2025年新高考數(shù)學復習壓軸題講義：高等背景下概率論的新定義（七大題型）（學生版）

專題08高等背景下概率論的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：切比雪夫不等式

題型二：馬爾科夫鏈

題型三：卡特蘭數(shù)

題型四：概率密度函數(shù)

題型五：二維離散型隨機變量

題型六：多項式擬合函數(shù)

題型七：最大似然估算

【典型例題】

題型一：切比雪夫不等式

【典例1-1】（2024?浙江?二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格

品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：

測試指標[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件數(shù)（件）121836304

（1）現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；

（2）關于隨機變量，俄國數(shù)學家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若隨機變量X具有數(shù)學期望E（X）=〃，方差D（X）=*,則對任意正數(shù)￡,均有尸成立.

⑴若X?3100,￡|,證明：P（0<X<25）<^;

（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工

廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合

格率是否可信？（注：當隨機事件/發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件N為小概率事件）

【典例1-2]（2024?吉林長春?模擬預測）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)

學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式.馬爾科夫不

等式的形式如下：

設X為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為￡（X）,則對任意￡>0,均有型

馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學期

望間的關系.當X為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：

設X的分布列為P(X=毛)=p,,i=1,2,…,”，其中2e(0,+oo),Xje[0,+co)(i=1,2,…，〃這2=1,則對任意

Z=1

￡>0,P(X2￡)=EP,YE土口=XiPi<殳毛P,=受色，其中符號24表示對所有滿足X,>￡的指

Xj>￡Xj>￡g￡X聲￡i=1￡Xi~￡

標i所對應的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設隨機變量X的期望為E(x),方差為。(x),則對任意￡>0,均有尸(門-￡(幻|泊卜3^

(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量X成立.

(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為80%.現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該

藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信.

【變式1-1](2024?高三?湖北?階段練習)隨機變量的概念是俄國數(shù)學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡

使用的.切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散

型切比雪夫不等式：設X為離散型隨機變量，則上g,其中2為任意大于。的實數(shù).

切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件盧-力▼的概率作出估計.

(1)證明離散型切比雪夫不等式；

(2)應用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù)在一次抽獎游戲中，有“個不透明的箱子依次編號為

1,2,…,〃，編號為，(1缶方)的箱子中裝有編號為0,1,…，，的7+1個大小、質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請，位嘉

賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為￡,并記X=?>.對任意的〃，

是否總能保證尸(假設嘉賓和箱子數(shù)能任意多)？并證明你的結(jié)論.

附：可能用到的公式(數(shù)學期望的線性性質(zhì))：對于離散型隨機變量x，x，Xz，￡滿足x=則有

1=1

E(X)=￡E(X).

Z=1

題型二：馬爾科夫鏈

【典例2-1】（2024?高三?全國?專題練習）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智

能的基石,為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì):

下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲、乙兩口袋中各裝

有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行〃（〃eN*）次這樣

的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為X,，恰有1個黑球的概率為口.

（1）求P”P2的值;

⑵求巳的值（用”表示）；

⑶求證：X,的數(shù)學期望E（X"）為定值.

【典例2-2】（2024?高三?貴州黔西?階段練習）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學家安德

烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概率分布只跟第〃次的狀態(tài)有關，與第

〃-1,〃-2,〃-3,…次狀態(tài)無關，即尸（X,,/…,冗_2/,1/0）=尸（工用戶“）.已知甲盒子中裝有2個黑球

和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復〃

次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為X”，恰有2個黑球的概率為%，恰有1個黑球的概率為

⑴求。1，仇和。2，瓦;

（2）證明：+，-■!?為等比數(shù)列（〃22且〃eN*）；

（3）求X,的期望（用〃表示，”22且〃eN*）.

【變式2-1]（2024?浙江杭州?二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基

石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數(shù)學定義為：假

設我們的序列狀態(tài)是…，X-2，XT，X,,X,+1,那么X用時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X,,

即尸（X」…網(wǎng)X/X）.

