2025年新高考數(shù)學(xué)壓軸題講義：概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義（五大題型）（學(xué)生版）

專題03概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：二項(xiàng)式定理新定義

題型二：排列組合新定義

題型三：概率新定義

題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義

題型五：信息墻問題

【方法技巧與總結(jié)】

解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題.總之，

解決此類問題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的實(shí)踐和反

思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

【典型例題】

題型一：二項(xiàng)式定理新定義

【典例1-1】(2024?湖南衡陽(yáng)?二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)〃都可以被

唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：〃=…P?"為"的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，P,為質(zhì)數(shù)，々21/=1,2,…,左)，

例如:90=2x32x5>對(duì)應(yīng)后=3,==2,必=3，A=5,4=1,々=2,4=1.現(xiàn)對(duì)任意〃eN*,定義莫比烏斯函數(shù)

\,n—\

〃(〃)=<(-1)<力=&=.??=〃=1

0,存在乙>1

⑴求〃(78),〃(375)；

(2)若正整數(shù)X，/互質(zhì)，證明：〃(孫)=〃(x)〃(y)；

⑶若且〃(〃)=1,記〃的所有真因數(shù)(除了1和”以外的因數(shù))依次為可，出，…，緇，證明：

〃(4)+〃(％)+…+〃(％,)=-2.

【典例1-2](2024?安徽合肥?一模)“q~數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意〃eN*,

定義“4-數(shù)”(嘰=1+q+…+q-1利用“q~數(shù)”可定義“q~階乘”⑺!產(chǎn)0)52%…(心，且⑼!=1.和“4-組合

(ri'}(n)'

數(shù)”，即對(duì)任意上eN,〃eN*,《W”，,

IQ(嘰("一后兒

5

⑴計(jì)算:

2

（2）證明：對(duì)于任意左,〃eN*,左+14〃

（3）證明：對(duì)于任意上eN,”eN*,左+14〃，

【變式1-11（2024?高三?江蘇蘇州?階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為〃，

若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,定義隨機(jī)變量X

的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量J的

值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量”的值為這兩條棱

的夾角大?。ɑ《戎疲?

（1）比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大小；（參考數(shù)據(jù)

/1—\

arctanV5?0.3661,arctan——x0.2677,arctanx0.398）

I2J

（2）現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng)〃，記（x+l）x[x+g]x…+且〃eN*）,其展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為S.,含產(chǎn)

項(xiàng)的系數(shù)為4.

①若?=病+加+。，對(duì)〃=2,3,4成立，求實(shí)數(shù)。，b,c的值；

②對(duì)①中的實(shí)數(shù)。，b,。用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意〃22且〃eN*,?=病+加+。都成立.

題型二：排列組合新定義

【典例2-1】（2024?高三?北京?階段練習(xí)）設(shè)"為正整數(shù)，集合/={a|a=（4,小…工,）},4e{0,1},笈=1,2,.

對(duì)于集合A中的任意元素a=（占/2,…,x“）和/?=（/,%,???/“），定義

d[a,P）=\xi-y^+\x2-y^+---+\xn-yn\.

⑴當(dāng)〃=4時(shí)，若a=（0,1,0,1）,皆=（1,1,0,1）,直接寫出所有使d（a，7）=2,d（/，7）=3同時(shí)成立的A的元素7；

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于3中的任意兩個(gè)不同元素a,/7,d(c,0W2.求集合B中元素個(gè)

數(shù)的最大值；

⑶給定不小于2的〃，設(shè)&是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素a,/7,?(G,￡)22,寫出

一個(gè)集合8,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由.

【典例2-2](2024?高三?浙江?開學(xué)考試)一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(duì)(為,出，…，％)稱為〃維向量.對(duì)于兩個(gè)〃維向

量3=(°],%,-、%),3=3也「一也)，定義：兩點(diǎn)間距離d=J(4_+(4_/)+…+("_aJ'利用"維

向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

點(diǎn)的距離或，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離口最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)

務(wù)能力分值(%)、管理能力分值(電)、計(jì)算機(jī)能力分值(%)、溝通能力分值(%)(分值％€?0€{1,2,3,4}代表

要求度，1分最低，5分最高)并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見下表：

業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計(jì)算機(jī)能力分值溝通能力分值合計(jì)分

岡t-Lj位

(%)(。2)(?3)(?4)值

會(huì)計(jì)⑴215412

業(yè)務(wù)員

523515

(2)

后勤(3)235313

管理員

454417

(4)

對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量

￡=(弓,°2，。3，。4)的四個(gè)坐標(biāo).

