第3章 投影與三視圖 章末重難點檢測卷-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）（解析版）

第3章投影與三視圖章末重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)衢州瑩白瓷的直口杯，它的主視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)視圖的意義，從正面看所得到的圖形即可．【詳解】解：該直口杯的主視圖為故選：D．【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．2．（2023下·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖是由4個大小相同的立方體組成的幾何體，在這個幾何體的三視圖中，完全相同的視圖是（

）

A．主視圖和左視圖 B．左視圖和俯視圖C．主視圖和俯視圖 D．主視圖、左視圖和俯視圖【答案】A【分析】根據(jù)三視圖的定義即可解答．【詳解】解：這個幾何體的主視圖和左視圖相同，均為底層是兩個小正方形，上層的左邊是應(yīng)該小正方形；它的俯視圖的底層是一個小正方形，上層是兩個正方形．故選：A．【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，理解主視圖、左視圖、俯視圖的意義是正確判斷的前提．3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：圓錐的側(cè)面積為：，故選：D．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式：圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長．4．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，是由4個完全相同的小正方體組成的幾何體，現(xiàn)移動1號小正方體，使其與剩下的三個小正方體至少共一個面且移動前后的幾何體的左視圖不變，則移動的方法有（

）種．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)左視圖不變，分別移動1，2，3三個小正方形中的一個得出結(jié)論即可．【詳解】解：如圖，由題意可得，移動1后，使移動前后的幾何體的左視圖不變，則1可以放在3的后面，2的前面或后面，即1有3種移動方法，故選：C．

【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握左視圖是從物體的左側(cè)觀察所得的圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個球體在長方體上沿虛線從左向右滾動，在滾動過程中，球體與長方體的組合圖形的視圖始終不變的是（

）A．左視圖 B．主視圖 C．俯視圖 D．左視圖和俯視圖【答案】A【分析】分別根據(jù)左視圖、主視圖和俯視圖進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在滾動過程中主視圖會發(fā)生變化；在滾動過程俯視圖會發(fā)生變化；在滾動過程左視圖不會發(fā)生變化；故選：A．【點睛】本題考查三視圖，解題的關(guān)進(jìn)是掌握三視圖的相關(guān)知識．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點是一個光源，木桿兩端的坐標(biāo)分別是，，則木桿在x軸上的投影的長是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別求得直線的解析式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，，，設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為：，∴解得：，∴，中，當(dāng)時，，則,中，當(dāng)時，，則∴，故選：B．【點睛】本題考查了中心投影，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，從一個邊長是10的正五邊形紙片上剪出一個扇形（陰影部分），將剪下來的扇形圍成一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為（

）A．1 B．3 C． D．2【答案】B【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面半徑．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，則弧的長為，即圓錐底面周長為，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，∴，圓錐底面半徑為，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形與圓，扇形弧長及圓錐底面半徑，掌握扇形弧長、圓周長的計算方法是正確解決問題的關(guān)鍵．8．（2022下·浙江湖州·九年級校聯(lián)考期中）已知一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的側(cè)面積為（