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束

賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的3元，賭徒停止賭博.記賭徒的

本金為/(/CN'MVB),賭博過程如下圖的數(shù)軸所示.

0.50.5

r\c\

A-lAA+1

IAV~1——1——1——L

0B

0.50.5

當賭徒手中有〃元(0W“48,〃eN)時，最終輸光的概率為p(〃)，請回答下列問題：

(1)請直接寫出尸(0)與P⑻的數(shù)值.

(2)證明｛尸(〃)｝是一個等差數(shù)列，并寫出公差d.

(3)當N=100時，分別計算8=200,8=1000時，尸(⑷的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當8—oo時，尸(⑷的

統(tǒng)計含義.

題型三：卡特蘭數(shù)

【典例3-1】(2024?湖北?二模)五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動

以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的直線軌

道的中心處有一個會走路的機器人，游客可以設定機器人總共行走的步數(shù)，機器人每一步會隨機選擇向前

行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.

(1)若小明設定機器人一共行走4步，記機器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的分布列和期望;

(2)記p,?eN*)為設定機器人一共行走萬步時游戲勝利的概率，求目，并判斷當i為何值時，游戲勝利的概

率最大；

(3)該基地臨時修改了游戲規(guī)則，要求機器人走完設定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小

明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設定多少步時獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學的哥哥，哥哥

告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將〃個0和〃個1排成一排，若對任意的14上W2〃，在前

后個數(shù)中，0的個數(shù)都不少于1的個數(shù)，則滿足條件的排列方式共有CM-C二種，其中，的結(jié)果

被稱為卡特蘭數(shù).若記￡為設定機器人行走2i步時恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對(2)中的有

【典例3-2](2024?全國?模擬預測)卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學中一個常在各種計數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列.以比利時的

數(shù)學家歐仁?查理?卡特蘭(1814-1894)命名.歷史上，清代數(shù)學家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜密率捷

法》最早用至U“卡特蘭數(shù)”，遠遠早于卡塔蘭.有中國學者建議將此數(shù)命名為“明安圖數(shù)”或“明安圖-卡特蘭

數(shù)”.卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個數(shù)列：?！?%。1+%。"-2+~+。,1%且&=1.如果能把公式化成上面

這種形式的數(shù)，就是卡特蘭數(shù).卡特蘭數(shù)是一個十分常見的數(shù)學規(guī)律，于是我們常常用各種例子來理解卡

特蘭數(shù).比如：在一個無窮網(wǎng)格上，你最開始在(0,0)上，你每個單位時間可以向上走一格，或者向右走一

格，在任意一個時刻，你往右走的次數(shù)都不能少于往上走的次數(shù)，問走到(〃,〃)，0S〃有多少種不同的合法

路徑.記合法路徑的總數(shù)為4

(1)證明6,是卡特蘭數(shù)；

(2)求6“的通項公式.

題型四：概率密度函數(shù)

【典例4-1】(2024?高二?湖南?課后作業(yè))李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車

和騎自行車所花的時間(樣本數(shù)據(jù))，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：

坐公交車：平均用時30min,方差為36

騎自行車：平均用時34min,方差為4

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，李明平時選擇哪種交通方式更穩(wěn)妥？試說明理由.

(2)分別用X和Y表示坐公交車和騎自行車上學所用的時間，X和/的概率密度曲線如圖(a)所示，如果某天

有38min可用，你應選擇哪種交通方式？如果僅有34min可用，又應該選擇哪種交通方式？試說明理由.

(提示：(2)中X和/的概率密度曲線分別反映的是X和/的取值落在某個區(qū)間的隨機事件的概率，例如，圖

(6)中陰影部分的面積表示的就是X取值不大于38min時的概率.)