(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，己知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方屏均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.

⑴小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為瓦=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)

1、2、3、4的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；

(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(p)分別為

14^3_9_2_f_d：、

43543543J43^"-d；+d；+d；+%試求小明的各項(xiàng)能力分值.

題型三：概率新定義

【典例3-1](2024?浙江?一模)混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)

策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管

檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性.假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為

P(O<P<1).目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)/(X)=§+XX,這里X指該組樣本N個(gè)

人中患病毒的人數(shù).

⑴證明：￡[/(X)]>2^-2V;

(2)若OvpvlCT4,10WK420.證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人

為陽(yáng)性.

【典例3-2】(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來(lái)，隨著人們對(duì)

隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X,丫是離

散型隨機(jī)變量，則X在給定事件丫=了條件下的期望為

=y)=比x「p(x=x,.|r=j)=*,其中｛x15x2,???,%?｝為x的所有可能取值集合，

Z=1Z=1

尸(x==力表示事件“x=x”與事件“丫=》”都發(fā)生的概率.某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)

的概率均為p(0<p<l),射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.設(shè)j表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，〃表示第

二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù).

(1)求尸(J=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求￡?〃=5),￡?〃=磯〃22).

【變式3-1](2024?福建漳州?一模)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個(gè)信號(hào)數(shù)字之間

相互獨(dú)立.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.

⑴記發(fā)送信號(hào)變量為X，接收信號(hào)變量為y,且滿足P(x=o)=；,尸(y=i|x=o)=g,尸(y=0|x=i)=：,

求/。=o)；

(2)當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為1，定義隨機(jī)變量〃的“有效值"為'=xJ座(〃=碧)(其

4z=i

中乙是〃的所有可能的取值，:1,2,…,〃)，發(fā)送信號(hào)“000”的接收信號(hào)為“弘%%”，記4為乂，%,%三個(gè)

數(shù)字之和，求J的“有效值(1g3no.48,1g2Mo.30)

題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義

【典例4-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)x,(i=1,2,…,20)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)乂(i=1,2,…,20)

如下表：

學(xué)生編號(hào)i12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)X,100999693908885838077

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)%29016022020065709010060270

學(xué)生編號(hào)i11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績(jī)X,75747270686660503935

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)力4535405025302015105

20

計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是方=75,知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是歹=90,并且-可-=6464,

z=l

2020

￡5-7)=149450,￡伍-可(%-力=21650.

z=li=l

(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).

⑵設(shè)NeN*,變量無(wú)和變量》的一組樣本數(shù)據(jù)為｛(即片)Ii=1,2,…,N｝,其中七(i=1,2,…,N)兩兩不相同,

%(i=L2,…,N)兩兩不相同.記若在｛x,|〃=l,2,…,N｝中的排名是第4位,%在｛%|〃=1,2,…,N｝中的排名

是第S,位，i=l,2,…,N.定義變量x和變量V的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為。)為變量x的排名和變量V的排

名的樣本相關(guān)系數(shù).

6N

⑴記4=K-Sj,，=1,2,…,N.證明：P=l-N(N之一個(gè)^片，

(ii)用⑴的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(精確到0.01).

(3)比較(1)和(2)(ii)的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).

n

V(x.-y]

汪：參考公式與參考數(shù)據(jù).〃=I,一“=;?=-^——2-------；76464x149450?31000.

加門迂(yfI6

Vi=li=l

【典例4-21(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))冰雪運(yùn)動(dòng)是深受學(xué)生喜愛的一項(xiàng)戶外運(yùn)動(dòng)，為了研究性別與學(xué)生是否喜愛

冰雪運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表(加440,冽eN).