）A．9π B．10π C．12π D．20π【答案】B【分析】幾何體為圓錐，故其側(cè)面積為πr，結(jié)合三視圖，判定r=2，=5，代入公式計算即可．【詳解】根據(jù)題意得：該幾何體是圓錐，底面半徑r=2，=5，∴側(cè)面積為πr=2×5×π=10π，故選B．【點睛】本題考查了三視圖，圓錐的側(cè)面展開圖，側(cè)面積，熟練掌握常見幾何體的三視圖，熟記圓錐的側(cè)面積計算公式是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）已知圓錐底面半徑為1，母線長為4，地面圓周上有一點A，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動一周后到達(dá)母線PA中點B，則螞蟻爬行的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，連接AB，根據(jù)展開所得扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長求得扇形的圓心角，進(jìn)而解三角形即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，則線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．∵點B是母線PA的中點，，∴，∵圓錐的底面圓的周長=扇形的弧長，又∵圓錐底面半徑為1，∴扇形的弧長=圓錐底面周長，即，扇形的半徑=圓錐的母線=PA=4，由弧長公式可得：∴扇形的圓心角，在Rt△APB中，由勾股定理可得：，所以螞蟻爬行的最短路程為，故選：C．【點睛】.本題考查平面展開--最短路徑問題、圓的周長計算公式、弧長計算公式，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是“化曲為直”，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．10．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點、在上，．已知點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著向點移動，到達(dá)點后停止移動，在點移動過程中作如下操作：先以點為圓心，、的長為半徑分別作兩個圓心角均為60°的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面．設(shè)點的移動時間為（秒）．兩個圓錐的底面面積之和為．則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，先求出，，然后利用再求出圓錐的底面積進(jìn)行計算，即可求出函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵，，且已知點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著向點移動，到達(dá)點后停止移動，則，∴，∴，由的長為半徑的扇形的弧長為：∴用的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為∴其底面的面積為由的長為半徑的扇形的弧長為：∴用的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為∴其底面的面積為∴兩者的面積和∴圖像為開后向上的拋物線，且當(dāng)時有最小值；故選：D．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇所學(xué)的知識，正確的求出函數(shù)的表達(dá)式．二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）若圓錐的母線長為，其側(cè)面積為，則圓錐底面半徑為．【答案】3【分析】本題考查了求圓錐底面半徑，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式即可求解，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)底面半徑為，依題意得：，解得：，則圓錐底面半徑為，故答案為：3．12．（2023上·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的是從不同方向觀察一個長方體得到的視圖，則左視圖的面積為．【答案】10【分析】此題考查了由三視圖判斷幾何體，根據(jù)題意得出左視圖的長與寬是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)主視圖與俯視圖的長度，得到左視圖的長與寬，即可求出面積．【詳解】解：根據(jù)題意得：主視圖的長為5，寬為3，俯視圖的寬為2，則左視圖的長為5，寬為2，面積為．故答案為：10．13．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）王英站在距離路燈5米遠(yuǎn)處時，在該路燈燈光下的影長為2米，當(dāng)她逐漸靠近路燈，站在距離路燈不到5米遠(yuǎn)的位置時，她在該路燈燈光下的影長可能為米．（寫出一個正確結(jié)果即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)投影的性質(zhì)特點，王英靠近路燈時，她在路燈下的影長會逐漸變短，即可求解．本題考查了投影的性質(zhì)特點，熟練掌握投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)王英靠近路燈時，她在該路燈燈光下的影長會逐漸變短，所以，她在該路燈燈光下的影長可能為米．（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）14．（2023上·黑龍江大慶·七年級大慶市第六十九中學(xué)校考期末）一個用小正方體搭成的幾何體，如圖是從它的兩個不同方向看到的形狀，要符合這兩個條件，最少需要擺塊．【答案】8【分析】本題主要考查了從不同方向觀察物體和幾何體，觀察圖形可知，這個圖形下層是6塊小正方體，上層左面2列每列至少有1塊正方體，據(jù)此即可解答問題．【詳解】由上面觀察幾何體可知最少需要6個正方體，從正面觀察幾何體上層至少需要2個正方體，所以（塊），答：最少需要擺8塊．故答案為：8．15．（2023上·山東泰安·九年級東平縣實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度為：；且此時測得米桿在地面上的影長為米，則電線桿的高度為米．【答案】【分析】本題考查的是平行投影，坡度的含義，如圖，延長與的延長線交于過作于利用坡度先求解再利用同一時刻物高與影長成比例求解從而可得答案.【詳解】解：如圖，延長與的延長線交于過作于設(shè)則因為同一時刻測得1米桿在地面上的影長為2米，而同理可得：故答案為：16．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當(dāng)太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當(dāng)水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為°．（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應(yīng)的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關(guān)系式．【答案】【分析】（1）根據(jù)水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；（2）過點作于點，證明，根據(jù)平行投影證明，根據(jù)，得出即可．【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，∴當(dāng)水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據(jù)題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，∴，∴，∴，∴，根據(jù)平行投影可知，當(dāng)12點時，點在水平方向的投影為點E，經(jīng)過n小時后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平移投影的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮空間想象能力，根據(jù)平行投影得出．三、解答題(本大題共7小題,共66分)17．（2023上·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期中）如圖，是由一些大小相同的小正方體組合成的簡單幾何體，請分別畫出從正面、左面和上面觀察該幾何體看到的形狀圖．【答案】見解析【分析】本題考查作圖：三視圖，把從正面、左面、上面看到的圖分別畫出來即可．【詳解】18．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是某幾何體的三視圖，其俯視圖是邊長為的菱形．(1)該幾何體的名稱是______；(2)請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算該幾何體的所有側(cè)面的面積之和．【答案】(1)四棱柱(2)【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀以及幾何體側(cè)面積的求解，注意計算的準(zhǔn)確性．（1）由三視圖即可判斷；（2）由俯視圖是菱形可知側(cè)面是全等的矩形，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：由三視圖可知該幾何體是四棱柱故答案為：四棱柱（2）解：∵四棱柱的底面是邊長為的菱形，∴側(cè)面是全等的矩形，∴四棱柱所有側(cè)面的面積之和為．19．（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，和是直立在地面上的兩根立柱（即均與地面垂直），已知，某一時刻在太陽光下的影子長．(1)在圖中畫出此時在太陽光下的影子；(2)在測量的影子長時，同時測量出的影長，計算的長．【答案】(1)圖見解析(2)【分析】此題主要考查了平行投影，利用同一時刻物高與影長的比值相等列出比例式求解是解題關(guān)鍵．（1）利用平行投影的性質(zhì)得出即可；（2）利用同一時刻物體影子與實際高度的比值相等進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）如圖所示：即為所求；（2）由題意可得：，∴解得：，答：的長為．20．（2021上·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）在平整的地面上，有若干個完全相同棱長為1的小正方體堆成一個幾何圖所示.(1)請畫出這個幾何體的三視圖.(2)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加______個小正方體.(3)如果需要給原來這個幾何體表面噴上紅漆，則噴漆面積是多少？【答案】(1)畫圖見解析；(2)4；(3)32【分析】（1）根據(jù)三視圖的畫法，畫出從正面、左面、上面看到的形狀即可；（2）俯視圖和左視圖不變，構(gòu)成圖形即可解決問題；（3）求出這個幾何體的表面積即可解決問題．【詳解】（1）這個幾何體有10個立方體構(gòu)成，三視圖如圖所示；（2）（2）在第二層第二列第二行和第三行各加一個；第三層第二列第三行加一個，第三列第三行加1個，（個），故最多可再添加4個小正方體，故答案為：4；（3）這個幾何體的表面有38個正方形，去了地面上的6個，32個面需要噴上紅色的漆，∴表面積為32，故噴漆面積為32．【點睛】本題考查了三視圖的畫法，主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示，注意涂色面積指組成幾何體的外表面積．21．（2022上·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結(jié)BC，根據(jù)∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）物體在太陽光照射下，影子的長度與時間變化直接相關(guān)．小明在某天的8點至16點之間，測量了一根米長的直桿垂直于地面時的影子長度，發(fā)現(xiàn)影子長度y與時間之間近似二次函數(shù)關(guān)系，可滿足關(guān)系式．已知該天11點時影子長度為1．31米，12點時影子長度為1．08米．