【典例4-2】(2024?高二?安徽?期末)設隨機變量X的概率密度函數(shù)為/■(>)="+則

尸(a<X-#)=J：/(x)右，若對X的進行三次獨立的觀測，事件/=|丫總:至少發(fā)生一次的概率為1；

(1)對X做"次獨立重復的觀測，若使得事件/至少發(fā)生一次的概率超過95%,求〃的最小

值.(In0.05?-2.9958,In0.75=-0.2877)

(2)為滿足廣大人民群眾對接種疫苗的需求，某地區(qū)衛(wèi)生防疫部門為所轄的甲、乙、丙三區(qū)提供了批號分別

為1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供選擇，要求每個區(qū)只能從中選擇一個批號的疫苗接種.由于某些

原因甲區(qū)不能選擇1、2、4號疫苗，且這三區(qū)所選批號互不影響.記“甲區(qū)選擇3號疫苗”為事件瓦且

①求三個區(qū)選擇的疫苗批號互不相同的概率；

②記甲、乙、丙三個區(qū)選擇的疫苗批號最大數(shù)為K,求K的分布列.

題型五：二維離散型隨機變量

【典例5-1】(2024?高三?湖北?階段練習)設(XJ)的所有可能取值為(專乂)，稱

%=尸(》3了=乂)(，=1,2廣.,〃,/=1,2「、〃7)為二維離散隨機變量(、1)的聯(lián)合分布列，用表格表示為:

YX必%ykymPi.

APHPnPMPimP\.

)21P22P2kP2mPl.

XkPklPk2PkkPkmPk.

4P〃1Pn2PnkPmnPn.

p,iPlPlPkPm1

仿照條件概率的定義，有如下離散隨機變量的條件分布列：定義尸"=%)=%-=才。"，對于固定的),若

i=\

P.j>°,則稱=p（x=X,.|y=%）=紅0=1,2,…為給定Y=無條件下的X條件分布列.

Pi

/=1

離散隨機變量的條件分布的數(shù)學期望（若存在）定義如下：E[X\Y=y）=（X=x^=y].

（1）設二維離散隨機變量（X；）的聯(lián)合分布列為

YX123Pi.

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

P-J0.150.50.351

求給定X=1條件下的￥條件分布列；

（2）設（X,y）為二維離散隨機變量，且￡（X）存在，證明：E（X）=YjE（X\Y=yj）-p..

m

（3）某人被困在有三個門的迷宮里，第一個門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮；第二個門通

一條迷道，沿此迷道走50分鐘又回到原處；第三個門通一條迷道，沿此迷道走70分鐘也回到原處.假定

此人總是等可能地在三個門中選擇一個，試求他平均要用多少時間才能走出迷宮.

【典例5-2】（2024?山東濰坊?一模）若鼻〃是樣本空間。上的兩個離散型隨機變量，則稱（4〃）是。上的二

維離散型隨機變量或二維隨機向量.設修〃）的一切可能取值為?,%）,=…，記為表示?也）在O

中出現(xiàn)的概率，其中=p也=%,口=4）=尸=4）n（〃=%）].

（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數(shù)為九2號盒子

中的小球個數(shù)為〃，貝是一個二維隨機變量.

①寫出該二維離散型隨機變量值〃）的所有可能取值；

②若（皿〃）是①中的值，求尸（4=見〃=〃）（結(jié)果用加，”表示）；

+8

（2）p?=%）稱為二維離散型隨機變量（,〃）關于j的邊緣分布律或邊際分布律，求證：p（&=%）=?「

7=1

【變式5-1]（2024?江蘇常州?一模）設（工丫）是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為（如勺）,

其中，"eN*,令p,j=P(X=%,Y=b),稱為G，/eN*)是二維離散型隨機變量(XJ)的聯(lián)合分布列，與一

維的情形相似，我們也習慣于把二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；

*b2b3

PHPnP13

a2AIP22P23

a3AiP32P33

現(xiàn)有〃(〃eN*)個球等可能的放入編號為1,2,3的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為X,落入第

2號盒子中的球的個數(shù)為￥.