喜愛不喜愛

男生80-m20+加

女生60+冽40—m

(1)當(dāng)〃?=0時(shí)，從樣本中不喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨

機(jī)抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

⑵定義K?=￡(4廠紇1(2Vi<3,2VJ<3,Z,7'6N),其中4/為列聯(lián)表中第i行第?/列的實(shí)際數(shù)據(jù)，處為

『Bu

列聯(lián)表中第i行與第J列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如4口=80-%，

=1^x1^x200=70.基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)〃。(變量X,/相互獨(dú)立)，然后

計(jì)算K2的值，當(dāng)K22x“時(shí)，我們推斷〃。不成立，即認(rèn)為X和y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過a；

否則，我們沒有充分證據(jù)推斷〃。不成立，可以認(rèn)為x和y獨(dú)立.根據(jù)K2的計(jì)算公式，求解下面問題：

①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)？

②當(dāng)機(jī)<10時(shí)，依據(jù)小概率值e=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)，則至少有多少

名男生喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【變式4-1](2024?高三?北京?期末)在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為々=爺，其中￡為第i題的難度，段

為答對(duì)該題的人數(shù)，N為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試,共5道客觀題.測(cè)

試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：

題號(hào)12345

考前預(yù)估難度E0.90.80.70.60.4

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:

題號(hào)12345

實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)161614144

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；

(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

⑶定義統(tǒng)計(jì)量S」[(K-4)2+(周-5了+，.+?一耳溝，其中E為第i題的實(shí)測(cè)難度，月為第i題的預(yù)估難度

n1

(；1,2,…規(guī)定：若S<0.05,則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估

是否合理.

題型五：信息埔問題

【典例5-1](2024?高三?河北?階段練習(xí))信息嫡是信息論之父香農(nóng)(5桁仞0〃)定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在1948

年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱

為“信息蠟”，并給出了計(jì)算信息燧的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,〃(〃eN*),且

P(X=i)=月>0("1,2,…p,=1,定義X的信息燧H(X)=p,log?A.

i=li=\

(1)當(dāng)”=1時(shí)，計(jì)算”(X)；

(2)若p，=L(i=l,2「、〃)，判斷并證明當(dāng)〃增大時(shí)，H(X)的變化趨勢(shì)；

n

(3)若"=2小("7€]\*),隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,…,加，且尸(￥=/)=夕/+。2“+1-/(/=1，2「-,加)，證

明:

【典例5-2】(2024?高三?河北?期末)在信息論中，端(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又

被稱為信息燃、信源焙、平均自信息量.這里，“消息”代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.(燧最好理

解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的嫡越大)來(lái)自信源的另一個(gè)特征是樣本的概

率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把

信息(嫡)定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)

變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值(即期望)就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熠).燧的單位通常為比特，但也

用Sh、nat、Hart計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.

例如，投擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲力次就為加位.更一般地，你需要用log?〃位來(lái)表示一個(gè)可以

取〃個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的嫡，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.

而正是信息烯的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性

而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量4所有取值為1,2,…，力，定義J的信息嫡”(9=-￡片1崎E，

i=l

(￡々=1,/=1,2,???,?).

z=l

(1)若〃=2,試探索J的信息幅關(guān)于耳的解析式，并求其最大值；

(2)若<=2=吩-罪+1=2只(斤=2,3,…,〃)，求此時(shí)的信息燧.

【變式5-1](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，

轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，通過信道傳送到接收端.有干擾無(wú)記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信

道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無(wú)記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值占,々，…,與的

隨機(jī)變量，分別記作X和八條件概率尸(Y=x/X=xJ,i,/=l,2,…,〃，描述了輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間統(tǒng)

計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量X的平均信息量定義為：〃(')=-^>('=4)1。&=R

Z=1

當(dāng)〃=2時(shí)，信道疑義度定義為

22

X)=_XZ0(X=,，log4￥=引x=@=_[p(X=%y=jq)log2°(丫=,X=x^

/=1>1

+P(X=x1,y=x2)log2/?(y=x2\X=xJ+P(X=X2,Y=xjlog2p(Y=再|(zhì)x=%2)

+尸(x=4,y=9)k>g2y=司x

(i)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的

點(diǎn)數(shù)X的平均信息量(1嗎3。L59,10g25。2.32,10g27。2.81)；

(2)設(shè)某信道的輸入變量X與輸出變量丫均取值0,1.滿足：

尸(x=o)=o,p(y=i|x=o)=0(y=o|x=i)=p(o<o<i,o<p<i).試回答以下問題；

①求尸(y=o)的值；

②求該信道的信道疑義度”(Kx)的最大值.

