2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題（2易錯7題型）（解析版）

通關(guān)秘籍07銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題（2易錯7題型）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

■（中考預(yù)測

銳角三角形函數(shù)值題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R

殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，運(yùn)算和實(shí)際問題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須提高運(yùn)算能力。

2.從題型角度看，以解答題的第五題或第六題為主，分值8分左右，著實(shí)不少！

■（誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯點(diǎn)一含銳角三角形值求值

【例1】（2024?廣東深圳?一模）計(jì)算：（J-2cos45°+>/8-（K+2024）°.

【答案】V2+1

【分析】本題考查的是零次幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)募的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次褰,

代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡二次根式，計(jì)算零次幕，再合并即可.

【詳解】解：-2cos45°+V8-（71+2024）°

=2-2x—+2^-1=2-V2+2>/2-l

2

=y/2+1-

易錯點(diǎn)撥

本題考查的是零次基，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次幕，代入特殊

角的三角函數(shù)值，化簡二次根式，計(jì)算零次塞，再合并即可.

【例2】（2024?安徽蚌埠?一模）計(jì)算：+2sin6O°-Vi2+（l-A/3）0.

【答案】5-V3

【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡、零指數(shù)塞運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】］一+2sin6O°-V12+（l-V3）0

=4+癢2用1

=5-yf3-

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡、零指數(shù)嘉，解題的關(guān)鍵是掌

握以上知識點(diǎn).

【例3】（2024?安徽滁州?一模）計(jì)算（-2024）°-2tan45°+、2|+的

【答案】4

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)零指數(shù)幕、特殊角三角函數(shù)值、絕對值和算術(shù)平方根

將原式化簡，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】解：（-2024）°-2tan45°+1-2|+79

=l-2xl+2+3

=1-2+2+3

=4.

【例4】（2024?湖北襄陽?一模）計(jì)算：（V2）2+（3-^）°-|-3|+2COS60°.

【答案】1

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先進(jìn)行乘方，零指數(shù)幕，去絕對值和特殊角的三角函

數(shù)值的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】解：原式=2+l-3+2x==l.

2

易錯點(diǎn)二實(shí)物情景抽象出幾何圖形

【例1】（2024?河南平頂山?一模）下圖是某籃球架的側(cè)而示意圖，四邊形/3CD為平行四邊形.其中

BE,CD,GF為長度固定的支架，支架在/,D,G處與立柱NH連接垂直于九W,垂足為〃），在8,

。處與籃板連接，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)尸處的螺栓可以調(diào)節(jié)防長度，使支架3E繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而調(diào)節(jié)籃板的高度，B

知DH=209cm.

⑴如圖1,當(dāng)NGNE=60。時(shí)，測得點(diǎn)C離地面的高度為289cm,求的長度；

⑵如圖2,調(diào)節(jié)伸縮臂斯，將/G4E由60。調(diào)節(jié)為54。時(shí)，請判斷點(diǎn)C離地面的高度是升高了還是降低了？

并計(jì)算升（或降）的距離.（參考數(shù)據(jù)sin54。內(nèi)0.8,cos54。儀0.6,tan54°?1.4）

【答案】⑴CD=160cm；

⑵點(diǎn)C離地面的高度升高了，升高了16cm.

【分析】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出

合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

（1）如圖，延長3c與底面交于點(diǎn)K,過。作制-〃于。，則四邊形。印應(yīng)為矩形，可得QK=DH=208,

根據(jù)四邊形/BCD是平行四邊形，可得當(dāng)NGZE=60。時(shí)，則/OCD=/0A4=/G4E=60。，此

時(shí)NCDQ=30。，Cg=289-209=80,即可求得C￡>=2CQ=160；

（2）當(dāng)NG/E=54。時(shí)，則NQCD==/GNE=54。，解直角三角形得C。=C7>cos54。a160x0.6=96,

從而可得答案.

【詳解】（1）解：如圖，延長8C與底面交于點(diǎn)K,過。作以T”于。，則NDHK=4DQK=/HKQ=90°,

四邊形ZV/KQ為矩形，

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD,

當(dāng)ZGAE=60°時(shí)，則NQCD=NQBA=ZGAE=60°,

此時(shí)NC￡>°=30。，Cg=289-209=80cm,

CZ)=2C2=160(cm)；

(2)解：當(dāng)/G/￡=54。時(shí)，貝!|/QCD=&4=/GL4E=54。,

CQ=CD-cos54°?160x0.6=96cm,

而96>80,96-80=16cm,

.??點(diǎn)。離地面的高度升高了，升高了16cm.