(1)當〃=2時，求(X,y)的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；

(2)設74=回尸(萬=左y=且左4〃，求￡1kpk的值.

m=0k=0

(參考公式：若X?以"M),則，斤C,R(1-0片=70

左=0

題型六：多項式擬合函數(shù)

【典例6-1】(2024?甘肅?一模)下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學人數(shù)的統(tǒng)計表:

年份序號X12345

人數(shù)7(萬人)263273286314334

(1)現(xiàn)用模型/=g(x+3+。作為回歸方程對變量x與y的關系進行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高.請計算該

模型所表示的回歸方程(0與5精確到0.01)；

(2)已知2021年全國碩士研究生在學人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學碩士研究生人數(shù)占該地在學研究生的

頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似.當年該地區(qū)要在本地區(qū)在學研究生中進行一項網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位在學研究生均

可進行問卷填寫.某天某時段內(nèi)有4名在學研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人

數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：對于回歸方程

f（匕-可（其-5）

ZV八'Z\ZX；_1__M__222,7+12+1

y=mx+n,m=--------------------n=y-mx,l+2+---+n=?（）（?）y

一〃2；=1470.

-26普

一nx

i=\i=\

【典例6-2】（2024?安徽?一模）碳中和，是指企業(yè)、團體或個人測算在一定時間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣

體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.

碳達峰，是指碳排放進入平臺期后，進入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政

府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化

碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實現(xiàn)碳中和，人人都可出

一份力.某中學數(shù)學教師組織開展了題為“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”的數(shù)學建?；顒?實驗假設：

①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設定為燃氣用量與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設一樣；

②由生活常識知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃氣浪費，因此旋轉(zhuǎn)角度設定在10。

到90。間，建模實驗中選取5個代表性數(shù)據(jù)：18。，36°,54°,72°,90°.

某支數(shù)學建模隊收集了“燒開一壺水”的實驗數(shù)據(jù)，如下表:

項目

開始燒水時燃氣表計數(shù)/dn?水燒開時燃氣表計數(shù)/dn?

旋轉(zhuǎn)角度

18°90809210

36°89589080

54°88198958

72°86708819

90°84988670

以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃氣用量.

（1）用列表法整理數(shù)據(jù)（x,y）；

x（旋轉(zhuǎn)角度：度）1836547290

y（燃氣用量:dm3）

（2）假定x,y線性相關，試求回歸直線方程，=的+￡（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后三位）

⑶有隊員用二次函數(shù)進行模擬，得到的函數(shù)關系為5=1.903義10-2尤2一1.472X+150.33.求在該模型中，燒開

一壺水燃氣用量最少時的旋轉(zhuǎn)角度.請用相關指數(shù)改分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更

好？(注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后一位)

參考數(shù)據(jù)：￡%=712,E(x,.-x)(z-v)=1998,^(x,.-；)2=3240,￡(%-工丫=1501.2,

Z=1z=lZ=1Z=1

線性回歸模型￡(%-iJB269.1,二次函數(shù)模型t(%-ijJ196.5.

2

參考公式：6=口————，3-威，R--

t(y.-y)2

i=\i=l

題型七：最大似然估算

【典例7-1](2024?河南?模擬預測)為落實食品安全的“兩個責任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督

管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部

門將首先征求相關專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨立地發(fā)出邀請，邀請

的名單從專家?guī)熘须S機產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門

的邀請后，專家如約參加會議.

(1)用1,2,3,4代表專家?guī)熘械?位專家，甲、乙分別代表食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門，

將兩個部門邀請的專家及參會的專家人數(shù)的所有情況繪制成一個表格，請完成如下表格.

(2)最大似然估計即最大概率估計，即當X=左時，概率取得最大值，則X的估計值為網(wǎng)左=乂，N2,N3,.?,

NR,其中乂,為X所有可能取值的最大值.請用最大似然估計法估計參加會議的專家人數(shù).

【典例7-2](2024?湖北孝感?模擬預測)為落實食品安全的“兩個責任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生

監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性，兩個

部門將首先征求相關專家的意見和建議，己知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨立地發(fā)出批建邀請

的名單從專家?guī)熘须S機產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門

的邀請后，專家如約參加會議.

(1)設參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學期望.