【過關(guān)測(cè)試】

1.(2024?高三?全國(guó)?專題練習(xí))定義：int(x)為不超過x的最大整數(shù)部分，如int(2.3)=2,int(-2.3)=-3.甲、

乙兩個(gè)學(xué)生高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分)如下表所示：

高二成績(jī)第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試

甲687477848895

乙717582848694

進(jìn)入高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)有了大的提升.設(shè)甲或乙高二

的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?yōu)閤,若10int(?)+x-[int(6)『W100，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為

lOint(五)+1-^10int(V7)+x-[int(^)]2>100,則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為100.

(1)試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分)中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的

成績(jī)(填入下列表格內(nèi))；

高三成績(jī)第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試

甲

乙

(2)記高三任意一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)估計(jì)值為人規(guī)定：fe[84,90],記為轉(zhuǎn)換分為3分；，e[91,95],記為轉(zhuǎn)換

分為4分；te[96,100],記為轉(zhuǎn)換分為5分.現(xiàn)從乙的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)中任意抽取2次，求這2次成績(jī)的

轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率.

2.(2024?全國(guó)?一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型

隨機(jī)變量X,定義其累積分布函數(shù)為尸(x)=P(XWx).已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A,B,C三個(gè)元件

組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作

相互獨(dú)立.

⑴已知電源電壓X(單位：V)服從正態(tài)分布陽(yáng)40,4),且X的累積分布函數(shù)為尸(x),求尸(44)-尸(38)；

(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量7(單位：天)表示某

0,z<0

高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為G⑺=/>0.

(i)設(shè)證明：P(T>tl\T>t2)=P(T>t1-t2);

(ii)若第"天元件A發(fā)生故障，求第〃+1天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.

附：若隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布N(〃口2),貝<7)=0.6827,P(|y-〃|<2。)=0.9545,

P(|Y3b)=0.9973.

3.為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名患者，均分為兩組，

分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別

為x和y.在治療過程中，用指標(biāo)/衡量患者是否受益:若〃-則認(rèn)為指標(biāo)/正常;若/>〃+。，

則認(rèn)為指標(biāo)/偏高；若/則認(rèn)為指標(biāo)/偏低.若治療后患者的指標(biāo)/正常，則認(rèn)為患者受益于治療

方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6.

⑴求E(y)和D(y)；

(2)統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息.設(shè)采用新治療方案治療第i位的

1,%>〃+cr

患者治療后指標(biāo)/的值為七，i=l,2,…，50,定義函數(shù)：/(%,)=<0,]U-<T<xi<ju+a.

-1,&<

(i)簡(jiǎn)述以下統(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說明理由.

①/=|/(a)|+|/12)|+~+/to)|；

②3GJ+1]+/(")[/I?)+11+…+/toto-1].

"2,

(ii)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請(qǐng)?jiān)?i)中的統(tǒng)計(jì)量中選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)

計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策.

4.（2024?高二?四川遂寧?期末）2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對(duì)區(qū)政府防疫工作的滿

意度，從本區(qū)居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方

圖，已知評(píng)分在［80,100］的居民有600人.

滿意度評(píng)分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100)

滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意

（1）求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

（2）定義滿意度指數(shù)〃=（滿意程度的平均分）/100,若乙<0.8,則防疫工作需要進(jìn)行大調(diào)整，否則不需要大

調(diào)整.根據(jù)所學(xué)知識(shí)判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進(jìn)行大調(diào)整？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

（3）為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評(píng)分在［40,50）,［50,60）中用分層抽樣的方法抽取6名居

民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔(dān)任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對(duì)防疫工作的評(píng)

分在［40,50）內(nèi)的概率.

5.（2024?高三?北京?階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X和/有相同的可能取值，它們的分布列分別為

P（X=ak）=xk,P（Y=ak）=yk,xk>0,yk>Q,左=1,2,…，凡才/=力斤=1.指標(biāo)D（X||F）可用來(lái)刻畫

k=lk=l

X和y的相似程度，其定義為。（Xlly）=t>/n連.設(shè)X?3（",p）,o<p<l.

*-=iyk

(1)若T?求D(Xl|y)；

(2)若〃=2,尸(丫=4一l)=g,左=1,2,3,求￡>(XUr)的最小值；

(3)對(duì)任意與X有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：r>(xllr)>o,并指出取等號(hào)的充要條件

6.(2024?高三?河南?期末)某國(guó)家隊(duì)要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022

年的北京冬季奧運(yùn)會(huì)，他們近期六次訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

次序(i)123456

甲(七秒)142140139138141140

乙(B秒)138142137139143141

(1)分別計(jì)算甲、乙兩人這六次訓(xùn)練的平均成績(jī)小,2，偏優(yōu)均差備，乙；

(2)若|%-％|<2?=1,2,3,4,5,6),則稱甲、乙這次訓(xùn)練的水平相當(dāng)，現(xiàn)從這六次訓(xùn)練中隨機(jī)抽取3次，求有

兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)母怕?