易錯點(diǎn)撥

本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適

的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?江西南昌?一模）圖1是井岡山紅旗雕塑的實(shí)物圖，其正面可大致簡化成圖2,底座8C=20m,

/B=26。，紅旗邊4E=2Z8,EF=AC,AC//EF,NE=52。，點(diǎn)B,A,E在同一條直線上.

⑴連接CP,求證：ZBCF=90°.

⑵求雕塑頂端尸到地面3c的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin26°?0.44,cos26°?0.90,tan26°?0.49）

【答案】⑴證明見解析

⑵雕塑頂端F到地面BC的距離為19.6m.

【分析】

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明AEFG0ANCG是解本題的關(guān)鍵;

（1）如圖，記NE,CF的交點(diǎn)為G,證明/8=/C=/G,再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用銳角三角函數(shù)先求解CG=20x0.49=9.8,再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）解：如圖，記4E,CF的交點(diǎn)為G,

AC//EF,ZE=52°,

ZE=ZGAC=52°,ZEFG=ZACG,

EF=AC,

：.AEFG-ACG,

???AG=EG,

*.*AE=2AB,

：.AB=AG,

*.*/B=26°,

ZACB=ZGAC-AB=26°=/B,

???AB=AC=AG,

：./ACG=/AGC=1(18(F-52°)=64°,

???Z5CG=260+64°=90°,

即ZBCF=90°.

(2)?:/B=26。，ZBCG=90°,BC=20,

tanZB==tan26°?0.49,

BC

：.CG=20x0.49=9.8,

小EFG%ACG,

???FG=CF=9.8,

AFC=2x9.8=19.6(m).

?.雕塑頂端F到地面BC的距離為19.6m.

【例3】(23-24九年級下?浙江湖州?階段練習(xí))如圖1是某小區(qū)門口的門禁自動識別系統(tǒng)，主要由可旋轉(zhuǎn)高

清攝像機(jī)和其下方固定的顯示屏構(gòu)成.圖2是其結(jié)構(gòu)示意圖，攝像機(jī)長N8=20cm,點(diǎn)。為攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)軸

心，。為的中點(diǎn)，顯示屏的上沿CD與平行，CZ)=15cm,與CD連接，桿OE_L48,OE=10cm,

CE=2E￡),點(diǎn)C到地面的距離為60cm.若43與水平地面所成的角的度數(shù)為36。.

⑴求顯示屏所在部分的寬度CN；

⑵求鏡頭/到地面的距離.

(參為數(shù)據(jù)：sin36°?0.588,cos36°?0.809,tan36°?0.727,結(jié)果保留一位小數(shù))

【答案】⑴12.1cm

(2)68.1cm

【分析】

本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確認(rèn)清線段關(guān)系，作出合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)C作點(diǎn)。所在鉛垂線的垂線，垂足為則NDCM=36。，由三角形邊角關(guān)系即可求出答案；

(2)連接/C,作垂直反向延長線于點(diǎn)“，在RtA/CH中，由NC4H=36。，AC=10,即可求出C",

從而得出答案.

【詳解】(1)-：CD//AB,N8與水平地面所成的角的度數(shù)為36。，

顯示屏上沿CD與水平地面所成的角的度數(shù)為36。.

過點(diǎn)C作交點(diǎn)。所成鉛垂線的垂線，垂足為則NDCM=36。，

CD=15cm,

CM=CDcosNDCM=15x0.809~12.1(cm)；

(2)如圖，連接ZC,作垂直MC反向延長線于點(diǎn)H,

圖2

VAB=20cmf。為ZB的中點(diǎn)，

/O=10cm,

*.*CD=15cm,CE=2ED,

CE=10cm,

?.?CD//AB.OELAB,

???四邊形/CEO為矩形，AC=OE=Wcm,

???ZACE=90°f

：.ZACH+ZDCM=ZACH+ZCAH=90°,

???/CAH=/DCM=36。,

?，.AH=AC-cos36°=10x0.809=8.09(cm),

???鏡頭A到地面的距離為60+8.09?68.1cm.

搶分通關(guān)

題型一仰角俯角問題

典例精講

【例1】（2024?安徽蚌埠?一模）如圖，一居民樓底部8與山腳尸位于同一水平線上，小李在尸處測得居民樓

頂A的仰角為60。，然后他從P處沿坡角為45。的山坡向上走到。處，這時(shí)尸C=306m，點(diǎn)C與點(diǎn)A在同

⑴求居民樓48的高度；

⑵求點(diǎn)C、A之間的距離.（結(jié)果保留根號）

【答案】（1）居民樓的高度約為30m；

⑵C、A之間的距離為（10歷+30）m

【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生借助仰角、坡角關(guān)系構(gòu)造直角三角

形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)求解.