(2)為增強政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡評選出的100位熱心市民中抽取

部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨立，邀

請的名單從這100名熱心市民中隨機產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請了加??N*,2<〃?<100)名代表，衛(wèi)

生監(jiān)督管理部門邀請了〃(〃€^,2<〃<100)名代表，假設收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門

的邀請后，群眾代表如約參加座談會，且加+“>100,請利用最大似然估計法估計參加會議的群眾代表的人

數(shù).(備注:最大似然估計即最大概率估計，即當尸倭與取值最大時，X的估計值為目

【變式7-1](2024?高三?湖南長沙?階段練習)統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)

象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.

(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中/種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚用J表示其中/種

魚的條數(shù)，請寫出4的分布列，并求4的數(shù)學期望￡仔)；

(2)另有池塘乙，為估計池塘乙中的魚數(shù)，某同學先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘，再從中捉了20

條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.

(i)請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數(shù).

(ii)統(tǒng)計學中有一種重要而普遍的求估計量的方法一最大似然估計，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高

概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最

大似然估計法估計池塘乙中的魚數(shù).

【過關測試】

1.(2024?河南?模擬預測)甲、乙、丙三人進行傳球游戲,每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:

當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3,則甲將球保留；當球在乙手中時,

若骰子點數(shù)大于4,則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大

于3,則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.

(1)設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

⑵投擲〃次骰子后(〃eN*),記球在乙手中的概率為4,求數(shù)列｛4｝的通項公式；

、72_n\d,d.乙〃/z*\

(3)設4,="^TT-2,求證：—<-(?eN).

317

|A,-!23d2d3dn+x2'

2.(2024?高三?云南保山?期末)現(xiàn)有甲、乙兩名籃球運動員進行投籃練習，甲每次投籃命中的概率為。，乙

每次投籃命中的概率為

(1)為了增加投籃練習的趣味性，甲、乙兩人約定進行如下游戲：甲、乙兩人同時投一次籃為一局比賽，若

甲投進且乙未投進，則認定甲此局獲勝；若甲未投進乙投進，則認定乙此局獲勝；其它情況認定為平局，

獲勝者此局得1分，其它情況均不得分，當一人得分比另一人得分多3分時，游戲結(jié)束，且得分多者取得

游戲的勝利.求甲恰在第五局結(jié)束時取得游戲勝利的概率.

(2)投籃練習規(guī)定如下規(guī)則：甲、乙兩人輪流投籃，若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則對方投籃，第一次

投籃由甲完成，設々為第〃次投籃由甲完成的概率.

⑴求4，6,6的值;

(ii)求月與qT的關系式，并求出門.

甲、乙均不得分的概率是1-2-2=?，

甲恰在第五局結(jié)束時取得游戲勝利的比分是3：0或4：1,

當比分是3：0時，甲獲勝的概率為c；x仕丫

當比分是4：1時，甲獲勝的概率為c；x(n4x，=,，

3(6)31296

所以甲恰在第五局結(jié)束后取得游戲勝利的概率為工+3=2.

1296144648

(2)(i)由題意知：月=1，6=。=；，\

(ii)由題意知：當“22時，勺="T+:(1-￡T)="T+!，

2363

所以q又4T=1

56V5)55

所以［匕-］］是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列；

5J65

3.(2024?高三?浙江?開學考試)一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(%,電，…當)稱為"維向量對于兩個"維向量

3=(%,")3=(4也,…，幻，定義：兩點間距離d=_q)2+(%_。2)2+…+("_%)2，利用力維向

量的運算可以解決許多統(tǒng)計學問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準點

的距離力，與哪個標準點的距離《，最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業(yè)務

能力分值(％)、管理能力分值(出)、計算機能力分值(%)、溝通能力分值(%)(分值%eN*,屹｛1,2,3,4｝代表要

求度，1分最低，5分最高)并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：

業(yè)務能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分

岡LLJ位

(%)(%)(?3)(?4)值

會計⑴215412

業(yè)務員

523515

(2)

后勤(3)235313

管理員

454417

(4)

對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量

￡=(%,02，。3，。4)的四個坐標.

(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小