(1)請確定a，c的值．(2)如圖，太陽光線和與地面之間的夾角為，求14點時的值．(3)若另有一垂直于地面的旗桿長度為米，請確定該天9點至14點間這根旗桿影子長度m的范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得時，，再利用正切函數(shù)即可求解；（3）先求得時，函數(shù)的最大值和最小值，再相似比即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，代入函數(shù)解析式得，把，代入函數(shù)解析式得，即，解得．（2）解：由（1）得函數(shù)解析式為，把代入得，則．（3）解：∵，∴當(dāng)時，y取得最小值，，當(dāng)時，y取得最大值，，

∵旗桿與直桿的長度比為，∴，∴m的取值范圍為，即．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正切函數(shù)的定義，相似比的意義，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．23．（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖1所示的是一戶外遮陽傘支架張開的狀態(tài)，圖1可抽象成圖2，在圖2中，點A可在BD上滑動，當(dāng)傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在處，點C落在處，，，．(1)BD的長為______．(2)如圖2，當(dāng)時．①求的度數(shù)；（參考數(shù)據(jù)：，，，）②求傘能遮雨的面積（傘的正投影可以看作一個圓）．【答案】(1)250cm(2)①35°；②【分析】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在處，點C落在處，可得，代入數(shù)據(jù)求解即可；（2）①過點作，根據(jù)，可得，根據(jù)，，即可求解；②根據(jù)題意可知，則，根據(jù)求得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)正投影是一個圓，根據(jù)圓的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵當(dāng)傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在處，點C落在處，可得∴cm（2）①如圖，過點作cm，cm，②如圖，連接，過點作，根據(jù)題意可知傘能遮雨的面積為【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正投影，理解題意是解題的關(guān)鍵．24．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）根據(jù)信息，完成活動任務(wù)．活動一

探究某地正午太陽光下長方體高度與影子的關(guān)系．如圖1是長方體在正午陽光下投影情況，圖2是圖1的俯視圖，通過實驗測得一組數(shù)據(jù)如下