注：若數(shù)據(jù)網(wǎng),X"中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為加，定義<=:[(玉-％)2+(%-〃?)2+—+(%-%)[為偏優(yōu)均差.本題

中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時(shí)間.

7.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某醫(yī)科大學(xué)科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了M市

100位退休人員，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:

患癡呆癥不患癡呆癥合計(jì)

上網(wǎng)163248

不上網(wǎng)341852

合計(jì)5050100

(1)依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)?

(2)從該市退休人員中任取一位，記事件/為“此人患癡呆癥”，8為“此人上網(wǎng)”，則N為“此人不患癡呆癥”,

定義事件/的強(qiáng)度匕=，在事件B發(fā)生的條件下A的強(qiáng)度為=?.

\-PyA)\-P\A\B\

（i）證明:

匕產(chǎn)（-4）

（ii）利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)g的值.

*2

附：/=______"(ad-bc》___

其中〃=4+Z?+c+d.

(q+6)(c+d)(〃+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

8.（2024?高三?山西朔州?開學(xué)考試）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)毛?=1,2,…,20）和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)

乂（:1,2,「20）如下表:

學(xué)生編號(hào)i12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)占100999693908885838077

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)B29016022020065709010060270

學(xué)生編號(hào)/?11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績(jī)占75747270686660503935

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)％4535405025302015105

__207

計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是還75,知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是亍=90,并且21,-》）"=6464,

1=1

（1）求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（2）設(shè)NeN*,變量x和變量》的一組樣本數(shù)據(jù)為｛（4其亦=1,2,…,N｝,其中匕。=1,2,…,N）兩兩不相同,

%（i=1,2,…,N）兩兩不相同.記/在｛尤（〃=1,2,…,N］中的排名是第&位,%在｛yn\n=1,2,-,N］中的排名是

第S,位，i=1,2,…,N.定義變量x和變量J的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為P）為變量x的排名和變量》的排名的

樣本相關(guān)系數(shù).

6N

⑴記4=K-Sj,，=1,2,…,N.證明：。=1-必、2T4力；

(ii)用⑴的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91,簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相

關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).

注：參考公式與參考數(shù)據(jù).

y-y

t=.￡.2/("+l)(2"+l)

r=76464x149450?31000.

t")力…)2k=\6

Z=1Z=1

9.(2024?高二?湖北?階段練習(xí))“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也

就越小，“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為工=1-5，其中L為難度系數(shù)，￥為樣本平均失分，少為試卷總分(一般

為100分或150分).某校高二年級(jí)的老師命制了某專題共5套測(cè)試卷(總分150分)，用于對(duì)該校高二年級(jí)

480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試，測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：

試卷序號(hào)i12345

考前預(yù)估難度系數(shù)40.70.640.60.60.55

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:

試卷序號(hào)i12345

平均分/分10299939387

(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；

(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差，設(shè)4為第i套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計(jì)量

,222

S=1[(ZI-/,.)+(^-Z2)+--+(Z；-Z?)],若S<0.001,則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不

合理.以樣本平均分估計(jì)總體平均分，試檢驗(yàn)這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.

(3)聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時(shí)解答上述試卷易錯(cuò)題進(jìn)行“智力競(jìng)賽”，規(guī)則如下：雙方

輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計(jì)0分，先多得2分者為勝方.若在此次競(jìng)賽

中，聰聰選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿間,明明選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿楦黝}的結(jié)果相互獨(dú)立，二人約定從

0:0計(jì)分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.

10.(2024?高三?四川成都?開學(xué)考試)在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)(4嗎，%)表示，其中

%e(051}(1<Z<3,ieN).而在n維空間中(〃22〃eN),以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為

〃維坐標(biāo)……，％)，其中％e{0,l}(14i4%eN).現(xiàn)有如下定義：在"維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓

距離為兩點(diǎn)，。“)與他也也,也)坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為

1%+-引+宿-勾+...+|。"-"I?回答下列問題:

(1)求出"維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；

(2)在n維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望；

②證明：在〃足夠大時(shí)，隨機(jī)變量X的方差小于0.25/.