（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用在中，由sin45o=，|,得出EC的長度，進(jìn)

而可求出答案；

AR

（2）在RtZ\CQ￡中，tan60°=—,得出B尸的長，進(jìn)而得出尸E的長，即可得出答案.

BP

【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CEL8P于點(diǎn)E,

ZCPE=45°,

CF

sin45°=—,

PC

CE=PC-sin45°=30Gx正=30m，

2

???點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一水平線上,

AB=CE=30m,

答：居民樓Z3的高度約為30m；

（2）解：在RtA/B尸中，ZAPB=60°,

AB

/.tan60°

~BP

...BP=卡=lo7im

PE=CE=30m,

.?./C=3E=（10肉30）m,

答：C、A之間的距離為（10若+30）m.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

I____________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?江蘇南京?一模）如圖，山頂有一塔AB,在塔的正下方沿直線。有一條穿山隧道造，從與

￡點(diǎn)相距80羽的C處測得/,8的仰角分別為27。，22。.從與月點(diǎn)相距50m的。處測得/的仰角為45。.若

隧道E尸的長為323加，求塔NB的高.（參考數(shù)據(jù)：tan22°a0.40,tan27°~0.51.）

【分析】延長交CD于點(diǎn)則/"LCD,結(jié)合角的正切分析求解直角三角形.

【詳解】解：如圖，延長A8交。于點(diǎn)"，則/"LCD

在RtA/CH中，ZACH=27°,

「tan27。=券

:.CH=A"=膽

tan2700.51

在Rt^BCH中，ABCH=22°,

?:CH=U=%

tan22°0.40

在RMADH中,AD=45°,

3。嘏

HD=AH.

由題意可得CE=80加，EF—323m,DF=50m

：.CD=CE+EF+DF=453

：.CH+DH=CH+AH=453

又*：CH=旦

0.51

4H

/.°5]+AH=453,解得AH=153,

153

CH=——=300

0.51

:?黑=3。。，解得皿［12。

：.AB=AH-BH=33m

答：塔ZB的IWJ為33冽.

名校模擬

1.（2024?江蘇宿遷?一模）某校組織九年級學(xué)生到三臺山森林公園游玩，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)想利用測角儀測

量天和塔的高度.如圖，塔48前有一座高為的斜坡，已知CD=12m,NDCE=30。，點(diǎn)、E、C、/在同

一條水平直線上.某學(xué)習(xí)小組在斜坡C處測得塔頂部8的仰角為45。，在斜坡D處測得塔頂部3的仰角為

39°.

⑴求。E的長;

⑵求塔的高度.(tan39。取0.8,6取1.7,收取1.4,結(jié)果取整數(shù))

【答案】⑴。E的長為6m；

⑵塔NB的高度約為71m.

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.

(1)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；

⑵設(shè)AB=h,分別在RtVDCE和RM3C4中，利用銳角三角函數(shù)定義求得EC=6G,AB=hm,過點(diǎn)。

作。尸_LN8,垂足為尸.可證明四邊形。瓦4尸是矩形，得到。尸=￡/=(〃+6V^cm,FA=DE=6m.在

Rt△的尸中，利用銳角三角函數(shù)定義得到B尸=。尸-tanNAD尸，然后求解即可.

【詳解】(1)解：在RtVOCE中，ZDCE=30°,CD=12m,

:.DE=—CD=6m.

2

即DE的長為6m；

(2)解：設(shè)/B=7zm,

EC

在RtVOCE中，cosZDCE=——，

CD

EC=CD-cosZDCE=12XCOS30°=6A/3.

在RGBG4中，由tan/5G4=——,AB=hm,ZBCA=45%

CA

Afi

貝(1a=-------=h.

tan45°

EA=CA+EC=(li+66).

如圖，過點(diǎn)。作_L/8，垂足為尸.

B

根據(jù)題意，N4ED=ZFAE=ZDFA=90°,

...四邊形。E4尸是矩形.

DF=EA=(//+6A/3),FA=DE=6.

可得3尸=—功=(小一6).

在RtABDF中，tanZBDF=——,ZBDF=39°,

DF

BF=DFtanZBDF.即//一6=（%+66）tan39。.

._6+6^xtan3906+6x1.7x0.8

??〃=-------------------x-----------------?71（m）.

1-tan3901-0.8

答：塔45的高度約為71m.

2.（2024?河南濮陽?一模）洛陽老君山風(fēng)景區(qū)位于河南省洛陽市欒川縣境內(nèi)，在景區(qū)內(nèi)有一座老子銅像（圖

1）.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量老子銅像高度的實(shí)踐活動，具體過程如下.

