廣東省清遠(yuǎn)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.2.已知集合，，，則（）A.B.C.D.3.已知為定義在上的偶函數(shù)，則的解析式可以為（）A.B.C.D.4.古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子依據(jù)實(shí)際面積定價(jià)，每平方米200元，小張要買(mǎi)的鏡子的外輪廓是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.8米且離心率為的橢圓，則小張要買(mǎi)的鏡子的價(jià)格約為（）A.1356元B.341元C.339元D.344元5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)，則的取值集合為（）A.B.C.D.6.在三棱錐中，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A.B.C.D.28.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，某地區(qū)欲建一個(gè)風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由和矩形組成，且，則該風(fēng)景區(qū)面積的最大值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得階段性成效，為深化了解該區(qū)的發(fā)展?fàn)顩r，現(xiàn)對(duì)該區(qū)兩企業(yè)進(jìn)行連續(xù)11個(gè)月的調(diào)研，得到兩企業(yè)這11個(gè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)折線圖（如下圖所示），下列說(shuō)法正確的是（）A.這11個(gè)月甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的平均數(shù)超過(guò)82%B.這11個(gè)月的乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的第70百分位數(shù)小于82%C.這11個(gè)月的甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定D.在這11個(gè)月中任選2個(gè)月，則這2個(gè)月乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)都小于82%的概率為10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位擅長(zhǎng)步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問(wèn)題，下列結(jié)論正確的是（）A.B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人有連續(xù)的三天共行走了三百九十里11.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的中心為，用過(guò)點(diǎn)的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為D.所得的截面可以是非正方形的菱形12.設(shè)，則（）A.B.C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，若，則___________.14.的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____________.15.已知為雙曲線上異于頂點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，寫(xiě)出滿意的焦距小于8且的的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：_____________.16.設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根且，則_______________，的最小值為_(kāi)____________________.（本題第一空2分，其次空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）分別為內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).18.（12分）2024年卡塔爾世界杯于北京時(shí)間11月20日在卡塔爾正式開(kāi)賽，該競(jìng)賽吸引了全世界億萬(wàn)球迷觀看.為了了解寵愛(ài)觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取200名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.男女合計(jì)寵愛(ài)看世界杯602080不寵愛(ài)看世界杯4080120合計(jì)100100200（1）試依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為寵愛(ài)觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)？（2）在寵愛(ài)觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人參與某電視臺(tái)的訪談節(jié)目，設(shè)參與訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為，求的分布列.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（12分）在四棱錐中，平面底面，底面是菱形，是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面B所成角的正弦值.20.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是公比為的等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.（12分）已知拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，且直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）若直線的方程為，求的面積；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，已知點(diǎn)是不同于的一點(diǎn)，若，，且均在拋物線上，證明：直線垂直于軸.22.（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為0.（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期中學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案1.D.2.B因?yàn)?，，所以，所?3.A因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，四個(gè)選項(xiàng)中，只有A滿意題意，故選A.4.C設(shè)鏡子的外輪廓對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)分別為米，米，則，解得，故小張要買(mǎi)的鏡子的價(jià)格為元.5.C由題意得，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，可得，故或8.6.A當(dāng)三棱錐為正三棱錐時(shí)，取的中點(diǎn)（圖略），連接，則，，因?yàn)锳E，所以平面，從而得，同理可得.當(dāng)時(shí)，易得，過(guò)作，垂足為，若，則可得平面，則，此時(shí)，三棱錐不是正三棱錐，故“三棱錐為正三棱錐”是“且”的充分不必要條件.7.C設(shè)的中點(diǎn)為，由，得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，即，即，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.8.A記，則，所以矩形的面積，又，所以風(fēng)景區(qū)面積，當(dāng)時(shí)，有最大值.9.AC由圖表可視察出A正確.由，可知這11個(gè)月乙企業(yè)的數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是從小到大排列的第8個(gè)數(shù)，為第7天的數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)大于82%，B錯(cuò)誤.由圖表可視察出C正確.這11天，乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)小于82%的有6天，大于82%的有5天，所求概率為，D錯(cuò)誤.10.BCD由題意設(shè)此人第一天走里，第天走里，是等差數(shù)列，，由，可得，則，，所以，所以A錯(cuò)誤，B，C正確.因?yàn)?，所以D正確.11.BCD一個(gè)平面去截正方體，考慮從正方體的上底面起先截人，不妨設(shè)上底面與截面的交線為線段，截取有兩種狀況，第一種是兩點(diǎn)分別在兩對(duì)邊上或兩相鄰邊上.第一種狀況，如圖1，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，易知所得截面為平行四邊形；其次種狀況，如圖2，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，易知所得截面為六邊形.A錯(cuò)誤，B正確.當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，正六邊形的邊長(zhǎng)為，它的面積為，C正確.若分別為，的中點(diǎn)，則截面為非正方形的菱形，D正確.12.ACD設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，即.記，則，易知在上單調(diào)遞減，所以，即，綜上，，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，記，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，故B錯(cuò)誤.記，則，當(dāng)時(shí)，，可得，則在上單調(diào)遞增.所以有，得，即，所以，故D正確.由前面可知，所以，故C正確.13.-3因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，故.14.60的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.15.（本題答案不唯一，只要的標(biāo)準(zhǔn)方程滿意（且）即可，設(shè)，則，則.又的焦距小于8，所以，即.16.-15；15作出的大致圖象，如圖所示.，其中因?yàn)椋?，則，其中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值是15.17.解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以，故?）因?yàn)?，，所以，整理得，解是（?fù)根舍去），所以.所以的周長(zhǎng)為16.18..解：（1）零假設(shè)為：.寵愛(ài)觀看世界杯與性別無(wú)關(guān)聯(lián).依據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為寵愛(ài)觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián).（2）依據(jù)分層抽樣的方式抽取8人，其中男觀眾6人，女觀眾2人，，，，所以的分布列為-20219.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?設(shè)，則，得.因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，故直線與平面所成角的正弦值為.20.解：（1）由及是公比為2的等比數(shù)列，得，則，則，可得，即，可得，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，則，故21.（1）解：（方法一）設(shè)，由題知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，聯(lián)立，消去，得，所以所以的面積.（方法二）設(shè)，由題知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，聯(lián)立，得，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.（（2）證明：設(shè)，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，同理可得，因?yàn)榫趻佄锞€上，所以，可得為方程的兩個(gè)不同實(shí)根，即為方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以，則得線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)也為，所以直線垂直于軸.22.解：（1