過計(jì)算說明，此“卦”是幾進(jìn)制？（例如：二進(jìn)制數(shù)1101，逢2進(jìn)1，只有1和0兩個(gè)數(shù)字組成，換算成十進(jìn)制為：．）【探究】會(huì)標(biāo)中心的弦圖是三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽給出勾股定理的一個(gè)絕妙證明．如圖3，在由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形中，，點(diǎn)E是的黃金分割點(diǎn)，求正方形與正方形的面積之比．（圖1）（圖2）（圖3）28．（本題滿分10分）【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，將其中一張紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．如圖1，已知直角三角形紙片和中，，，．【感知】（1）如圖，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，若連接，，求的值．【探究】（2）在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在的中線上時(shí)，求的長(zhǎng)．【拓展】（3）在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，試探究與能否相似，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．答案及評(píng)分說明一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）1-5：CBAAB 6-10：CDBAD二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11．9150． 12．50． 13．答案不唯一，如．14．． 15．③④． 16．10．17．，． 18．D，．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（1） （2分） （2） （2分）∴，． （4分） ∴，． （4分）（3） （2分） （4） （2分）∴，．（4分） ∴，． （4分）20．（1）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴， （2分）∴且． （4分）（2）∵、是方程的兩根，∴，， （6分）∵，∴，∴， （7分）∴經(jīng)檢驗(yàn)，m的值為． （8分）21．（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， （1分）∴，， （3分）∴． （4分）（2）可得：， （5分）∵，∴， （6分）∴，． （8分）22．（1）如圖； （2分）（2）如圖； （5分）（3） （8分）23．（1）①設(shè)，則原方程可變?yōu)椋獾?，?（1分）當(dāng)時(shí)，即，∴無解（舍去）；當(dāng)時(shí)，即，∴，，∴原方程有兩個(gè)根：，． （3分）②將其變形為：；∴，∴，∴，∴，∴或， （5分）∴原方程有三個(gè)根：，，． （6分）（2）． （8分）24．（1）作角平分線交于點(diǎn)D， （2分）作（或）垂直平分線交于點(diǎn)O， （4分）以點(diǎn)O為圓心、為半徑作． （5分）（2）． （8分）25．（1）∵，∴， （2分）∵，∴，∴， （4分）又∵，∴． （5分）（2）連接，∵是的直徑，∴， （6分）設(shè)，∵，∴，∵，∴， （7分）∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴， （9分）∴ （10分）26．（1）90； （3分）（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書x本，①當(dāng)時(shí)，，∴； （5分）②當(dāng)時(shí)，，∴（不符合題意，舍去），； （8分）③當(dāng)時(shí)，，∴（不符合題意，舍去）； （9分）答：購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書30本或60本． （10分）27．（1）233； （3分）（2）設(shè)此“卦”是x進(jìn)制，由題意可得，且x為正整數(shù)，∴