【制定方案】

如圖2,在老子銅像左右兩側(cè)的地面上選取C,。兩處，分別測量老子銅像的仰角.且點(diǎn)民在同一水平

直線上，圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi).

【實(shí)地測量】

小穎同學(xué)用測角儀在點(diǎn)。處測量點(diǎn)A的仰角a為45。，小亮同學(xué)用測角儀在點(diǎn)D處測量點(diǎn)A的仰角P為53。,

測得C。兩點(diǎn)間的距離約為63.7m.

【解決問題】

已知測角儀的高度為1.6m,求老子銅像高48的值.（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：

434

sin53°?—,cos53°?—tan530?—）

553

圖1圖2

【答案】38m

【分析】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

連接E尸交于點(diǎn)尸，根據(jù)題意可得：CE=DF=BP=l.6m,EF^CD~63Jm,EF_L48,然后設(shè)4P=am,

在RtZkNEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EP=4P=am,再在RMNEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義

3

求出尸根據(jù)EP+FP=所列出方程，進(jìn)行計(jì)算即可解.

【詳解】解：由題意，得N4EG=45°,ZAFH=53°,CD?63.7m,CE=D尸=1.6m,

A

如圖，連接E尸交于點(diǎn)尸，則四邊形ECD尸為矩形，EF=CD63.7m.

4P

設(shè)/尸=am.在RtZX/EP中,tan45°=——.IPEP=AP=am

EP

Ap3

在Rt-4FP中，ZAFP=53°,/.tan53°=—,.

FP4

3

■：EP+FP=EF,即一。+。土63.7m,

4

解得a~36.4m,

AB=a+1,6=38m.

答：老子銅像的高48約為38m.

3.（2024?浙江嘉興?一模）綜合與實(shí)踐：測算校門所在斜坡的坡度.

【背景】如圖1,某學(xué)校校門在一道斜坡上，該校興趣小組想要測量斜坡的坡度.

圖1圖2

【素材1】校門前的斜坡上鋪著相同的長方形石磚，如圖2,從測量桿到校門所在位置DE在斜坡上有

15塊地磚.

【素材2】在點(diǎn)/處測得仰角tanN1=；，俯角tanN2=安；在點(diǎn)B處直立一面鏡子，光線BD反射至斜坡CE

的點(diǎn)N處，測得點(diǎn)2的仰角tan/3=g；測量桿上/8：BC=5:8,斜坡CE上點(diǎn)N所在位置恰好是第9塊地磚

右邊線.

【討論】只需要在NLN2,N3中選擇兩個(gè)角，再通過計(jì)算，可得CE的坡度.

選擇兩個(gè)測量角的正切值：_和_.（填"/I","N2"或"/3"）

任務(wù)1分析規(guī)劃

求NE:CN的值.

任務(wù)2推理計(jì)算求坡度tan/ECW的值.

【答案】任務(wù)1,N2和N3；NE:CN=2:3；任務(wù)2,tanZECM=—.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形.

任務(wù)1,選擇N2和/3；由CE=15,CN=9,可求得=2:3；

任務(wù)2,過點(diǎn)￡和N作/C的垂線，證明△CGNs^C/殂，推出竺="=絲=3,設(shè)CG=3X,CH=5X,

CHHECE5

39GN3

HG=x,BH=a,則BG=〃+2x,求得HE=—a+15x,GN=5a+10x,|艮據(jù)——=—,列式計(jì)算即可求

5HE5

解.

【詳解】解：任務(wù)1,選擇兩個(gè)測量角的正切值：/2和/3；

VCE=15,CN=9,

???7VE=15-9=6,

JNE:CN=6:9=2:3；

任務(wù)2,過點(diǎn)E和N作力。的垂線，垂足分別為點(diǎn)8和G,

:,GN〃HE,

：.△CGNs/\CHE,

.CGGNCN_9

設(shè)CG=3x,CH=5x,HG=x,BH=a,則5G=Q+2X,

VAB:BC=5:8f即45:(〃+5x)=5:8,

AAB=-(a+5x),AH=AB+BH=—a+—x,

8V788

由題意得/3NG=/4=/3,ZAEH=Z2,tanZ2=—,tanZ3=-；

245

.AH_5BG_1

''HE-24'GN~5

HE=——aH-----x=—a+15x,GN=5BG=5a+lOx,

5I88)5

..ON3

?HE~5

5a+10x_3

???39”二1，

——a+ljx

5

整理得X='4Q2,

25

42

tanZECM=tanZHEC=—=—14

?,HE39=市——=—

—-6?+1JX39、l4255

5—a+15x—a

525

題型二方位角問題

典例精講

【例1】（2024?重慶?一模）為了緩解學(xué)習(xí)壓力，就讀于育才成功學(xué)校的小育和就讀于育才本部的哥哥每周都

會從各自學(xué)校出發(fā)前往奧體中心公交站匯合一同前往奧體中心打羽毛球.經(jīng)勘測，大公館公交站點(diǎn)C在育

才成功學(xué)校點(diǎn)A的正北方200米處，育才中學(xué)本部點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方600米處，點(diǎn)D在點(diǎn)B的東北方向,