（工-4）2

(已知對(duì)于正態(tài)分布XN(N，吟,p隨X變化關(guān)系可表示為*e2，）

11.(2024?高二?福建莆田?期末)為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行

試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：

發(fā)病沒發(fā)病合計(jì)

接種疫苗81624

沒接種疫苗17926

合計(jì)252550

(1)能否有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？

(2)從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記A表示此動(dòng)物發(fā)病，工表示此動(dòng)物沒發(fā)病，3表示此動(dòng)物接種疫苗,

尸(4)P(/⑻

定義事件A的優(yōu)勢(shì)凡=丁士幺，在事件B發(fā)生的條件下A的優(yōu)勢(shì)國(guó)=,.

1-尸(4)\-PyA\B^

與=尸(a/)

(i)證明:

&尸(同彳)；

(ii)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出可理可，尸(創(chuàng)見的估計(jì)值，并給出片的估計(jì)值.附:

n^ad-bc^

2,其中〃=Q+b+c+d.

z(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

產(chǎn)(%2E)0.0500.0100.001

X。3.8416.63510.828

12.(2024?高一?山東濟(jì)南?期末)獨(dú)立事件是一個(gè)非常基礎(chǔ)但又十分重要的概念，對(duì)于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)

計(jì)學(xué)至關(guān)重要.它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲?帕斯卡和皮埃爾?德?費(fèi)馬，當(dāng)時(shí)被定義為彼此不

相關(guān)的事件.19世紀(jì)初期，皮埃爾?西蒙?拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨(dú)立事件的概率

乘法公式.對(duì)任意兩個(gè)事件A與5,如果尸(48)=尸(/)尸(3)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為

獨(dú)立.

(1)若事件A與事件B相互獨(dú)立，證明：N與3相互獨(dú)立；

3

(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對(duì)的概率為)，乙每輪

答對(duì)的概率為在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動(dòng)

中答對(duì)3道題的概率.

13.(2024?高二?浙江臺(tái)州?期末)袋中有大小、形狀完全相同的2個(gè)紅球，4個(gè)白球.采用放回摸球，從袋中摸

出一個(gè)球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù)〃x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)需倍，(縱

坐標(biāo)不變)；若摸出的是紅球，將函數(shù)f(x)圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位.函數(shù)/(X)經(jīng)過1次T變換后

的函數(shù)記為工卜)，經(jīng)過2次T變換后的函數(shù)記為人(x),…，經(jīng)過"次T變換后的函數(shù)記為Z,(x)(〃eN*).

現(xiàn)對(duì)函數(shù)/'(x)=lgx進(jìn)行連續(xù)的7變換.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求力(x)；

(2)記X=求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

14.(2024?高三?上海寶山?階段練習(xí))已知〃為正整數(shù)，對(duì)于給定的函數(shù)了=/(無(wú))，定義一個(gè)〃次多項(xiàng)式g,,(x)

如下:g“(x)="c"(；［

⑴當(dāng)/(x)=l時(shí)，求g.(x)；

(2)當(dāng)/(x)=x時(shí),求g,,(x)；

⑶當(dāng)1(力=，時(shí)，求g,(x).

15.(2024?高一?遼寧葫蘆島?期末)通信信號(hào)利用3EC信道傳輸，若3EC信道傳輸成功，則接收端收到的信

號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同.若信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳輸技術(shù)有兩種：一種是傳

統(tǒng)通信傳輸技術(shù)，采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)(以兩個(gè)信道為例，如圖1).

信道］(

U2

BEC信道2

圖1

另一種是華為公司5G信號(hào)現(xiàn)使用的土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的發(fā)明的極化碼技術(shù)(以兩個(gè)信道

為例，如圖2).傳輸規(guī)則如下，信號(hào)。2直接從信道2傳輸；信號(hào)Q在傳輸前先與。2“異或”運(yùn)算得到信號(hào)式,

再?gòu)男诺?傳輸.若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號(hào)通過“異或”運(yùn)算進(jìn)行解碼后，傳至接收端，若信

道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號(hào)，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收

端對(duì)信號(hào)進(jìn)行自身“異或”運(yùn)算而解碼后，傳至接收端.

圖2

(注：定義“異或”運(yùn)算：&十。2=乂，乂十U=%Xi十仇=4天十式=5).假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概

率均為P(O<P<1)