四川省宜賓市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)月考試試題含解析

Page172024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)月考試本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合中的一元二次不等式，取交集即可.【詳解】由得，，而，所以.故選：A2.滿意的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的奇函數(shù)，解除答案A、C，又當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故解除答案B，應(yīng)選答案D．4設(shè)，則（）A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入可得選項(xiàng).【詳解】∵，∴，故選：D.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩個(gè)不等式的的取值范圍，依據(jù)的取值范圍推斷充分必要性.【詳解】等價(jià)于，解得：；等價(jià)于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B6.已知偶函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于為偶函數(shù)，所以，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，再利用在上是增函數(shù)，可比較，，的大小【詳解】解；由題意為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，故，故選：C7.1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在探討天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)方法；1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)．若，，則的值約為（）A.2.301 B.2.322 C.2.507 D.2.699【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指對(duì)數(shù)互化公式得，再結(jié)合換底公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：由指對(duì)數(shù)互化公式得故選：B8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明，可得，構(gòu)造函數(shù)可得是奇函數(shù)，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可推斷在上單調(diào)遞增，所解不等式等價(jià)于，可得，即可求解.【詳解】即，所以，設(shè)，則，可得是奇函數(shù).因?yàn)楹投际窃龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，所以，整理得：，解得：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是計(jì)算出，構(gòu)造函數(shù)是上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，原不等式等價(jià)于，依據(jù)奇偶性和單調(diào)性脫掉即可求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)，并結(jié)合為銳角求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，即所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，所以故選：ABD10.若，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于函數(shù)是增函數(shù)，所以當(dāng)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.的周期為 B.的定義域?yàn)镃. D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)正切函數(shù)的周期性、定義域、單調(diào)性和特別角的正切值依次推斷選項(xiàng)即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；，，所以，故C正確；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)想，x，y滿意，且，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為R上的減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法確定ABC選項(xiàng)的正確性，依據(jù)奇偶性的定義推斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，且，令，得，故A選項(xiàng)正確.令，則，即，令，得，即，故B選項(xiàng)正確.由于，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，得，即，即，所以為奇函數(shù)，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】先求，再代入求，求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，即，又，且，所以.故答案為：14.若，則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，可得.故答案為：15.已知實(shí)數(shù)滿意，，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意，，代入得；整理得在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，即，解得.考點(diǎn)：1.構(gòu)造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.16.已知函數(shù)，g（x）＝x2-2x，若，，使得f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[0，1]【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，，使得f（x1）＝g（x2），等價(jià)于，解不等式即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，，使得f（x1）＝g（x2），則，可得：，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值域，考查了恒成立和存在性問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化思想，有肯定的計(jì)算量，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．①的最小正周期為，且是偶函數(shù)；②圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，且；③直線與直線是圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸，且．問(wèn)題：已知函數(shù)，若______．（1）求，的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）選①由周期確定由偶函數(shù)結(jié)合兩角和的正弦得推出；選②由相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，得由得推出；選③由相鄰對(duì)稱軸得，由得（2）由圖像平移伸縮得利用整體法求單調(diào)區(qū)間再賦值求交集即可【小問(wèn)1詳解】選條件①：（1）∵的最小正周期為，∴，∴．又是偶函數(shù)，∴對(duì)恒成立，∴對(duì)恒成立，∴，∴．又，∴．選條件②：∵函數(shù)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，∴，∴．又，∴，即，∴，又，∴．選條件③：∵直線與直線是圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸，∴，即，∴．又．∴，∴，又，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）無(wú)論選擇①②③均有，，，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，將的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．由，得，∵，∴，∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間是．18.已知函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)韋達(dá)定理求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.【詳解】（1）由題意得，1是方程的根，由韋達(dá)定理得，所以，又，解得．所以，．（2）由題意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.如圖，長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)分別在線段（含端點(diǎn)）上，為中點(diǎn)，，設(shè).（1）求角的取值范圍；（2）求出周長(zhǎng)關(guān)于角的函數(shù)解析式，并求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2），，周長(zhǎng)的取值范圍為【解析】【分析】（1）結(jié)合圖像可得當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，角取最大值，點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取最大值，角取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在中，求出，在中，求得，在中，依據(jù)勾股定理得，從而可得，通分可得，令，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，角取最大值，此時(shí)，因?yàn)椋援?dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取最大值，角取最小值，此時(shí)，所以故所求的取值集合為（2）在中，，，所以在中，，，所以在中，有勾股定理得因?yàn)?，所以，所以所以，令，則所以因?yàn)?，，所以所以所以周長(zhǎng)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的在平面幾何中的應(yīng)用，主要考查了協(xié)助角公式以及換元法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.20.已知一次函數(shù),且,設(shè)．（1）求函數(shù);（2）設(shè)函數(shù),求函數(shù)在上的最大值的表達(dá)式;【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式,依據(jù)代入用待定系數(shù)法即可確定解析式,進(jìn)而求出解析式;(2)由(1)得解析式,代入中,畫(huà)出圖像,依據(jù)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)進(jìn)行分類探討,分別求出的表達(dá)式即可.【小問(wèn)1詳解】解:由題知,不妨設(shè)；【小問(wèn)2詳解】由題知,，其圖像如圖所示,當(dāng)時(shí)依據(jù)圖像得：（i）當(dāng)時(shí),；（ii）當(dāng)時(shí),；（iii）當(dāng)時(shí),.綜上有:.21.2009年某市某地段商業(yè)用地價(jià)格為每畝60萬(wàn)元，由于土地價(jià)格持續(xù)上漲，到2024年已經(jīng)上漲到每畝120萬(wàn)元．現(xiàn)給出兩種地價(jià)增長(zhǎng)方式，其中是按直線上升的地價(jià)，是按對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的地價(jià)，t是2009年以來(lái)經(jīng)過(guò)的年數(shù)，2009年對(duì)應(yīng)的t值為0．（1）求，的解析式；（2）2024年起先，國(guó)家出臺(tái)“穩(wěn)定土地價(jià)格”的相關(guān)調(diào)控政策，為此，該市要求2025年的地價(jià)相對(duì)于2024年上漲幅度限制在10%以內(nèi)，請(qǐng)分析比較以上兩種增長(zhǎng)方式，確定出最合適的一種模型．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），；，（2）分析比較見(jiàn)解析；應(yīng)當(dāng)選擇模型【解析】【分析】（1）由，求得；由，求得；（2）分別由，，，算出直線和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的增長(zhǎng)率與10%比較即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題知：，，所以，解得：，所以，；又，，所以，解得：，所以，；【小問(wèn)2詳解】若依據(jù)模型，到2025年時(shí)，，，直線上升的增長(zhǎng)率為，不符合要求；若依據(jù)模型，到2025年時(shí)，，，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的增長(zhǎng)率為，符合要求；綜上分析，應(yīng)當(dāng)選擇模型．22.已知函數(shù)，其中（1）若是定義在上的奇函數(shù).①求的值；②推斷內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）①；②單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）①利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，然后解方程求；②利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）將證明不等式成立轉(zhuǎn)化為證明成立，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性得到，然后分，和三種狀況探討的大小，得到，即可證明成立.【小問(wèn)1詳解】①因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)