點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方，奧體公交站點(diǎn)￡在點(diǎn)。的正北方，點(diǎn)￡在點(diǎn)。的北偏東60。方向.（參考數(shù)據(jù)：

V2?1.414.gw1.732）

⑴求8。的長度；（結(jié)果精確到1米）

⑵周五放學(xué)，小育和哥哥分別從各自學(xué)校同時(shí)出發(fā)，前往點(diǎn)￡匯合.小育的路線為/—。一￡,他從點(diǎn)N

步行至點(diǎn)C再乘坐公交車前往點(diǎn)E,假設(shè)小育勻速步行且步行速度為80米每分鐘，公交車勻速行駛且速度

為250米每分鐘，公交車行駛途中?？苛艘徽?，上下客合計(jì)耗時(shí)2分鐘（小育上車和下車時(shí)間忽略不計(jì)）.哥

哥的路線為3—。一￡,全程步行，他從點(diǎn)3經(jīng)過點(diǎn)。買水（買水時(shí)間忽略不計(jì)）再前往點(diǎn)E,假設(shè)哥哥勻速

步行且速度為100米每分鐘.請問小育和哥哥誰先到達(dá)點(diǎn)E呢?說明理由.

【答案】⑴283米

⑵小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)E

【分析】本題考查了方位，等腰直角三角形，含30。的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握特殊的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，

(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出。瓦?！?在根據(jù)時(shí)間=路程+速度，即可求解;

【詳解】(1)解：依題意得：AC=200mfAB=600m,BFLCD于點(diǎn)F,

BF=AC=200m

/FBD=45°

FD=BF=200m,

:.BD=42BF=2Q0xlA14?283(米)

(2)解：小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)及理由如下：

易知：CF=AB=600m

CD=CF+FD=600+200=800m,

???點(diǎn)￡在點(diǎn)C的北偏東60。方向，

ZECD=90°-60°=30°,

在RbEDC中，

CE=2.ED

由勾股定理可得：ED-+CD1^CE2

即：ED2+SOO2=(2ED)2,

解得：ED=80°^?462,

3

.?.C￡=462x2=924,

〃c=200+80=2.5分，tCE=924^250+2^3.7+2=5.7分，

小育到達(dá)點(diǎn)E所花總時(shí)間為：〃c+tCE=2.5+5.7=8.2分，

小育哥哥到達(dá)點(diǎn)￡所花總時(shí)間為：t=(283+462)+100。7.5分,

則小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)E.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了方位，等腰直角三角形，含30。的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)：

鍵是熟練掌握特殊的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理。

L_______________________________________________________________________________________________J

【例2】（2024?湖北襄陽?一模）如圖，港口/在觀測站。的正東方向，CM=4km,某船從港口/出發(fā)，沿

北偏東15。方向航行一段距離后到達(dá)8處，此時(shí)從觀測站。處測得該船位于北偏東60。的方向，求該船航行

的距離（即的長）.

北

西----東

南

OAC

【答案】該船航行的距離為26km

【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)A作/分別解RtZ\3O和RtAZDB,求出的

長即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作

北

西十東R

南以/7

修/卬157

OAC

由題意，得：^AOD=90°-60°=30°,AOAB=90°+15°=105°,

ZB=180°-30°-105°=45°,

在Rtz\4DO中，ZAOD=30°,OA=4,

AD——OA—2,

2

在RtA4D3中，ZB=45°,AD=2,

AB=也AD=26；

答：該船航行的距離為2夜km.

名校模擬

1.（2024?重慶?一模）如圖，車站/在車站3的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站3

的正東方向.現(xiàn)有一輛客車從車站5出發(fā)，沿北偏東45。方向行駛到達(dá)。處，已知。在N的北偏東60。方

向，。在C的北偏西30。方向.

⑴求車站8到目的地。的距離（結(jié)果保留根號）

⑵客車在。處準(zhǔn)備返回時(shí)發(fā)生了故障，司機(jī)在。處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C

出發(fā)以35千米每小時(shí)的速度沿CD方向前往救援，同時(shí)一輛應(yīng)急車從車站/以60千米每小時(shí)的速度沿

方向前往接送滯留乘客，請通過計(jì)算說明救援車能否在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到。處.（參考數(shù)據(jù)：

V2?1.41,73x1.73,指工2.45）

【答案】⑴（50后+500）千米

⑵能

【分析】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題：

（1）過點(diǎn)。作DE1/C于點(diǎn)￡,得出BE=DE,BD=?E，設(shè)8E=O￡=x千米，則BO=缶千米，在

口△/?！曛校??千米，根據(jù)/￡=/2+5￡列方程求出％=506+50，從而可求出AD；

（2）分別求出的長，再求出應(yīng)急車和救援車從出發(fā)地到目的地行駛時(shí)間，再進(jìn)行比較即可得出答

案

【詳解】（1）解:過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,如圖，

北

西—

由題意知，BADE=60°,ZDBE=90°-45°=45°,

???△OBE是等腰直角三角形，

：.DE=BE,BD=yl2DE,

設(shè)千米，貝3=岳千米,

4EI-

在Rt△力中，tan/ADE=-----=tan60°=J3,

DE

：.AE=^3DE=/3x,

,:AB+BE=AE,

??100+x=百x>

解得：X=506+50,

：.BD=4ix=^（50^+50）=（50本+506）千米,

即車站8到目的地。的距離為（506+50C）千米;

（2）解：根據(jù)題意得，DCD￡=30°,

r)p

又cosNEDC=—顯

CD2

oo(1八八R

CD=-j=DE=-j=x(50A/3+50)=100+千米,

又：ZDAE=30°,

AD=2DE=2x(50^+50)=(100旨+100)千米，

救援車所用時(shí)間為：100+”瞥+35。4.5(時(shí))；

\7

應(yīng)急車所用時(shí)間為：(1006+100)+60々4.55(時(shí))

4.5<4.55,

.??救援車能在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處.

2.（2024?重慶開州?二模）如圖，貨船在港口/裝貨，要運(yùn)至其正北方向300海里處的港口3,由于環(huán)境因

素影響，其航行路線有兩條：①由港口/出發(fā)，經(jīng)港口C、。休整，最后駛向港口2；②由港口/出發(fā)，

經(jīng)港口E休整，最后駛向港口2（休整時(shí)間忽略不計(jì)）.經(jīng)勘測，港口C在港口/西北方向.港口。在港口C

正北方向60海里處，在港口8西南方向.港口E在港口3南偏東70。方向，在港口/北偏東20。方向.

⑴求港口/和港口。之間的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；

⑵由于時(shí)間關(guān)系，貨船需要選擇路程更短的路線，請通過計(jì)算說明是選擇路線①還是路線②？（參考數(shù)據(jù):

VI?1.414,sin20°?0.342,cos20°?0.940,tan20°?0.364）

【答案】⑴港口/和港口C之間的距離是170海里

⑵路線②路程更短

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用.

（1）作CP1AB,先求出/P=8。=。0=。=80海里，再根據(jù)三角函數(shù)求出答案；

（2）分別求出兩種路線的路程，再進(jìn)行比較即可得出答案.

【詳解】（1）由題意得/DA4=/G4B=45。，ZEBA=70°,ZBAE=20°,DC=60,AB=300,

作CPVAB,

北

;

房r

￡

，

：

，

。

.-H

T

c;

;

g

"A,1"

：.ZDQB=ZAPC=90°,四邊形DC?。是矩形，

ZDBA=ZBDQ=/.PCA=ZACP=45°,DQ=CP,DC=PQ=60,

AP=BQ=DQ=CP,

■：AB=BQ+PQ+PA=300,

220+60=300,

AP=BQ=DQ=CP=120,

在Rt^/PC中，sin45°=—=—=—，

CA2CA

?,-C4=120V2?170(海里)；

答：港口/和港口C之間的距離是170海里.

(2)在。C=60中，sin45°=^=—=—,

BD2BD

?*-C4=120A/2;

DE1RFAT7Ap

在Rt/X/BEE中，sin20°=——=—?0.342,cos20°=—=—=0.940,

一BA300BA300

:.BEa103（海里），AE?282（海里），

路線①的路程為C4+。+。170+60+170它400（海里）;

路線②的路程為E4+BE。103+282名385（海里）；

385<400,

二路線②路程更短.

3.(2024?內(nèi)蒙古烏海?一模)如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在A處接到

指揮部通知，在他們東北方向距離6海里的8處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75。方向以每小時(shí)5海里的速

度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)7海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船.

⑴圖中/ABC=_；

⑵求圖中點(diǎn)A到捕魚船航線3C的距離；

⑶求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間.

【答案】⑴120。

(2)40=36海里

⑶巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為2小時(shí)

【分析】

(1)由平行線的性質(zhì)可得N/8尸=N8/￡=45。，再利用角的和差運(yùn)算可得答案；

(2)過點(diǎn)A作的延長線于點(diǎn)。，在Rt△物。中，求解/48。=60。，而/3=6,再利用銳角的余

弦可得答案；

(3)先求解5。=3,再利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，由題意可得：/區(qū)18=45。，ZFBC=75°,AE//BF,

：.ZABC=ZABF+ZFBC=45°+75°=120°；

(2)

解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)。，由/48C=120。，得乙4BD=60。,AB=6

An

sinZABD=sin60°=---

AB

AD=6x^-=36(海里)；

2

設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為X小時(shí)；

由題意得：N/3C=45°+75°=120°,48=6,BC=5x,AC=7x,

在RtA/CD中，由勾股定理得：(7x)2=(5尤+3『+(36J,

解得：占=2,%不合題意舍去).

答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為2小時(shí).

題型三坡度坡比問題

典例精講

【例1X2024?廣東江門?一模)甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳5處出發(fā)，已知西面山坡的坡度

(坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，即tan3=l：K).同時(shí)，乙從東邊山腳C處出發(fā)，東面山坡的

坡度3=3:4,坡面NC=1000米.

A

⑴求甲、乙兩人出發(fā)時(shí)的水平距離6c.

⑵已知甲每分鐘比乙多走10米.兩人同時(shí)出發(fā)，并同時(shí)達(dá)到山頂/.求：甲、乙兩人的登山速度.

【答案】⑴8C=(600S+800)米

⑵甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米;

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)N作/。18C,根據(jù)坡度比設(shè)4D=3x,則CD=4x,利用勾股定理即可求解；

(2)設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為(v+10)分鐘/米，列分式方程即可求解.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)/作4D/3C,如圖，

?口h*/口八ADrrr-AD3

由就忌倚：tanB==1:V3,tanC==,

???設(shè)/￡)=3%,則CZ)=4x,

**-AC=^AD2+CD2=5X=1000解得：x=200,

：.AD=600,CD=800

**?―1：A/3,解得：BD-600\/3，

BD

二BC=BD+CD=(600S+800)米；

(2)解：由(1)得：AD=600,BD=600>/31

AB=yjAD2+BD2=1200，

設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為。+10)分鐘/米,

經(jīng)檢驗(yàn)：v=50是分式方程的解，

則50+10=60,

...甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米;

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測）如圖為某單位地下停車庫入口處的平面示意圖，在司機(jī)開車經(jīng)過坡面即

將進(jìn)入車庫時(shí)，在車庫入口的上方8C處會看到一個(gè)醒目的限高標(biāo)志，現(xiàn)已知圖中8C高度為0.5m,AB

寬度為9m,坡面的坡角為30。.V3?1.73,結(jié)果精確到01米.

⑴根據(jù)圖1求出入口處頂點(diǎn)。到坡面的鉛直高度

⑵圖2中，線段CE為頂點(diǎn)C到坡面的垂直距離，現(xiàn)已知某貨車高度為3.9米，請判斷該車能否進(jìn)入該

車庫停車？

【答案】⑴4.6m

⑵該車能進(jìn)入該車庫停車

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度〃和水平寬度/的

比是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)正切的定義求出8。，進(jìn)而求出⑺;

（2）根據(jù)正弦的定義求出CE,根據(jù)題意解答即可.

【詳解】（1）解：在RtA45D中，NBAD=30°,AB=9m,

BD=AB-tanZBAD=9xg=3?m)

;.CD=BD-BC=34i-Q5a4.6(m),

答：點(diǎn)C到坡面的鉛直高度CD約為4.6m；

(2)解：在Rt^CDE中，NCDE=60°,CD=(3百-0.5)m,

:.CE=CD-sinZCDE=(36-0.5且匕且4.1(m),

224

v4.1>3.9,

該車能進(jìn)入該車庫停車.

名校模擬

1.（2024?遼寧鞍山?三模）圖（1）為某大型商場的自動扶梯，圖（2）中的N8為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)

面示意圖.小明站在扶梯起點(diǎn)/處時(shí)，測得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時(shí)他的眼睛。與地面的距

離/D=1.8m,之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端3后又沿AL{BL//MN）向正前方走了2m,發(fā)現(xiàn)日光燈C剛

好在他的正上方.已知自動扶梯的坡度為1:2.4,的長度是13m.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°~0.8,tan370-0.75）

地面

圖⑴圖⑵

⑴求圖（2）中點(diǎn)3到一樓地面血W的距離；

⑵求日光燈C到一樓地面的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】⑴5m

（2）12m

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)2作于￡,T^AE=xm,由48的坡度為1:2.4BE=』xm,在放A/2E中，由勾股定理

12

得一+((12=132,解得x=12,即可得到答案；

(2)過點(diǎn)C作CF_LMN于尸交班于G,過點(diǎn)。作OJLC尸于J交BE于“，可證得

四邊形5EFG,四邊形/“F是矩形，求出E/和C7的長度，即可得到答案.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)2作于E,如=夕=1.801圖：

AB的坡度為1:2.4,

,BE1

"-Z4z

/.BE=—xm,

12

在及中，由勾股定理得：x2+^x^|=132,

解得：x=12,

AE=12m,BE=5m,

答：B到一樓地面MN的距離為5m；

(2)過點(diǎn)。作。b_L"N于/交取于G,過點(diǎn)。作D/_LC尸于/交屬于4,

------------4—天花板

由題意知：8G=2m,ZCDJ=3T,

VZBEF=ZEFG=90°fZAEB=ZDAE=90°fAD//BE//GF

：.ZBEF=ZEFG=ZBGF=90°,AAEB=ZDAE=ZADH=90°

???四邊形世尸G,四邊形是矩形，

/.EF=BG=2m,AD=FJ=1.8m,AF=DJ,

由（1）可知，AF=AE+EF=12+2=14m,

/.DJ=14m,

在RtACDJ中，tanZCDJ==tan37°?0.75,

DJ

：.CJx0.75DJ=0.75X14=10.5(m),

CF=CJ+FJ=10.5+1.8=12.3?12(m),

答：日光燈。到一樓地面兒W的距離約為12m.

2.(2024?吉林?模擬預(yù)測)如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡面8C平行于地面斜坡的

坡比為1=1:之，且/8=26米.為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對該土坡進(jìn)行改造.經(jīng)地質(zhì)人

員勘測，當(dāng)坡角不超過53。時(shí)，可確保山體不滑坡.

(參考數(shù)據(jù):sin53°~0.8,cos53°~0.6,tan53°~1.33,cot53°~0.75).

⑴求改造前坡頂與地面的距離BE的長.

⑵為了消除安全隱患，學(xué)校計(jì)劃將斜坡改造成/尸(如圖所示)，那么B尸至少是多少米？(結(jié)果精確到1

米)

【答案】⑴改造前坡頂與地面的距離BE的長為24米；

(2)3尸至少是8米；

【分析】

本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的含義是解本題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)坡度的概念得到8E:E/=12:5,根據(jù)勾股定理計(jì)算列式即可；

(2)作FHLAD于H,根據(jù)正切的概念求出結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：???斜坡的坡比為i=

:.BE:EA=n-.5,

設(shè)8E=12x,則E/=5x,

由勾股定理得，BE2+EA2=AB2,

即(12x>+(5x)2=262,

解得，x=2,

貝lj8E=12x=24,ZE=5x=10,

答：改造前坡頂與地面的距離BE的長為24米；

FH

(2)作用_LM于則尸H=BE=24,tanZFA/f=—

AH

1.33

???砂=18—10=8,

答：蝦至少是8米.

題型四實(shí)物情景中轉(zhuǎn)動求距離問題

典例精講j

【例1】(新考法，拓視野)(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)如圖1,某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂連

桿8C,懸臂和安裝在。處的攝像頭組成.如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖.已知支撐臂

ABLl,NB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定乙IBC=148。，可通過調(diào)試懸臂CD與連桿BC的夾角

提高拍攝效果.

⑴當(dāng)懸臂CD與桌面/平行時(shí)，ZBCD=°；

⑵問懸臂端點(diǎn)C到桌面/的距離約為多少？

(參考數(shù)據(jù):sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°*1.60)

【答案】⑴58

⑵懸臂端點(diǎn)C到桌面/的距離約為52cm.

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)B作直線九W〃/,利用平行線的性質(zhì)得到NA8N=90。，由兒CV〃/,得到肱V〃CD,再根據(jù)平

行線的性質(zhì)即可得到答案；

(2)過點(diǎn)C作CF，/,垂足為尸，過點(diǎn)2作BNLCF,垂足為N,過點(diǎn)。作b，垂足為設(shè)DM

與3C交于點(diǎn)G,分別求出小、CN的長度，即可得到答案.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)5作直線MV〃/,

CD//1,ABU,

：.ZABN=90°,

,:MN〃l,

：.MN\\CDf

：./BCD=/CBN=/ABC-ZABN=148°-90°=58°.

故答案為：58.

（2）過點(diǎn)。作垂足為R過點(diǎn)5作BNLCF,垂足為N,過點(diǎn)。作。MLB,垂足為設(shè)。M

與5c交于點(diǎn)G,

則7W